General Decay for a Wave Equation with a Logarithmic Nonlinearity

국문 초록 (Abstract)

파동방정식（wave equation）은 유체역학, 탄성학, 음향학과 같은 다양한 분야들에 광범위하게 적용되는 기초적인 수학적 모델이다. 점탄성 파동방정식（viscoelastic wave equation）은 과거 변형 이력을 기억하는 메모리 항（memory kernel）을 통해 시스템 자체의 내재적인 에너지 소산（dissipation） 메커니즘을 모델링함으로써, 외부 제어 없이도 시스템 전체 에너지의 일반적인 감쇠（general decay） 경향을 결정하는 결정적인 토대를 제공한다. 로그 비선형 항（logarithmic nonlinearity）인 외력항（source term）과 결합한 파동방정식은 광학, 양자역학, 엔트로피 등 물리적 시스템을 모델링하는 데 있어 필수적인 요 소이다. 나아가 음향 경계 조건（acoustic boundary conditions）과 결합한 파동방정식은 소리의 전달, 흡수, 반사와 같은 필수적인 음향 현상을 수학적으로 분석하는데 핵심적인 역할을 수행한다. 본 논문에서는, 실제 물리적 현상을 반영하는 로그 비선형 항과 결합한 약하게 감쇠된（weakly damped） 파동방정식의 수학적 구조를 다룬다. 일반적인 파동방정식 모델에서 출발하여, 이완 함수 （relaxation function）에 대한 최소한의 제한 조건과 음향 경계 조건을 결합한 확장된 형태의 로그 비선형 항을 갖는 점탄성 파동방정식 모델을 구축한다. 해당 시스템에 존재하는 전역 해（global solution）의 시스템 전체 에너지의 감쇠 속도（energy decay rates）를 승수법（multiplier method）, 볼록 함수의 성질, 미분-적분 방정식의 특성을 기반으로 명시적으로 도출하고 분석한다. 이는 기존의 강한 제한 조건을 극복하고 보다 일반화된 점탄성 비선형 모델의 장기적인 거동（long-time behavior）을 이해하는 데 중요한 이론적 토대를 제공한다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 2 General decay for a wave equation with a logarithmic nonlinearity 7
• 2.1 Preliminaries 7
• 2.2 Global existence 10
• 2.3 Technical lemmas 12
• 2.4 General decay 17
• 3 General decay for a viscoelastic equation with acoustic boundary conditions and a logarithmic nonlinearity 24
• 3.1 Preliminaries 25
• 3.2 Global existence 27
• 3.3 Technical lemmas 29
• 3.4 General decay 36
• 4 General decay for a weak viscoelastic equation with acoustic boundary conditions and a logarithmic nonlinearity 42
• 4.1 Preliminaries 43
• 4.2 Global existence 46
• 4.3 Technical lemmas 48
• 4.4 General decay 56
• 5 Conclusion 64
• Bibliography 65