역동적 기하 환경에서 비례에 기반한 함수와 이차방정식 작도 문제 해결 과정 연구 = A Study on Construction Problem Solving Process of Functions and Quadratic Equations Based on Proportion in the Dynamic Geometry Environment

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 중학교에서 함수 그래프와 이차방정식을 지도함에 있어 대수와 기하의 연결성을 기반으로 한 접근 방법을 선택하여 지필 환경과 역동적 기하 환경에서 학생들이 과제를 해결하는 과정과 전략을 분석함으로써 수학적 연결성을 기반으로 한 지도 방안의 근거와 가능성을 제시하는 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

가. 대수와 기하의 연결성을 기반으로 하여 함수의 그래프를 관찰할 때 학생들의 사고과정은 어떠한가?
1) 비례는 수학적 연결자로서 어떤 역할을 하는가?
2) 과제를 해결하는 과정에서 분석법과 종합법의 역할은 어떠한가?
3) 역동적 기하 환경에서 함수 (단, )의 그래프를 관찰할 때 학생과 DGS, DGS와 과제 간의 다중적 관계는 어떠한가?


나. 대수와 기하의 연결성을 기반으로 하여 이차방정식을 학습할 때 학생들의 사고과정은 어떠한가?

1) 비례는 수학적 연결자로서 어떤 역할을 하는가?
2) 과제를 해결하는 과정에서 분석법과 종합법의 역할은 어떠한가?
3) 역동적 기하 환경에서 이차방정식 과
(단, )의 해를 작도할 때 학생과 DGS, DGS와 과제 간의 다중적 관계는 어떠한가?

본 연구에서 설정한 연구 문제를 해결하기 위해 중학교 3학년 학생 6명을 대상으로 예비 실험을 하였으며 그 결과를 토대로 하여 4명의 학생을 대상으로 본 실험을 실시하였다. 연구 문제 가를 해결하기 위해서 세 가지 함수 그래프 과제를 설정하였고 연구 문제 나를 해결하기 위해서 두 가지 이차방정식 과제를 설정하였다. 과제는 비례를 수학적 연결자로 하여 개발되었으며 결과 분석을 위하여 학생들이 지필 환경과 역동적 기하 환경에서 과제를 해결하는 모든 과정을 녹화한 동영상 자료, 면담 자료, 활동지 자료 등을 수집하였다. 연구자가 예비 실험과 본 실험의 모든 수업을 직접 진행하였으며 수업 후에는 회고적 분석을 통해 대수와 기하의 연결성에 기반을 둔 함수 그래프와 이차방정식 지도의 가능성에 대한 근거를 수집・분석하였다.
본 연구의 결과를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫째, 대수와 기하의 연결성을 기반으로 한 함수 과제를 해결하는 동안 학생들은 비례와 닮은 도형의 관점에서 함수의 그래프를 관찰하게 되었다. 특히 역동적 기하 환경에서의 활동을 통해 함수의 종속성, 정의역과 그래프, 공역과 그래프 사이의 관계를 보다 직접적으로 이해할 수 있게 되었다.
둘째, 대수와 기하의 연결성을 기반으로 한 이차방정식 과제를 해결함으로써 학생들은 대수적으로만 학습했던 이차방정식의 해를 도형의 선분의 길이를 통해 인식하게 되었으며 이차방정식의 판별식을 기하학적인 관점에서 경험하게 되었다.
셋째, 연구 문제 가에서 비례는 수학적 연결자로서 함수식과 닮음, 작도, 중심각과 원주각 사이의 관계 등을 연결하였고 연구 문제 나에서는 이차방정식과 닮음, 작도, 중심각과 원주각 사이의 관계, 접선과 할선의 관계 등을 연결하였다. 또한 비례는 역동적 기하 환경에서 작도한 도형이 적절한 비례 관계를 유지하는가를 판단하는 기준이 됨으로써 지필 환경의 닮은 도형과 역동적 기하 환경의 닮은 도형을 연결하는 역할을 하였다.
넷째, 비례 문제의 맥락과 수치적 관계를 다양화함으로써 비례추론능력을 향상시킬 수 있다는 선행 연구의 관점에서 볼 때 본 연구의 비례 문제는 비례추론능력을 향상시킬 수 있는 기회가 되었다.
다섯째, 분석법과 종합법은 연결성을 기반으로 한 과제에서도 의미 있게 활용될 수 있음을 확인하였다. 특히 지필 환경에서 함수식이나 대수식으로부터 비례식을 찾고 비례식으로부터 닮은 관계를 찾아가는 과정에서 대수적 분석법과 기하적 분석법이 함께 활용되었으며 역동적 기하 환경에서는 분석법을 통해 새로운 작도 전략을 세워 나갈 수 있었다.
여섯째, 역동적 기하 환경에서 GSP라는 DGS를 통해 과제를 해결해 나갈 때 학생(전략)과 DGS(활동), DGS(활동)와 과제(목표) 간의 다중적 관계는 이중 불일치, 단일 불일치, 조화, 반성적 일반화의 발달 단계를 거치게 됨을 확인하였다. 학생들은 이 발달 단계를 거치면서 DGS라는 인공물을 과제를 해결하기 위한 도구로 사용하게 되었으며 함수와 이차방정식에 대한 개념적 이해가 깊어질 수 있었다. 또한 네 가지 발달 단계는 실험 집단이나 과제의 특성에 따라 일부 단계가 생략될 수는 있으나 순서가 변하지는 않으며 네 가지 발달 단계에 영향을 미치는 요인으로서 교사의 발문과 DGS의 투명성의 정도, 교사와 학생, 학생과 학생 간의 상호 작용 등이 있음을 확인하였다.
일곱째, 교사는 과제를 해결하기 위한 학생들의 전반적인 활동을 안내하였으며 특히 역동적 기하 환경에서는 학생들이 기능적인 문제로 고민하지 않고 과제에 집중할 수 있도록 돕는 역할을 하였다. 또한 역동적 기하 환경에서 학생들이 이중 불일치, 단일 불일치를 경험할 때 대화를 통해 불일치의 원인을 발견해서 조화의 단계에 도달할 수 있도록 도왔으며 이후에 새로운 과제를 탐색할 수 있도록 권장함으로써 반성적 일반화의 단계로 나아갈 수 있도록 안내하였다.

본 연구에서는 비례에 기반한 함수와 이차방정식 작도 문제를 해결하는 과정을 통해 학생들이 함수의 종속성과 이차방정식에 대한 기하학적 관점을 경험하게 되었음을 확인하였다. 또한 역동적 기하 환경에서 작도 문제를 해결하는 과정에서 이뤄지는 학생, 도구, 과제 간의 다중적 관계는 이중 불일치, 단일 불일치, 조화, 반성적 일반화의 단계를 거치게 됨을 확인하였다. 그러한 의미에서 본 연구는 현재의 함수 그래프와 이차방정식 지도 방법이 지니는 한계를 보완할 수 있는 지도 방안에 대한 가능성을 제시하는 한편 학생들이 역동적 기하 환경에서 과제를 해결하는 과정에 대한 분석의 틀을 제시함으로써 역동적 기하 환경에서의 학습 활동에 대한 이해를 높이고자 하였다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구문제 4
• 3. 용어의 정의 5
• 4. 연구의 제한점 7
• Ⅱ. 이론적 배경 8
• 1. 수학적 연결성 8
• 2. 분석법 13
• 3. 비례추론 16
• 4. 역동적 기하 환경 18
• 5. 문헌 검토에 대한 논의 23
• Ⅲ. 연구 방법 25
• 1. 연구 방법 및 절차 25
• 2. 연구 대상 31
• 3. 자료 수집 32
• 4. 자료 분석 33
• Ⅳ. 결과 및 논의 41
• 1. 연구 문제 가의 연구 결과 41
• 가. 수학적 연결자로서 비례의 역할 41
• 나. 분석법과 종합법의 역할 47
• 다. 역동적 기하 환경에서 함수의 그래프를 관찰할 때 나타난 학생과 DGS, DGS와 과제 간의 다중적 관계 53
• 2. 연구 문제 나의 연구 결과 69
• 가. 수학적 연결자로서 비례의 역할 69
• 나. 분석법과 종합법의 역할 73
• 다. 역동적 기하 환경에서 이차방정식의 해를 작도할 때 나타난 학생과 DGS, DGS와 과제 간의 다중적 관계 79
• 3. 논의 89
• Ⅴ. 결론 98
• 1. 요약 98
• 2. 결론 102
• 3. 제언 105
• 참 고 문 헌 107
• ABSTRACT 115
• 부록 119

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