(A) Treatise on Heavy‐Tails and Machine Learning in Financial Economics

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

A heavy‐tailed behavior, the important characteristic of non‐Gaussian distribution, is essential to appropriate and precise data analysis. It is not hard to find a failure that Gaussian distribution does not fit well.
This treatise presents probability density functions for heavy-tailed random variables and generalized heavy-tailed pricing formula for the valuation of derivatives. These models and methods build on the recently characterized class of polynomial expansions, which are written analytically.
The first of this treatise is concerned with obtaining the generalized Gram-Charlier probability density function. The central limit theorems for the generalized Gram-Charlier and Edgeworth pdfs are derived. The generalized pdfs can be used for fitting heavy-tailed observations with the provided non-negativity regions.
The generalized heavy-tailed option pricing formula for the derivative valuation is presented. Since it uses the generalized Gram-Charlier pdf, its applicability to various distributions is shown with appropriate parameter sets. Modifying the existing series solutions, Black-Scholes partial differential equation and the boundary conditions are satisfied. The generalized solutions indicate that the valuation of the prices might suggest more than the equilibrium described by the Gaussian, so it is able to consider jumps.
A series of machine learning computations of evaluating the prices is compared with the generalized Gram-Charlier solution. Because of its analytic form, it suggests a possible way to interpret the black-box of learning solutions and to understand better how learnings present the optimal price for the heavy-tailed returns.
In this treatise, a new series of solutions to the heat equation is also presented. This solves the puzzle that empirical distributions deviate from the Gaussian one. The heat equation supports more than the equilibrium Gaussian processes. And the solutions depict various phenomena in diffusion processes under given conditions. It helps to derive the generalized heavy-tailed closed‐form option pricing.

국문 초록 (Abstract)

두터운 꼬리는 비가우시안 분포가 가지는 중요한 특징으로서, 데이터를 정확히 분석하는데 핵심적이다. 실제로 가우시안 분포로 끼워맞추기(fitting)가 어려운 경우가 많다.
본 학위논문은 두터운 꼬리를 가지는 확률변수들을 나타내기 위한 확률밀도함수와 두터운 꼬리에 기반한 옵션의 가격 평가식을 제시한다. 이들 방법은 해석적으로 표현되는 다항식 전개에 기초하고 있다.
전반부는 새롭게 일반화된 Gram-Charlier 확률밀도함수를 제시하고, 이를 얻는 방법을 다룬다. 일반화된 Gram-Charlier와 Edgeworth 확률밀도함수를 위한 중심극한정리를 유도했다. 비음(非陰)의 조건을 제시함으로써, 이들은 꼬리가 두터운 관측값이나 데이터를 다루는데 실제적으로 활용될 수 있다.
꼬리가 두터운 일반화된 옵션 가격 평가식도 제시되었다. 일반화된 Gram-Charlier 확률밀도함수를 사용하므로, 이를 이용한 몇 가지 예시의 분포를 들었다. 기존의 급수해를 수정하여, Black-Scholes 편미분방정식과 경계조건을 만족하도록 하였다. 일반화된 해는, 가격의 평가가 가우시안으로 표시되는 균형보다 더 다양할 수 있음을 보여준다. 따라서 점프와 같은 현상을 설명하는데 활용될 수 있다.
몇 가지 머신러닝 방법을 이용하여 옵션의 가격을 평가하고, 이를 일반화된 Gram-Charlier 해의 값과 비교하였다. 일반화된 Gram-Charlier 해가 가지는 해석적인 특징은, 블랙박스로 생각되는 머신러닝 해를 해석하는 데 도움이 된다. 또한 꼬리가 두터운 분포를 가지는 옵션의 최적가격이 머신러닝을 통해 도출되는 과정을 이해할 수 있는 기반이 된다.
본 논문에서는 열방정식의 새로운 급수해도 제시되어 있다. 이는 실제로 관찰되는 분포가 어떻게 가우시안 분포와 다른지에 대한 해답을 제시한다. 새로운 급수해를 통해 열방정식은 균형의 가우시안 과정보다 더 많은 경우를 설명할 수 있고, 확산 과정에서 나타나는 여러 현상을 더 잘 설명할 수 있다. 이 해들은 꼬리가 두터운 일반화된 옵션 가격 평가식의 근간이 된다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• List of Figures v
• List of Tables vii
• I Introduction 1
• 1 Non-Gaussian pdf and polynomial expansions to the Gaussian 6
• 2 Structure of the work 13
• II A Generalized Central Limit Theorem for Skewed and Heavy-tailed Distributions 19
• 1 Introduction 19
• 2 Generalized Gram-Charlier pdf 22
• 3 Generalized central limit theorems 29
• 4 Non-negativity conditions 35
• 5 Conclusion 50
• III A Heavy-tailed Closed-form Option Pricing around Gram–Charlier Expansion 51
• 1 Introduction 51
• 2 Heavy-tailed distributions and generalized Gram- Charlier distribution 55
• 3 A heavy-tailed closed-form option pricing formula 70
• 4 Black-Scholes pde and generalized solutions 77
• 5 Summary 81
• IV Machine Learnings and Option Pricing 82
• 1 Introduction 82
• 2 Data analytics: machine learnings 86
• 3 Explainable solution: the heavy-tailed one 93
• 4 Conclusion 96
• V General Solutions of the Heat Equation 98
• 1 Introduction 98
• 2 Similarity reduction 100
• 3 Generalized solution 105
• 4 Boundary-value problems 107
• 5 Entropy 116
• 6 Summary 120
• Appendix 121
• Bibliography 123
• Abstract (Korean) 129