Symplectic Hamiltonian Discontinuous Galerkin methods for linear wave equations

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

We present a staggered discontinuous Galerkin (SDG) method for solving linear wave equations with Hamiltonian structures. However, it is challenging to implement time integrators to maintain physical properties. In this thesis, we address a problem by using symplectic integrators, which can be represented by a given Hamiltonian function. We first apply SDG method for spatial discretization on both uniform meshes and polygonal grids to ensure stability through inf-sup conditions. Next, we examine various symplectic integrators, including implicit Euler, leapfrog (Störmer-Verlet), and implicit midpoint schemes to preserve Hamiltonian systems. In particular, we focus on semi-discrete and fully discrete formulations for a priori error analysis. These results provide insights into CFL conditions, quadratic invariants, and long-time behavior of Hamiltonian systems.

국문 초록 (Abstract)

해밀토니안 구조를 가진 선형 파동 방정식을 풀기위해 스테거드 불연속 갤러킨(SDG) 방법을 제시한다. 하지만, 단순한 시간 적분기로는 물리적 성질을 유지하기에 어려움이 있다. 본 학위 논문에서는 주어진 해밀토니안 함수를 통해 표현될 수 있는 심플렉틱 적분기를 사용하여 이 문제를 해결한다. 먼저, 균일 격자와 다각형 그리드에서 공간 이산화를 위해 SDG 방법을 적용하고 Inf-Sup 조건으로 안정성을 보장한다. 이후, 암시적 오일러 방법, 리프로그 방법(스토르머-베를레 방법), 그리고 암시적 중적법과 같이 다양한 심플렉틱 적분기를 분석하여 해밀토니안 시스템을 보존한다. 특히, 선험적 오차해석을 위해 반이산 및 완전이산 형태에 초점을 둔다. 이 결과는 CFL 조건, 이차 불변량, 그리고 해밀토니안 시스템의 장시간 거동에 대한 중요한 통찰을 제공한다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 2 Preliminaries 4
• 2.1 Requisite Inequalities 4
• 2.2 Function spaces 5
• 2.2.1 Lebesgue Spaces 5
• 2.2.2 Sobolev spaces 5
• 2.2.3 H(div,Ω) 8
• 2.3 Staggered mesh 9
• 2.3.1 Star-shaped Domain 9
• 2.3.2 Mesh description 9
• 2.3.3 Discrete space 11
• 2.3.4 Interpolations 12
• 2.4 Symplectic Integration in Hamiltonian Systems 13
• 2.4.1 Hamiltonian systems 13
• 2.4.2 Integrability Lemma 13
• 2.4.3 Symplectic Integrators 13
• 2.4.4 Long-time behavior of numerical solutions 15
• 3 The semi-discrete method for linear wave equation 16
• 3.1 The semi-discrete formulation 17
• 3.2 Error analysis of a semi-discrete method 21
• 4 The fully discrete methods for linear wave equation 25
• 4.1 The fully discrete formulation 25
• 4.2 Error analysis of fully discrete methods 25
• 4.2.1 Implicit and Variant Euler methods 27
• 4.2.2 Implicit midpoint method 31
• 4.3 Long-time Behavior of Numerical Solutions 34
• 5 Numerical experiments 37
• 5.1 Verification of Convergence rates 37
• 5.1.1 Examples and results 38
• 5.1.2 Conclusion 39
• 5.2 Verification of Energy Conservation 39
• 5.2.1 Examples and Results 39
• 5.2.2 Conclusion 40
• Bibliography 50
• 국문초록 55