작도활동을 통한 중학교 평면도형의 지도에 관한 연구

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study explored the effect of dynamic geometry software such as CabriⅡ, GSP on middle school a Plane Figure. Central questions of this study are what is the effect of dynamic geometry software?
The results on the (given) inquiries are as follows:
First, the study of geometry with Investigation-based
Geometry-learning Software is instructive in that this software helps students assuming positiveness in construction activities and internalizing their mathematical knowledge.
Second, construction activities with Investigation-based
Geometry-learning Software promote students rediscovering the qualities of geometrical figures. Through the activities with this educational software, students can cognize and distinguish the intrinsic qualities of geometrical figures from peripheral qualities.
Third, construction activity with Investigation-based
Geometry-learning Software let students surmise or ascertain the principles of geometrical figures. Also, this software may indirectly suggest to the students the need of the surmised or ascertained principles being scientifically established.
Fourth, solving construction problems with Investigation-based Geometry-learning Software may help understanding correlation of notions between geometrical figures.

국문 초록 (Abstract)

현행 학교수학에서 초등학교와 중학교 1학년에서는 조작적 활동이나 직관적 취급을 중심으로 도형에 대한 직관적 통찰 능력을 키우고, 중학교 2 ? 3학년에서는 수학적 증명의 의의와 방법을 이해하고 논리적으로 표현하는 능력을 키워 평면에서의 논증기하를 완성하는 것으로 제시되어 있다. 하지만 대부분의 학생들은 직관 기하에서 추상적인 성질을 가지고 있는 도형의 본질적 구조에 대해 재발견하는 과정을 경험하지 못한 채, 추상적이고 형식화된 연역적 과정을 학습하게 되어 기하영역에 많은 어려움과 곤란을 느끼고 있다. 따라서 도형의 성질과 개념에 대해 본질적으로 접근할 수 있고, 연역적 증명 능력까지 연결될 수 있는 작도 활동이 하나의 대안이 될 수 있을 것이다.
작도 활동에서 기존의 지필 환경에서의 방법적 한계를 해결하고 다양한 활동과 새로운 문제를 제시하여 기하교육을 풍요롭게 할 수 있는 방법 중의 하나가 컴퓨터의 활용이다. 즉, 탐구형 기하 소프트웨어의 활용은 다음과 같이 기하교육에 많은 시사점을 줄 수 있다.
첫째, 전통적으로 일반적인 수학 수업 방식은 학생이 교사의 설명을 듣고 교사로부터 새로운 지식을 전달받는 것이다. 그러나 학생이 수동적으로 지식을 받아들이는 이러한 수업방식은 자칫하면 학생들에게 동기부여의 기회를 빼앗고 흥미를 잃게 할 수도 있다. 탐구형 기하 소프트웨어를 이용한 기하 학습은 학생들에게 작도 방법에 대하여 스스로 연구하고 탐구할 수 있는 능동적인 자세를 심어 줄 수 있고, 또한 수학적 지식을 내면화 할 수 있는 기회를 제공할 수 있다.
둘째, 작도 활동은 작도 방법을 발견하고 수행된 작도의 타당성을 입증하기 위해서는 도형의 여러 가지 성질을 알아야 하므로 작도 활동은 학생 스스로 도형의 성질을 재인식할 수 있게 한다. 그리고 탐구형 기하 소프트웨어에서의 작도된 그림들은 마우스로 기본점을 클릭하여 끌면, 그것에 종속된 도형은 처음 주어진 기하학적 관계를 유지하면서 움직이게 된다. 이러한 경험을 통해 학생들은 도형의 본질적인 성질과 비본질적인 성질을 분리해 내고, 이 성질간의 구분을 분명하게 인식할 수 있게 된다.
셋째, 학생들은 직관적으로 분명한 것으로 보이는 명제를 증명해야 하는 이유를 모르는 경우가 많거나 증명의 필요성을 인식했다 하더라도 형식적 수준 이전의 증명에서 형식적 수준의 증명으로 변화하는 과정에 많은 어려움을 겪고 있다. 이러한 의미에서 탐구형 기하 소프트웨어를 이용한 작도 활동은 기하학적 내용을 추측하거나 확인할 기회를 제공하거나 제공받을 수 있으며, 이를 통해 추측하거나 확인한 사실을 정당화하고자 하는 요구 즉, 증명의 필요성을 느끼게 할 수 있다. 예를 들어 수직이등분선의 작도 활동을 통하여 학생들은 수직이등분선 위의 한 점에서 양 끝점까지의 길이가 같음을 측정 기능을 통하여 확인할 수 있고 수직이등분선 위의 다른 많은 점들에서도 성립함을 직접 확인해 볼 수 있다. 여기서 수직이등분선 위의 모든 점에서도 양 끝점까지 길이가 같음을 보일 수 있는 방법을 생각하게 되고 자연스레 연역적 증명의 필요성을 인식할 수 있게 된다. 그리고 이러한 탐구형 기하 소프트웨어를 이용한 작도 활동은 기하 교육의 목표 중 하나인 사고력 증진과 추론 능력의 향상에 많은 도움을 줄 수 있다.
넷째, 학생들은 도형의 개념에 대한 이해가 부족하고 개념들 간의 체계적인 관련성을 파악하지 못하고 있다. 탐구형 기하 소프트웨어를 이용한 작도 활동은 도형들 간의 수평적 관련성을 이해하는데 도움이 될 수 있다. 이등변 삼각형의 경우 작도 활동과 그의 분석 과정을 통해 하나의 작도가 여러 개념의 특성을 동시에 갖고 있다는 것을 파악할 수 있다. 즉, 두 변이 같은 이등변 삼각형의 작도 과정의 분석을 통해 이 작도가 결국 두 밑각이 같은 삼각형의 작도와 동치의 작도라는 사실을 알 수 있다. 또한 이등변 삼각형의 작도과정의 분석을 통해 꼭지각의 이등분선이 밑변의 수직이등분선과 같다는 사실을 파악할 수 있다. 이렇게 작도과정의 분석을 통해 학생들은 이등변 삼각형의 정의 속에는 암묵적으로 여러 관계가 체계적으로 관련지어 있음을 알고 개념의 수평적 연결에 대해 인식할 수 있다.
마지막으로, 개념들 간의 수직적 관련성과 관련하여 삼각형과 사각형의 포함관계를 탐구형 기하 소프트웨어를 통해 의미있게 지도 할 수 있다.
사각형의 경우 평행사변형을 출발점으로 하여, 끌기와 측정을 통해 변이나 각에 대한 조건이 추가되는 과정에서 직사각형, 마름모, 정사각형이 만들어짐을 우선 시각적으로 확인 하고, 이 때의 작도 요소간이 특수화된 부분의 분석을 통해, 각각의 사각형의 작도과정을 평행사변형의 작도과정과 연결하여 수행할 수 있다. 이를 통해 평행사변형으로부터 자연스럽게 오는 공통적인 불변의 성질이 무엇인지, 또한 새롭게 강화되는 성질이 무엇인지를 작도 활동 중에 자연스럽게 구분할 수 있다. 마름모의 경우로 예를 들면, 끌기를 통해 평행사변형에서 마름모가 되는 경우를 시각적으로 확인한 다음, 이웃하는 두 변의 길이가 같아져야 마름모가 된다는 관찰로부터, 이웃하는 두 변이 같은 원의 반지름이 되도록 작도해야 함을 분석할 수 있을 것이다. 이를 토대로 같은 반지름의 두 선분에 대한 평행선의 작도로 마름모를 만드는 작도 과정을 통해, 마름모가 일종의 평행사변형임을 알고, 평행사변형에서 오는 성질과 마름모가 되기 위해 추가된 조건을 구분하여 포함관계에 대한 이해가 형성된다. 또한 마름모를 토대로 직사각형과 정사각형에 대해서도 같은 방법으로 탐구할 수 있다.
이렇게 미리 형성된 평행사변형의 개념과 성질을 연결하여 각각의 사각형에 대한 개념 및 성질을 학습할 때 비로소 사각형에 대한 굳건한 지식 토대를 형성할 수 있고, 또한 포함관계에 대한 오류 역시 수정되어 질 수 있다. 또한 학생들의 견실한 지식 토대로 자리 잡은 각각의 사각형의 개념과 사각형 간의 관련성 및 포함관계에 대한 이해는 기하 문제해결을 보다 용이하게 할 것이다.