학생의 곱셈 연산자로서의 분수 개념 이해와 발달|RISS 상세보기

국문 초록 (Abstract)

학교 현장에서 다수의 학생은 분수 곱셈을 곱셈 원리에 대한 충분한 이해가 없는 상태에서 알고리듬을 기계적으로 학습하여 해결하고 있다. 그러나 분수 곱셈에 대한 관계적 이해가 바탕이 되지 않은 채 알고리듬을 형식화한 학생은 분수 나눗셈, 비례 추론, 대수적 추론 등의 후속 학습에 연속적으로 어려움을 겪게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 학생은 분수 곱셈 상황에서 곱셈 연산자로서의 분수 개념을 구성하여 주어진 양과 분수의 관계를 이해하고 분수 배를 곱셈식으로 나타내는 능력을 갖추어야 할 필요가 있다.
이러한 학습자의 상황에 대한 논의는 기존의 연구를 통해 꾸준하게 진행되어 왔다. 그러나 분수를 곱셈 연산자로 인식하는 데 어려움을 느끼는 학생의 상태를 보고하는 수준에서 논의된 연구들이 대부분이며 실제 학습 상황에서 어떤 양의 분수를 구하고 분수를 곱셈 연산자로 표현할 때 어떠한 제한이 있는지를 상세하게 관찰한 연구는 많지 않다.
따라서 본 연구는 단위 조정 이론을 바탕으로 분수 연산자 개념이 형성되지 않은 학생이 겪는 어려움의 원인과 상위 단계로 넘어가기 위한 인지적 요소가 무엇인지를 찾아 분석하고자 하였다. 이를 위해 두 명의 초등학교 4학년 학생을 대상으로 3개월(2021.6.～2021.8.) 동안 교수 실험을 진행하였다. 이를 통해 학생의 단위 조정 조작에 따른 곱셈 연산자로서의 분수 개념 이해와 발달 과정이 어떠한지를 연구한 결과는 다음과 같다.
첫째, 분수를 2수준 단위로 사용하여 이해하는 학생은 분수량을 포함한 두 양을 조정하거나 곱셈적 관계를 갖는 양으로 분수를 찾는 데 어려움이 있었다. 학생은 가역성을 구성함으로써 두 자연수 합성 단위의 조정을 바탕으로 단위 분수를 합성하였으나 전체와의 곱셈적 관계를 갖는 분수 개념을 형성하지 못하였다. 둘째, 1을 3수준 단위로 사용하여 이해하는 학생은 1과 단위 분수를 조정하였고 두 2수준 단위를 동시에 조정하여 자연수량에 대한 3수준 단위를 구성하였다. 그러나 자연수를 3수준 단위로 사용하여 이해하는 학생은 자연수량의 단위 분수를 반복할 때 자연수에 대한 3수준 단위 구조를 사용하는 데 어려움이 있었고 분수를 곱셈 연산자로 인식하지 못하였다. 셋째, 가분수를 3수준 단위로 사용하여 이해하는 학생은 단위 분수의 자연수를 자연수의 단위 분수로 전환하여 바라봄으로써 자연수량에 대해 단위 분수를 곱셈 연산자로 이해하기 시작하였으나 분수량을 기준 단위로 하여 분수를 사고하는 데 제한이 있었다. 그러나 학생은 합성 단위에 대한 스플리팅 조작을 통해 주어진 양에 대한 두 3수준 단위를 구성하고 이를 조정한 결과를 토대로 분수 개념을 추상화하여 식(어떤 양*분수)으로 나타내었다.
이러한 결과를 통해서 얻은 본 연구의 시사점은 다음과 같다. 첫째, 학생이 어떤 양의 분수를 구하기 위해 양을 조작하는 방식을 단위 조정 관점에서 분석함으로써 분수 연산자 개념에 관한 학생의 행동 특성 및 조작 방식의 변화를 미시적으로 설명하여 기존 연구 결과를 확장하였다. 둘째, 분배 분할 조작에 집중된 선행 연구를 보완하여 합성 단위에 대한 스플리팅 조작에 따른 해결 과정을 다루고 두 3수준 단위를 유연하게 변환하는 단위 조정 능력이 분수 연산자 개념과 어떠한 관련이 있는지를 밝힘으로써 분수 곱셈 학습에 대한 가능성을 새롭게 제시하였다. 셋째, 학생의 곱셈 연산자로서의 분수 개념이 연산을 수행한 계산 활동이 아니라 양적 추론에 기반한 측정 활동을 바탕으로 형성된 사례를 통해 분수의 연산자 개념과 측정 개념의 관계를 조명하였다.
위의 결과를 토대로 교사는 학생의 가용한 분할 조작에 따른 단위 조정 수준을 파악하고 양적 구조에 기반한 단위 조정 활동을 통해 학생에게 분수 곱셈을 학습하는 기회를 제공할 수 있다. 또한, 교육과정 개발자는 단위 조정 측면에서 곱셈 과제의 구성을 점검하고 곱셈 알고리듬에 대한 형식화 절차에 대해 보완할 필요가 있다. 이에 따른 후속 연구로 합성 단위에 대한 스플리팅 조작과 분배 분할 조작에 함께 주목하여 조작적 관점에서 개념적 분석을 기반으로 분수 곱셈 학습 계열에 관한 실증 연구가 수행되기를 기대한다.

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학교 현장에서 다수의 학생은 분수 곱셈을 곱셈 원리에 대한 충분한 이해가 없는 상태에서 알고리듬을 기계적으로 학습하여 해결하고 있다. 그러나 분수 곱셈에 대한 관계적 이해가 바탕이 ...

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