Bayesian Inference for High-Dimensional Dependence Structures = 고차원 종속 구조에 대한 베이즈 추론

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The thesis develops Bayesian methods for inference on high-dimensional dependence structures arising in modern multivariate data. Motivated by applications in finance, macroeconomics, and biomedical studies, we consider three representative settings: spiked covariance structures, approximate factor models, and Gaussian copula–based dependence structures for non-Gaussian and mixed-type data with missingness.
In the first part, we study spiked covariance models in which a low-dimensional signal is embedded in high-dimensional noise. We propose a Bayesian procedure for estimating the eigenvalues and eigenspaces of the covariance matrix and derive posterior contraction rates under high-dimensional asymptotics. The method is designed to alleviate the well-known deficiencies of classical inverse-Wishart priors, providing more reliable uncertainty quantification for spiked eigenstructures.
In the second part, we develop a Bayesian factor model that directly parameterizes the factor eigenspace rather than the factor loading matrix. This reparameterization eliminates rotation ambiguity and yields coherent posterior inference on factor spaces. We establish high-dimensional posterior contraction properties and illustrate how the proposed method improves estimation and interpretation in factor-based analyses.
In the third part, we propose a Bayesian Gaussian copula approach tailored to data with non-Gaussian marginals, mixed variable types, and missing values. The dependence structure is modeled through a Gaussian copula, while the Bayesian bootstrap is used to capture uncertainty in the marginal distributions. This framework enables flexible joint modeling, principled imputation of missing data, and coherent uncertainty quantification. Theoretical results and empirical studies demonstrate the effectiveness of the proposed methods across the three dependence structures.

국문 초록 (Abstract)

이 논문은 현대의 다변량 자료에서 발생하는 고차원 종속 구조에 대한 베이즈 추론 방법을 제안하고 이론적으로 분석한다. 금융 자료, 거시경제 지표, 생의학 자료 등에서 나타나는 응용을 동기로 삼아, (1) 스파이크 공분산 구조, (2) 근사 요인 모형, (3) 비정규 주변분포와 혼합형·결측 자료를 위한 가우시안 코퓰라 기반 종속 구조의 세 가지 대표적인 상황을 다룬다.
첫째, 저차원 신호가 고차원 잡음 속에 포함된 스파이크 공분산 모형을 고려한다. 공분산 행렬의 고유값과 고유공간을 추정하기 위한 사전분포를 제안하고, 고차원 하에서의 사후 수렴 속도를 제시한다. 특히 전통적인 역-위샤트 사전분포가 가지는 한계를 완화하여, 스파이크 고유구조에 대한 보다 안정적인 불확실성 정량화를 제공한다.
둘째, 요인 적재 행렬이 아닌 요인 고유공간을 직접 모수화하는 베이즈 요인 모형을 제안한다. 이러한 재매개변수를 통해 요인 적재의 회전 불확정성을 제거하고, 요인 공간에 대한 일관된 사후 추론을 가능하게 한다. 고차원 환경에서의 사후 수렴성을 보이고, 제안된 방법이 요인 기반 분석에서 추정 정확도와 해석 가능성을 향상시킴을 보인다.
셋째, 비정규 주변분포, 혼합형 변수, 결측값이 존재하는 자료를 위해 가우시안 코퓰라 기반 베이즈 모형을 제안한다. 종속 구조는 가우시안 코퓰라를 통해 모형화하고, 주변분포에 대한 불확실성은 베이즈 부트스트랩을 이용해 반영한다. 이를 통해 유연한 결합 분포 모형화, 체계적인 결측값 대치, 그리고 일관된 불확실성 추론이 가능해진다. 이론적 결과와 모의실험 및 실제 자료 분석을 통해 세 가지 종속 구조 전반에서 제안 방법의 효율성과 실용성을 확인한다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract
• 1 Introduction 1
• 1.1 Motivation 1
• 1.2 Literature Review 3
• 1.2.1 Spiked Covariance 3
• 1.2.2 Factor Model 4
• 1.2.3 Gaussian Copula Model 4
• 1.3 Outline 5
• 2 Spiked Covariance Model 7
• 2.1 Generalized shrinkage inverse-Wishart prior and its posterior 11
• 2.1.1 Notation 11
• 2.1.2 Generalized shrinkage inverse-Wishart prior 12
• 2.1.3 Sampling Method 15
• 2.1.4 Choice of the number of spiked eigenvalues k 18
• 2.2 Main Results 19
• 2.3 Simulation Studies 29
• 2.3.1 Case 1 31
• 2.3.2 Case 2 33
• 2.4 Real Data 35
• 2.5 Conclusion 39
• 3 Approximate Factor Model 40
• 3.1 Preliminaries 44
• 3.1.1 Notation 44
• 3.1.2 Approximate Factor Model 46
• 3.2 Main Results 48
• 3.2.1 Posterior Sampling 48
• 3.2.2 Sampling Γ 50
• 3.2.3 Sampling Σu 52
• 3.2.4 Posterior Convergence Rates 55
• 3.3 Simulation Studies 58
• 3.4 Application 62
• 3.4.1 S&P 500 Data 62
• 3.4.2 Factor-Augmented Vector Autoregression 65
• 3.5 Conclusion 67
• 4 Gaussian Copula Model 69
• 4.1 Preliminaries 74
• 4.1.1 Notation 74
• 4.1.2 Gaussian Copula Model 75
• 4.1.3 Bayesian Bootstrap 77
• 4.2 Bayesian Bootstrap based Gaussian Copula 78
• 4.2.1 Posterior under MAR 78
• 4.2.2 Model 79
• 4.2.3 Adjusted Bayesian bootstrap 81
• 4.2.4 Gibbs Sampling Procedure 84
• 4.3 Simulation Studies 88
• 4.3.1 Missing Imputation 88
• 4.3.2 Bias Correction in Marginal Distribution Estimation 91
• 4.4 Real Data 94
• 4.5 Conclusion 96
• 5 Conclusion 98
• A. Appendix 100
• A.1 Appendix for Chapter 2 100
• A.2 Appendix for Chapter 3 173
• A.2.1 Lemma of Posterior Expectation 195
• A.3 Posterior Expectation of Eigenstructure 224
• A.3.1 Proof of Lemma 3.1 224
• A.3.2 Proof of Theorem 3.2 225
• A.3.3 Proof of Theorem 3.3 226
• A.4 Appendix for Chapter 4 230
• A.5 MAR Generation Mechanism 230
• A.6 Proof of Lemma 4.1 232
• A.7 Proof of Theorem 4.2 233
• A.8 Proof of Theorem 4.3 234
• Bibliography 237
• Abstract (in Korean) 250