Maple을 이용한 극한의 오개념과 오류에 대한 지도방법의 연구 : 고등학교 2학년과정을 중심으로

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들에게 극한개념을 지도함에 있어서 전통적인 학습 방법과, Maple을 이용한 학습 방법을 도입했을 때 학생들에게 나타나는 오개념과 오류의 차이를 비교 분석 하고자 하였다.
이를 위하여 다음과 같은 두 개의 연구문제를 설정하였다.
1. 수열의 극한, 무한급수의 합, 함수의 극한에 대하여 전통적인 교수 학습 방법과 Maple을 이용한 교수학습 방법 중 극한에 대한 개념의 이해도 및 계산 능력이 어떻게 차이나는가?
2. 극한에 대한 문제 풀이 과정에서 학생들이 어떠한 오류 유형을 나타내는가?
본 연구를 수행하기 위하여 연구대상자는 전라남도 순천시에 소재하고 있는 남자고등학교 1개교 2학년 2개반 80명을 선정하였다. 검사도구는 본 연구자가 고등학교 교과서의 난이도와 선정된 본 고등학교의 학력수준을 감안하여 적절한 수준에서 개발하였다.
검사지는 5개의 문항으로 구성되었으며 검사지의 1번 문항을 통해서, A반과 B반의 극한에 대한 오개념의 차이를 비교 조사하였다. 2~5번 문항에 대한 풀이과정을 통하여 극한의 오류를 네가지 모형(논리적으로 부당한 추론, 잘못 사용된 정의 및 정리, 기술의 오류, 애매한 오류)로 분류하였으며 각 문항에 대한 정답 비율을 A반과 B반으로 비교하여 백분율로 나타내었다.
본 연구로부터 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다.
첫째, 수열의 극한에 대한 정의를 정확히 알고 있는 학생은 A반과 B반에서 각각 48.2%와 57.1%로 나타났으며 B반이 A반보다 약간 높게 나타났다. 그러나 상당수의 학생들은 정의와 다른 오개념을 가지고 있었다.
둘째, 함수의 극한에 대한 정의를 정확히 알고 있는 학생은 A반과 B반에서 각각 57.6%와 65.2%로 약간 높게 나타났으며 이 부분에서도 B반이 A반보다 약간 높게 나타났다. 여기에서도 상당수의 학생들이 함수의 극한에 대한 정의에 대하여 오개념을 가지고 있었다.
셋째, 극한에 대한 풀이에서 나타난 오류는 b모형인 잘못 사용된 정의 및 개념에 관한 오류가 A반과 B반에서 각각 69.38%와 84.87%로 가장 많이 나타났다. 여기서 A반보다 B반이 약간 적게 나타난 것은 Maple을 이용한 수업이 효과적인 것으로 생각된다. 다음으로 c모형, 즉 논리적으로 부적당한 추론에 관한 오류가 A반과 B반에서 각각11.64%와 8.40%로 나타났다. a모형 즉, 기술 오류 모형은 A반과 B반에서 각각 6.16%와 7.27%로 나타났다. 마지막으로 d모형 즉, 애매한 오류모형은 A반과 B반에서 각각 6.16%와 3.36%로 나타났다. 이상에서와 같이 어느 경우이든 A반보다는 B반에서 정답률 및 오류가 작게 나타남을 볼 수 있으나 함수의 극한에 대한 형식적인 정의 문제에서는 두 개반 모두 매우 많은 오류를 범하고 있었다.
본 연구의 결론은 다음과 같다.
첫째, 대부분의 학생들이 극한에 대하여 정확하게 이해하고 있었으나, 상당수는 그렇지 않았다. 특히 A반보다는 B반에서 이해도가 더 높게 나타났다. 따라서 거의 모든 학생들이 정확한 개념을 이해할 수 있도록 하기 위해서는 극한의 교수 학습 과정에서 극한의 정의와 개념을 강조하고 적절한 부분에서 Maple등을 이용한 시각화 교육이 필요하다고 생각된다.
둘째, 극한의 문제 풀이 과정에서 네 가지 오류모형이 분류되었는데, 극한에 대한 개념의 이해도는 A, B반 모두 높았으나 극한의 형식적인 정의에 관한 문제에서는 정답률이 A와 B에서 모두 낮게 나타났다. 이러한 오류의 모형을 치료하기 위해서는 교사가 학생의 어려움을 끊임없이 진단하고 새로운 교수 학습 방법의 창안을 통해서 지도변화가 필요하다고 생각한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to compare and analyze the misconception and the errors that students usually made when they are taught the concept of limit in two different methods; using traditional teaching method and Maple method.
For this, two assignments are established:
1. What is the difference of the degree of understanding of the concept of limit, in either cases of using traditional teaching methode or Maple method in teaching the limit of sequence, the sum of series, and the limit of function.
2. What types of errors the students usually commit in solving a limit problems.
For this study, 80 students in the second school year in a boys' highschool located in Sunchon, Chonnam were selected as objects. And an appropriate tool was devised in accordance with the level of the syllabus and the level of competence of the students of the chosen school.
The test sheets consist of 5 items; with item number 1, the misconception of limit is compared and examined in the separate group A and B. With 2-5, the errors in the solving process are classified into four types, and the rate of the correct answers are described in percentage.
For this study, following results are clarified:
1. The rate of the students who have the correct understanding of the concept of the limit of sequence occupies 48.2% and 57.2% in the group A and B respectively, with the group B. A lot of students still showed misconception.
2. The rate of the students that know the concept of limit of function correctly is 57.6% and 65.2% in the group A and B respectively, which is a little high. And the group B showed a little higher level of understanding again. A lot of students are found to have misconception of the definition of the limit of function.
3. As for the errors in solving a limit, the result of the test of the errors that the students committed in solving a problem of limit showed that, model b, the error in the misused definition and concept, is the highest, with 69.8% and 84.87% in the group A and B respectively. The reason why the group B is lower can be explained as the Maple method effective. The next, model c, the error of logically inappropriate inference, showed 11.64% and 8.40% in the group A and B respectively, and model a, error of description, showed 6.16 % and 7.27% and lastly, model d, errors of ambiguity, is 6.16% and 3.36%.
As shown so far, the group B showed the lower level of correctness and errors, but both groups showed considerable levels of errors in the formalistic definition of limit of function.
The conclusions of this study are:
1. Most students have correct understanding of limit, with an exception of a few students. Generally, the group B showed higher level of understanding than the group A. Therefore, in teaching limit of function, it is necessary to emphasize the definition and concept of limit, and to introduce the visualized teaching using Maple method to make more students understand the concepts correctly.
2. When four models of errors in solving limit was classified, the group A and B showed quite high levels of understanding of the concept of limit, but the rate of correct answers in the formalistic definition problems were found low in both groups. To cure these types of error models, teachers will need to diagnose their students and devise a new teaching methods.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• Abstract
• I. 서론 = 5
• 1. 연구의 목적 및 필요성 = 5
• 2. 연구 문제 및 용어정의 = 7
• 3. 연구 제한점 = 8
• II. 이론적 기초와 문헌연구 = 9
• 1. 극한 = 9
• 1) 역사적 발달에서의 인식론적 장애 = 13
• 2) 현대수학에서의 인식론적 장애 = 16
• 3) 인식론적 장애의 교수학적 전달 = 18
• 2. 오류 = 20
• 1) 수학교육에서의 오류 분석 = 20
• 2) 문제해결에서의 오류의 모형 = 22
• 3) 고등학교수학에서 오류를 위한 경험적 분류 모형 = 24
• III. 연구 방법 및 절차 = 27
• 1. 연구 대상 = 27
• 2. 검사 도구 = 27
• 1) 교수학습 지도안 개발 = 27
• 2) 문항 개발 = - 65
• 3. 검사방법 = 65
• 4. 자료의 분석 = 65
• IV. 결과 및 논의 = 66
• 1. 결과 및 논의 = 66
• 2. 결론 및 제언 = 73
• 참고문헌 = 78
• ◎논문요약 = 79
• ◎부록 = 81
• 1. Maple 사용법 = 81
• 2. 개념검사지 = 88