수학 이론을 적용한 작곡 기법 연구 = A Study on Composition Technique applying Mathematics Theory

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 다양한 수학 이론(수학과 관련된 이론)들이 어떻게 음악 작곡과 연관되는지를 검증하는 것이다. 그리고 그 이론들을 적용하여 곡을 분석함으로써 수학 이론이 실제 적용되는 영역을 밝히고 수학적 분석 방법의 새로운 영역을 개척하여 음악 분석에 관한 연구 발전에 기여하는 것이다.
음악과 수학의 연관성에 대해서는 많은 학자들에 의해 연구되어 왔다. 피타고라스가 현의 길이와 음정의 관계를 알아낸 것을 시작으로 진동수와 음정과의 관계, 순정률과 평균율의 계산, 순정률과 배음렬의 관계에 이르기까지 수학을 이용한 연구들이 발전해 왔다. 유클리드, 보에티우스, 갈릴레이, 뉴턴, 오일러 등 여러 수학자들이 음악의 발전에 많은 영향을 끼쳤다.
고대부터 현대까지 사용되는 많은 음악 작곡 기법들이 수학 이론에 기초를 두고 있다. 황금분할, 피보나치수열, 중심축 이론, 정수비를 이용한 배음렬과 하모닉스 등을 그 예로 들 수 있다. 의도적이었는지 여부는 불분명하지만 뒤페, 바흐, 베토벤, 버르토크, 리게티 등 적지 않은 작곡가들의 곡에서 이러한 이론들의 근거가 나타난다. 그들의 곡을 분석함에 있어서 많은 학자들이 조성이나 선율, 리듬, 셈여림, 악기의 편성 등에 중점을 두었다. 일부 곡은 수학적 규칙을 중심으로 분석하기도 했으나 대부분의 곡들은 마디 수나 리듬의 패턴이 수학적 규칙을 포함한다는 정도만 언급하고 있다.
본 논문에서는 이 이론들이 적용되었다고 예상할 수 있는 버르토크의 <루마니아 포크댄스>와《미크로코스모스》를 수학 이론에 대응하여 연구함으로써 음악 분석의 수학적 영역을 확장시키고자 한다. 이를 통해 수학자들의 음악에 대한 관심과 음악가들의 수학에 대한 관심을 고취시킴으로써 보다 다양한 방법으로 음악을 이해하고 발전시키는데 기여하고자 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study aims to find various mathematical theories applied to music and show how they relate to the music composition. Furthermore, it aims to contribute to the research and development of music analysis by identifying areas where mathematical theories are practically applied and pioneering new areas of mathematical analysis methods while analyzing music by applying these theories.
The correlation between music and mathematics has been studied by many scholars. Starting with understanding the relationship between the length of string and pitch by Pythagoras, the study was advanced from the connection between frequency and interval to the calculation of pure temperament and equal temperament, and the relationship of pure temperament and harmonics. Also, many other mathematicians, such as Euclid, Galilei, Newton and Euler, had an influence on the development of music.
Many composition skills, which have been used from ancient times to nowadays, are based on mathematics, for example, Golden Section, Fibonacci Sequence, The Axis System, harmonics using constant ratio, Lucas Sequence, Set Theory, Stochastics and so on. It’s unclear whether it was intended, but we can find the application of these theories on quite a few composers’ music like Bach, Mozart, Beethoven, Palestrina, Bartók.
In this study, I will summarize and prove these theories and demonstrate how they relate to music composition. I’d like to expand the mathematical domain of music analysis by researching and matching the music of <Romanian Folk dances> and《Mikrokosmos》by Bartók, which expectedly used these composition skills and mathematics theories. In this paper, I intend to focus on research with the aspect of mathematical rules, excluding the common analysis methods.

목차 (Table of Contents)

• 목 차
• Ⅰ. 서론
• 1. 연구 목적
• 2. 선행 연구
• 3. 연구 방법 및 범위
• Ⅱ. 수학과 관련된 작곡 기법
• 1. 황금분할
• 2. 피보나치수열
• 1) 피보나치수열
• 2) 반음계적 시스템
• 3. 중심축 시스템
• 4. 하모닉스
• 1) 피타고라스의 오류
• (1) 피타고라스의 오류
• (2) 현의 길이·현의 진동수·무게와 음높이와의 관계
• 2) 음계
• (1) 피타고라스 음계
• (2) 순정률
• (3) 평균율
• 3) 배음렬
• 4) 하모닉스
• (1) 자연적 하모닉스
• (2) 인위적 하모닉스
• Ⅲ. 수학적 작곡 기법이 적용된 곡 분석
• 1. 버르토크 <루마니아 포크댄스> Sz.56
• 1) 1악장
• 2) 2악장
• 3) 3악장
• 4) 4악장
• 5) 5악장
• 6) 6악장
• 2. 버르토크《미크로코스모스》Sz.107
• 1) 55번
• 2) 78번
• 3) 101번
• 4) 102번
• Ⅳ. 결론
• 참고문헌
• ABSTRACT

참고문헌 (Reference)

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