On The Uniform Distribution Modulo 1 = 1을 法으로 하는 平等分布에 관하여

국문 초록 (Abstract)

1을 法으로 하는(u.d. mod 1) 論理的 定義는 Weyle에 依해서 이루어졌다. 特別數列의 1을 法으로 하는 分布는 오래前부터 이미 硏究되어 왔다.
[定理 2]와 그의 系들도 역시 Weyle에 依해서 이루어졌다. 記號 u. d. mod △는 Leveque에 依해서 소개되어 Cigler, Davenport와 Leveque, Erdo¨s와 Davenport, W.M. schmidt와 Burkard等에 依해서 더 硏究되였다. u.d. mod 1에 關한 細部的인 硏究結果는 1936年 以前에 Koksma에 依해서 發見된 것이다.
1936年부터 1961年까지의 期間에는 Cigler와 Helmberg에 依해서 硏究가 進行되였고 고전적인 어떤 結果를 解說的으로 다룬 것은 Cassels에 依해서 이루어졌다.
Koksma는 그가 調査한 것을 定理를 정립하는데 손을 댓다. λ가 I에서 Lebesgue 測度일 때 (x_n)이 u. d. mod 1이면 다음 極限
??1/NA(E ; N)=λ(E)
은 I에서 Jordan-measurable(혹은 λ-continuity) 集合 E에 對해서는 成立하지만 모든 Lebesgue-measurable에 對해서는 成立하지 않는다.
마찬가지로 (3)은 I―에서의 모든 Lebesgue可積인 函數 f에 대해서는 成立될 수 없다.
그 結果는 Koksma와 Salem의 硏究 과정을 참고하면 된다.
[定理 2]의 逆은 Bruijn과 Post에 依해서 밝혀졌다. η-f가 I―에서 定義되고 lim_N→∞(1/N??f({x_n})이 u. d. mod 1인 모든 (x_n)에 대하여 存在한다면 f는 I―에서 Riemann 可積이다.
Binder는 다른 證明法과 一般化시키는 方法을 시도했다. 이같은 의문에 關한 論議는 Bass와 Couot, Rudin 等의 論議를 참고하면 된다.
또 u. d. mod 1에 對한 基本되는 기준은 O'Neil과 Niederreiter에 依해서 이루어졌고 有理數列에 關한 것은 基本的인 方法을 便用한 Knapowski에 依해서 硏究되었다. 계속해서 우리는 u. d. mod 1의 여러 가지 定義를 論議해야 될 것이다. 또 하나의 特別한 變型이 確率的 整數論으로부터 問題가 제기되었음을 Erdo¨s와 Lorentz에 依해서 소개되었다.
數列 (x_n)은 ((1/d)x_nd), n=1,2,…이 모든 陽의 整數 d에 대하여 u. d. mod 1이면 homogeneously equidistributed mod 1이라 불리어 진다. 이같은 槪念은 Schnable에 依해서 硏究되었다. 그 結果에 대해서는 Po´lya와 Szego¨의 硏究과정을 참고하면 된다.