ON THE TOTAL CURVATURE OF IMMERSIONS = 잠입 사상에 대한 전곡률에 관한 연구

국문 초록 (Abstract)

유크릴 공간밖에서 모조된 추상적 n-다양체가 한 미분가능 사상에 의하여 n-N 차원 유크릴 공간 E^(n+N), N≥1,에 잠겨(immerse)들었을 때 가짐에서 생각할 수 있는 법선 벡타를 이용하여 기하학적으로 얻어진 곡률함수는 대역적(global)으로 그 곡면의 위상적 성질과 밀접한 관계가 있다.
2차 곡면에서 Gauss-Bonnet의 공식은 그 한 예일 것이다. S. S. Chern와 R. K. Lashof는 〔4〕에서 2차 곡면 위의 Gauss 곡률과 전곡률을 compact n-다양체 위에로 일반화한 Lipschitz-killing 곡률과 전곡률을 n+N 차원 유크릳 공간에 잠입하는 사상 f에 대하여 정의하였다.
그 후 N. H. Kuiper는 이들 M의 critical level과 관련시켜 발전시켰으며, 전곡률의 최소값의 존재를 이용하여 잠입사상 f의 성질 특히 최소잠입(minimal immersion)의 성질을 언급하고 있다. Kuiper의 〔12〕는 이 방면의 연구에 좋은 자료 인 것으로 사료 된다.
본 논문은 Lipschitz-Killing 곡률의 몇가지 성질을 증명하였고 (1,2),f 의 특이성(singularity)를 이용하여 전곡률의 정의를 해석하였다(3,4). 끝으로 현재 연구의 관심사의 하나인 최소잠입 f를 취급하는데 있어서 compact n-다양체 M에 관하여 전곡률 τ(M, f)의 최소값이 존재한다는 것은 중요한 이론적 근거가 되는 것이기 때문에 〔5〕와 〔7〕에서 언급한 이 증명을 본고에서는 기초적인 해석적 방법으로 상세한 증명을 보였다.