제곱級數의 收斂性에 관한 硏究 = (The) study on the convergence of a power series

국문 초록 (Abstract)

본 논문에서는 제곱급수(冪級數)의 절대수렴(絶對收斂), 제일수렴(齊一收斂)에 관해서 여러 가지 성질을 조사하였으며, 제곱급수 □ a_(n) ( z-z_(0) )^(n) 의 수렴원 내에서의 연속성과 정칙성(正則性) 등을 연구하였다.
첫째 제곱급수 □ a_(n) ( z - z_(0) )^(n) 이 z = z_(1) ( z_(1) ≠ z_(0) )일 때, 수렴하면 그 급수는 ｜ z - z_(0) ｜< ｜ z_(1)-z_(0) ｜인 모든 z의 값에 대하여 절대수렴 한다.
또한 제곱급수 □ b_(n) / ( z - z_(0) )^(n)이 z = z_(1) ( z_(1) ≠ z_(0) )일 때 수렴하면, 그 급수는 z_(0)에 중심을 두고 z_(1)을 지나는 원 외부에 있는 모든 점에서 절대수렴한다.
둘째 제곱급수 □ a_(n)z^(n) 은 수렴원 내부에 있는 모든 점에서 z의 연속함수이고, 또한 정칙함수를 나타내며, 항등적으로 영(零)이 아닌 정칙함수의 영은 고립점(孤立點)이다.
제곱급수 □ a_(n)z^(n) 은 수렴원 내부에 있는 임의의 연속선을 따라 항별을 적분할 수 있고, 또한 수렴원 내부에 있는 모든 점에서 항별로 미분할 수 있다.
셋째 급수 □ c_(n)( z-z_(0) )^(n)이 환상영역 R_(0) < | z - z_(0) | < R_(1) ( 0< R_(0) < R_(1) ), 안에 있는 모든 점에서 f(z)에 수렴하면, 이 급수는 그 영역에서 ( z - z_(0) )의 제곱으로 된 함수 f의 로렌트급수 전개식이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis has studied the properties of the absolutely convergent and uniform convergence of power series, and has also studied the continuity and regularity inside the convergent series of the power series..etc.
First, if power series □ a_(n) ( z-z_(0) )^(n) converges when z = z_(1) ( z_(1) ≠ z_(0) ), it is absolutely convergent for every value of z such that ｜ z - z_(0) ｜＜ ｜ z_(1) - z_(0) ｜
If the series □ b_(n) / ( z-z_(0) )^(n) converges when z = z_(1), then it is absolutely convergent at every point z exterior to the circle centered at z_(0) and passing through z_(1)
Second, a power series □ a_(n)z^(n) represents a function that is continuous and analytic at evert point z interior to the circle of convergence of that series
The zeros of an analytic function f are isolated point, unless f is identically zero.
A power series □ a_(n)z^(n) can be integrated term by term along every contour interior to the circle of convergence, and can be differentiated term by term at each point z interior to the circle of convergence.
Third, if the series □ c_(n)( z-z_(0) )^(n) converges to f(z) at all points in some annular domain R_(0) < | z - z_(0) | < R_(1) ( 0< R_(0) < R_(1) ), then it is the Laurent series expansion for f(z) in powers of z - z_(0) for that domain.

목차 (Table of Contents)

• 목차 = i
• 국문초록
• Ⅰ. 서론 = 1
• Ⅱ. 급수의 수렴 = 3
• Ⅲ. 테일러의 급수와 로렌트 급수 = 9
• Ⅳ. 제곱급수의 제일수렴 = 20
• Ⅴ. 제곱급수의 정칙성 = 25
• 참고문헌 = 32
• ABSTRACT = 33