폴리큐브 전개도 만들기의 일반화 과정에 대한 탐구 = A Study on the Generalization of Creating Development Figures of the Poly Cube

국문 초록 (Abstract)

폴리큐브 전개도 만들기의 일반화 과정에 대한 탐구 최 미 정 수학영재교육전공 경인교육대학교 교육전문대학원 전개도 만들기는 3차원 입체도형이 2차원 평면도형으로 표현되는 수학적 으로 의미 있는 주제이다. 특히 정육면체의 전개도는 초등학교 교육과정에 서 입체도형을 다루면서 배우게 되는 친근한 소재이다. 정규교육과정이 아 닌 영재 학생들이라면 불규칙한 입체도형의 전개도를 탐구해 볼 필요가 있 으며 영재가 아닌 학생들도 입체도형 전개도 만들기에 관한 다양한 방법의 학습 경험이 필요하다. 본 연구에서는 정육면체와 폴리큐브의 전개도를 만들기 위해 폴리오미노 를 사용하였다. 정육면체의 전개도는 펜토미노 이하 폴리오미노의 결합으로 만들 수 있으며 정육면체를 단위 큐브로 하는 폴리큐브의 전개도 역시 폴리 오미노의 결합으로 만들 수 있다고 보았다. 이러한 관점에 따라 폴리오미노 를 사용하여 정육면체와 폴리큐브의 전개도를 만드는 방법을 탐구하고 전개 도를 만드는 과정의 일반화를 고찰하였다. 탐구된 일반화 과정은 정육면체의 모서리를 잘라서 정사각형이 2개 붙은 조각, 3개 붙은 조각, 4개 붙은 조각으로 분리한 후 꼭짓점을 표시하고, 분 리된 조각의 접힌 모서리를 펼치거나 자르는 평면화를 거쳐 폴리오미노 간 의 공통 변을 붙이는 과정으로 일반화하였으며 이 일반화 과정으로 정육면 체의 전개도 11개를 모두 완성하였다. 이러한 일반화 과정은 정육면체를 단 위 큐브로 하는 폴리큐브로 확장 적용되었으며 폴리큐브 전개도 만들기에서 탐구된 일반화 과정은 폴리큐브의 모서리를 잘라 단위 큐브로 분리한 후 꼭 짓점을 표시하고, 분리된 단위 큐브의 접힌 모서리를 펼치거나 자르는 평면 화를 거친 후, 폴리오미노 간의 붙일 수 있는 변을 붙이는 과정으로 일반화 하였으며 이 일반화 과정으로 단위 큐브가 4개 이하인 폴리큐브의 전개도를 만들었다. 폴리오미노를 사용한 정육면체의 전개도 만들기의 일반화 과정과 폴리큐 브의 전개도 만들기의 일반화 과정 간의 가장 큰 차이점은 공통 변을 붙인 다는 개념이 붙일 수 있는 변을 붙인다는 개념으로 전환되는 것이다. 예를 들어 단위 큐브가 두 개인 디큐브의 전개도를 만들기 위해서 각 단위 큐브 를 분리할 때, 분리된 지점의 모서리들이 분리된 단위 큐브가 평면화된 폴 리오미노 간의 공통 변이 되며 그 지점의 변들 간은 변의 이동이 있더라도 여전히 공통 변의 개념이 적용되는 붙일 수 있는 변이 되는 것이다. 붙일 수 있는 변을 붙여서 전개도를 만드는 경우는 공통 변을 붙이는 경우보다 많아서 완성되는 전개도의 개수도 훨씬 많고 전개도의 형태가 다양하다. 본 연구는 3차원을 2차원화 하는 수학적 개념이 실질적으로 형상화하는 과정을 사고실험(思考實驗)의 방법으로 탐구하고 실행하였다. 본 연구에서 실행된 탐구 과정을 통해 입체도형과 전개도를 가르치는 교사와 배우는 학 생들이 수학적 개념이 이론적인 내용에서 머무는 것에서 나아가 함께 탐구 하고 실행하여 구체적이고 실질적이며 다양한 방식으로 형상화되는 수학적 경험을 할 수 있길 기대한다. 주제어: 전개도, 폴리오미노, 정육면체, 소마큐브, 폴리큐브, 수학적 경험

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ.서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구의 내용 4
• 3. 용어의 정의 4
• 가. 입체도형의 평면화 4
• 나. 기준 폴리오미노와 기준 단위 큐브 5
• 다. 여러 가지 기호들 5
• Ⅱ.이론적 배경 8
• 1. 입체도형의 평면화 8
• 2. 폴리오미노와 전개도 10
• 가. 3차원과 2차원의 전환으로써의 폴리오미노 10
• 나. 폴리오미노의 분류 기준과 전개도의 명칭 12
• 3. 정육면체의 평면그래프 16
• 4. 폴리큐브와 소마큐브 21
• 가. 폴리큐브 21
• 나. 소마큐브 23
• 5. 일반화 24
• Ⅲ. 폴리큐브의 전개도 26
• 1. 직육면체인 폴리큐브의 전개도 26
• 가. 정육면체의 전개도 26
• 나. 디큐브(2-0)의 전개도 54
• 다. 트리큐브(3-0)의 전개도 91
• 라. 테트라큐브(4-0, 4-1)의 전개도 103
• 2. 직육면체가 아닌 폴리큐브의 전개도 125
• 가. 트리큐브(3-1)의 전개도 125
• 나. 테트라큐브(4-2)의 전개도 128
• 다. 테트라큐브(4-3)의 전개도 131
• 라. 테트라큐브(4-4)의 전개도 135
• 마. 테트라큐브(4-5)의 전개도 137
• 바. 테트라큐브(4-6)의 전개도 141
• 사. 테트라큐브(4-7)의 전개도 144
• Ⅳ. 논의 및 결론 151