Inverse Polynomial Module and Localization : 역다항식모듈과 국소성

국문 초록 (Abstract)

R이 항등원을 가지고 S가 자연수의 부분모노이드이며 M이 좌 R-모듈이면 쌍멱다항식 M[[χ^(-1), χ]]는 좌 R[χ^(s)]-모듈이다.
Mckerrow는 만약 R이 좌 Noetherian환일 때, E가 단사 좌 R-모듈일 필요충분조건이 역다항식 E[χ^(-1)]가 R[χ]-모듈로써 단사인 것을 보였다.
본 논문에서 우리는 쌍멱다항식 M[[χ^(-1), χ]]의 성질을 연구하고, 만약 E가 단사 좌 R-모듈이고 S가 자연수 N의 부분모노이드이 면 E[[χ^(-1), χ]]가 단사 좌 R[χ^(s)]-모듈임을 보였다.
S= {0, k_(1), k_(2), k_(3)…}가 자연수의 부분모노이드이고 이 좌 R-모듈이면, 다음과 같이 정의된 쌍멱다항식 M[[χ^(-1), χ]]은 좌 R[χ^(s)]-모듈이다.
◀식 삽입▶(원문을 참조하세요)
그리고 Hom_(R)(R[χ], E) 와 역멱다항식 E[χ^(-1)]이 R[χ]-모듈로써 다음과 갈이 Φ를 정의함으로써 동형이 됨을 알 수 있었다.
Ф(f)=f(1)+f(ｘ)ｘ^(-1)+f(ｘ^(2))ｘ^(-2)+…, f∈Hom_(R)(R〔x〕,E).
또한 만약 R이 좌 Noetherian환이고 E가 단사 좌 R-모듈이며 E가 ker(f)의 본질적 확장이면서 f가 End(5)의 원소일 때, f는 E상에서 국소적으로 거듭제곱이 0이 됨을 알 수 있었다. 이 사실을 이용하여, 만약 R이 Noetherian환이고 E가 단사 좌 R-모듈이면 E[χ^(-1)]가 R[χ]- 모듈로써 단사적 포락면임을 보였다.
또한 P가 사영 좌 R-모듈일 필요충분조건이 P[χ]가 R[χ]-모듈로써 사영일 때임을 보였다. 그리고 P[χ^(-1)]는 사영 좌 R-모듈에 대해 R[χ]-모듈로써 사영이 아님을 다음의 그림을 이용하여 보일 수 있었다.
◀그림삽입▶(원문을 참조하세요)
마지막으로 국소성 T^(-1) R[χ^(S)]가 평탄 R[χ^(S)]-모듈임을 보이고, 그 때 국소성 T^(-1) R[χ^(S)]와 쌍다항식 R[χ^(-1), χ]가 R[χ^(S)]-모듈로써 동형임을 보였다. 그리고 단사 좌 R-모듈 E에 대해 단사 좌 R[χ^(S)]-모듈로써 Hom_(R)(R[χ^(-1), χ], E)을 만들 수 있었고, Hom_(R)(R[χ^(-1), χ], E)와 쌍벽다항식 의E[[χ^(-1), χ]]가 R[χ^(S)]-모듈로써 동형이 됨을 보였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Let R be a ring with unity and S be a submonoid of the set of natural numbers N, and M be a left R-module, then M[[χ^(-l),χ]] is a left R[χ^(S)]-module. Mckerrow prove that R is a left noetherian ring then E is a injective left R-module if and only if the inverse polynomial module E[χ^(-1)] is an injective left R[χ]-module.
In this paper we study the properties of bipower series M[[χ^(-1),χ]] and we prove if E is an injective left R-module and S is a submonoid of the natural numbers N, then E[[χ^(-1),χ]] is an injective left R[χ^(S)]-module.
Let S = (0, k_(1), k_(2), k_(3),ㆍㆍㆍ} be a submonoid of the natural numbers and M be a left R-module, then M[[χ^(-l),χ]] is a left R[χ^(S)]-modules such that
r(ㆍㆍㆍ+m_(i)χ^(2)+ㆍㆍㆍ+m_(1)χ+m_(0)+n_(1)χ^(-1)+ㆍㆍㆍ+n_(i)χ^(2)+ㆍㆍㆍ)
=ㆍㆍㆍ+rm_(i)χ^(2)+ㆍㆍㆍ+rm_(1)χ+rm_(0)+rn_(1)χ^(-1)+ㆍㆍㆍ+rn_(i)χ^(-2)+ㆍㆍㆍ.
and
r(ㆍㆍㆍ+m_(j)χ^(j)+ㆍㆍㆍ+m_(1)χ+m_(0)+n_(1)χ^(-1)+ㆍㆍㆍ+n_(j)χ^(-j)+ㆍㆍㆍ)
=ㆍㆍㆍ+m_(j)χ^(j+k_(i))+ㆍㆍㆍ+m_(1)χ^(1+k_(i))+m_(0)χ^(k_(i))+n_(1)χ^(-1+k_(i))+ㆍㆍㆍ+n_(j)χ^(-j+k_(i))+ㆍㆍㆍ.
And we show that Hom_(R)(R[χ], E) and the inverse power series E[[χ^(-1)]] are isomorphic as R[χ]-modules by defining
Φ(□)=f(1)+f(χ)χ^(-1)+f(χ^(2))χ^(-2)+.ㆍㆍ
for □ ∈ Hom_(R)(R[χ], E).
So we prove that if R is a left noetherian ring and E is an injective left R-module and □ ∈ End(E) is such that E is an essential extension of ker(□), then □ is locally nilpotent on E. Using this fact, we prove that if R is a noetherian ring, and E is an injective left R-module, then E[χ^(-l)] is an injective envelope of E as R[χ]-modules.
And we prove that P is a projective left R-module if and only if P[χ] is
a projective left R[χ]-module.
And we prove that P[χ^(-1)] is not a projective left R[χ]-module for a projective left R-module P, by showing that the following diagram
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can not be completed as an R[~]-linear map.
Finally we prove that the localization T^(-1)R[χ^(S)] is a flat R[χ^(S)]-module and then we claim T^(-1)R[χ^(S)] and R[χ^(-1), χ] are isomorpic as R[χ^(S)]-modules. And for an injective left R-module E, we can make Hom^(R)(R[χ^(-1), χ], E) as an injective R[χ^(S)]-module, and we show Hom^(R)(R[χ^(-1), χ], E) and E[[χ^(-1), χ]] are isomorphic as R[χ^(S)]-modules.

목차 (Table of Contents)

• CONTENTS = ⅲ
• Ⅰ. Introduction = 1
• Ⅱ. Preliminaries = 4
• Ⅲ. Injective Properties of M[x] and M[x^(-1)] = 8
• Ⅳ. Projective properties of M[x] and M[x^(-1)] = 16
• Ⅴ. The localization T^(-1)R[x^(s)] = 24
• References = 32
• ABSTRACT = 33