4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조에 관한 연구 (A study on topological and differential structures of smooth 4-manifolds)

국문 초록 (Abstract)

본 과제에서는 일반적인 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조, 즉 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지를 밝히는 문제’와 ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마나 많은 특이 미분구조가 존재하는지’를 밝히는 문제를 연구하였다.
구체적으로 첫째, b2+=1인 경우에 blow-up과 rational blow-down을 사용하여 기존의 알려진 유리곡면(rational surface)과 다른 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양체를 건설하였으며, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다는 보였다. 둘째, b2+>1인 경우에 단순연결인 제한된 범주에서 얻어진 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌 일반적인 경우로 확장하였다. 즉 "거의 모든 유한생성 표현군 G에 대하여, (b2+-b1+1)/2가 충분히 크고 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 을 만족하는 임의의 격자점 ((b2+-b1+1)/2, c12)에 대응하는 기본군이 G인 기약 4차원 미분다양체가 존재하고, 이들은 무한히 많은 서로 다른 특이 미분구조를 갖는다"는 사실을 증명하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this research project we studied the topological and differential structures of smooth 4-manifolds, that is, we studied the existence problem of irreducible smooth 4-manifolds corresponding to ((b2+-b1+1)/2, c12)-lattice point and the exotic smooth structures of such 4-manifolds.
Explicitly, in case of b2+=1, we first constructed an infinite family of new simply connected smooth 4-manifolds with b2+=1 and c12=4 which are not diffeomorphic to rational surfaces. Second, in case of b2+>1, we extended known results to the non-simply connected case, that is, we proved that "For almost all finitely generated presented group G, if every lattice point ((b2+-b1+1)/2, c12) satisfies 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 and (b2+-b1+1)/2 large enough, there exists an irreducible smooth 4-manifold with fundamental group G corresponding to the lattice point and it admits infinitely many distinct exotic smooth structures."