Quaternion-based Isogeometric Configuration Design Optimization of Geometrically Exact Nonlinear Structures = 기하학적으로 엄밀한 비선형 구조물의 사원수 기반 아이소-지오메트릭 배치 최적설계

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this thesis, a quaternion-based configuration design optimization framework is developed using a gradient-based optimization method with continuum-based configuration design sensitivity for geometrically exact beam and shell structures. In order to accurately represent finite deformation, a singularity-free quaternion is adopted for the parameterization of cross-sectional rotations in shear deformable beam theory. This parameterization preserves the objectivity and path-independence of the theory, which are violated in the conventional rotation vector-based formulations. The variational equation and its corresponding linearization are explicitly derived with the quaternion framework. The unit norm of the quaternion is maintained through an optimal parameterization and an exponential map, which implicitly ensures rotational continuity in built-up structures. The developed formulation is discretized using isogeometric analysis (IGA), providing high-order continuity and geometric exactness. Configuration design sensitivity equations are derived using both the direct differentiation method (DDM) and the adjoint variable method (AVM) based on the material derivative concept. For a given design velocity field, orientation changes are automatically determined by employing the parallel transport frame.
The geometrically exact shell theory uses vector equations rather than curvilinear component equations, which simplifies the governing equations by avoiding the explicit appearance of the Christoffel symbols. The inextensible director vector and its corresponding orthogonal frame are parameterized using the unit quaternion, and the proposed optimal parameterization enables a drilling-free description using only two parameters.
Numerical examples verify that the proposed parameterization preserves the objectivity and path-independence of the formulation, while conventional parameterization based on an incremental rotation vector fails to maintain these properties. Design sensitivity analyses further demonstrate that the violations of objectivity or path-independence lead to inaccurate sensitivities that cannot be corrected by mesh refinement.
Finally, the developed DSA framework is applied to the gradient-based design optimization of metamaterials. The proposed method is used to maximize the twisting response of a translation-twist coupled metamaterial under prescribed axial strain and to design multi-bandgap structures by exploiting Bragg scattering and local resonance mechanisms.

국문 초록 (Abstract)

본 논문에서는 기하학적으로 엄밀한 빔 및 쉘 구조물에 대하여 연속체 기반 배치 설계 민감도 해석 방법론(configuration design sensitivity analysis, DSA)과 민감도 기반 최적설계 기법을 활용한 사원수 기반 배치 최적설계 방법론을 제안한다. 대변형을 정확하게 묘사하기 위해 전단 변형을 고려한 빔 이론에서 단면의 회전을 특이점이 없는 단위 사원수(quaternion)로 표현 하였다. 이를 통해 기존 회전 벡터를 이용한 표현 방법으로는 보존하지 못하였던 이론의 객관성(objectivity)과 경로 독립성(path-independence)을 보존하였다. 기존 회전 벡터로 표현된 빔 이론의 변분방정식과 선형식을 사원수로 표현하고 유도하였다. 구조물의 변형 중 사원수의 단위 크기는 최적 매개변수화 기법(optimal paramaterization)과 지수사상(exponential map)을 통해 유지되며, 이 기법은 별도의 제약식 없이도 구축형(built-up) 구조물에서의 회전 연속성을 보장한다. 개발된 사원수 표현식을 아이소-지오메트릭 해석(isogeometric analysis, IGA)을 사용하여 높은 연속성과 기하학적 정확성을 유지하면서 이산화 하였다. 배치 설계 민감도식은 물질 미분(material derivative) 개념을 기반으로 직접 미분법(DDM)과 애조인 방법(AVM)을 모두 사용하여 유도하였다. 주어진 설계 속도장(design velocity field)에 대해 단면 방향의 변화는 평행 이동 좌표계(parallel transport frame)를 이용해 자동으로 결정되도록 하였다.
쉘 구조물에 대해서는 벡터 형태의 지배방정식을 사용하는 기하학적으로 엄밀한 쉘 이론을 적용하였다. 벡터식은 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)의 명시적 표현을 회피하여 식을 단순화하였다. 비신장성(inextensible) 지시자(director) 벡터와 이에 대응하는 직교 프레임은 단위 사원수로 표현되었으며, 제안된 최적 매개변수화 기법을 통해 드릴링 자유도(drilling DOF) 없이 2개의 매개변수만으로 지시자 회전을 기술하였다.
수치 예제를 통해 제안된 매개변수화 기법이 공식의 객관성과 경로 독립성을 보존함을 확인하였으며, 기존 회전 벡터 표현식은 이러한 성질들을 유지하지 못함을 보여주었다. 또한, 설계 민감도 해석 결과, 객관성 또는 경로 독립성이 손실될 경우 민감도 결과가 부정확해지며, 이러한 오차는 단순한 격자 세분화(mesh refinement)로는 제거될 수 없음을 확인하였다.
마지막으로, 제안된 민감도 해석 기법을 메타물질(metamaterials)의 최적 설계에 적용하였다. 축 방향 변형이 주어졌을 때 비틀림 응답을 극대화하는 평행이동과 비틀림이 결합된 메타물질(translation–twist metamaterial)을 설계하였으며, 브래그 산란(Bragg scattering)과 국부 공진(local resonance) 메커니즘을 동시에 활용하여 다중 밴드갭(multi-bandgap) 구조를 설계하였다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Chapter 1 Introduction １
• 1.1 Motivation and Purpose １
• 1.2 Scope ３
• 1.3 Literature Survey ５
• 1.3.1 Geometrically exact beam and shell theory ５
• 1.3.2 Isogeometric analysis ７
• 1.3.3 Quaternion ９
• 1.3.4 Configuration design sensitivity analysis １１
• Chapter 2 Quaternion-based Isogeometric analysis １３
• 2.1 Quaternion １３
• 2.1.1 Fundamentals of quaternion algebra １３
• 2.1.2 Unit quaternion and rotation １４
• 2.1.3 Unit quaternion kinematics １７
• 2.2 Isogeometric method １９
• 2.2.1 NURBS basis function １９
• 2.2.2 NURBS geometry ２０
• 2.2.3 Mesh refinement ２１
• 2.3 Geometrically exact beam ２４
• 2.3.1 Basic kinematics ２４
• 2.3.2 Variational equation ２５
• 2.3.3 Linearization ２７
• 2.3.4 Enforcement of the unit-norm constraint ３０
• 2.3.5 Rotational continuities in built-up structures ３２
• 2.3.6 Isogeometric discretization ３３
• 2.3.7 Objectivity of strain measures ３７
• 2.4 Geometrically exact shell ４０
• 2.4.1 Basic kinematics ４０
• 2.4.2 Variational equation ４２
• 2.4.3 Linearization ４５
• 2.4.4 Isogeometric discretization ４７
• Chapter 3 Configuration design sensitivity analysis ４９
• 3.1 Geometrically exact beam ４９
• 3.1.1 Design velocity field ４９
• 3.1.2 Material derivatives ５０
• 3.1.3 Direct differentiation method (DDM) ５１
• 3.1.4 Adjoint variable method (AVM) ５２
• 3.1.5 Parallel transport frame ５４
• 3.2 Geometrically exact shell ５６
• 3.2.1 Design velocity field ５６
• 3.2.2 Material derivatives ５７
• 3.2.3 Direct differentiation method (DDM) ５９
• 3.2.4 Adjoint variable method (AVM) ６０
• Chapter 4 Numerical examples ６３
• 4.1 Configuration DSA of beam ６３
• 4.1.1 Roll-up of a clamped beam ６３
• 4.1.2 Quarter-circular cantilever bend (path-dependency test) ６５
• 4.1.3 Half-circular cantilever bend (path-dependency and objectivity test) ６９
• 4.1.4 Compression-twist metamaterial (built-up structure) ７４
• 4.2 Configuration DSA of shell ７７
• 4.2.1 Roll-up of a clamped beam ７７
• 4.2.2 Scordelis–Lo roof ７８
• 4.2.3 Pinched hemisphere ８０
• 4.3 Configuration design optimization ８３
• 4.3.1 Pinched hemisphere ８３
• 4.3.2 Translation-twist coupled metamaterials ８５
• 4.3.3 Multi-bandgap metamaterials ９２
• Chapter 5 Conclusions and Recommendations ９８
• 5.1 Conclusions ９８
• 5.2 Recommendations １００
• Appendix A Supplements to the geometrically exact beam model １０２
• A.1 Quaternion algebra １０２
• A.2 Objectivity and path-independence of strain measures １０３
• A.3 Material derivative of virtual strain measures １０５
• Appendix B Supplements to the geometrically exact shell model １０６
• B.1 Matrix operators １０６
• B.2 Linearization of virtual strain measures １０７
• B.3 Full matrix of the geometric part resultant matrix １０８
• B.4 Discretized matrix operators １０９
• B.5 Material derivative of strain measures in conventional shell theory １１０
• B.6 Material derivative of virtual strain measures １１１
• Appendix C Supplements to Numerical examples １１２
• C.1 Scordelis-Lo roof design sensitivities １１２
• C.2 Pinched hemisphere example design sensitivities １１３
• C.3 Bloch’s theorem １１４
• C.4 Harmonic response analysis １１６
• 초록 １２５