드모르간의 관점에 따른 수학영재용 음수 지도 프로그램 개발 = Designing a Gifted Program for Negative Numbers Based on De Morgan's perspective

국문 초록 (Abstract)

이 논문은 드모르간의 음수 지도 관점을 기초로 하여 수학영재용 음수 지도 프로그램을 개발하는 것을 목적으로 한다. 드모르간은 19세기 대수 발달과정에서 추상대수학으로 나갈 수 있는 기초를 닦은 수학자인 동시에, 당시로서는 드물게도 초보 수학 학습자를 위한 다양한 저술을 남긴 학자이다. 드모르간은 대수를 보편산술, 기호대수, 의미적 대수로 나누어 설명하면서 각 단계에 따라 음수를 서로 다른 관점에서 접근하도록 하였다. 드모르간의 음수 지도 방법은 수학영재용 프로그램으로 다양한 잠재력을 가지고 있으나 그 현장 적용과정은 드모르간의 관점을 그대로 따르기 어려운 점이 있다. 프로그램을 적용할 학생들은 대부분의 경우 음수의 성질을 이미 학습한 상태이므로 음수 개념 자체를 습득하는 데 이 프로그램을 적용하는 것은 불가능하다. 그러나, 드모르간이 제시한 과정의 상세하면서도 점진적인 특징을 고려할 때, 음수 자체에 대한 수학적 탐구의 도구로 활용하는 것이 가능할 것으로 보인다. 이 연구에서는 드모르간의 관점에 따른 음수 지도 프로그램 개발에 앞서 프로그램의 현장 적용 가능성을 탐색하기 위하여 대학부설영재교육원의 중학교 2학년 영재학생 4명을 대상으로 2시간씩 2회에 걸쳐 실험수업을 실시하였다. 실험 결과 영재학생들은 교사가 준 제한조건 안에서 증명한다는 것의 의미를 이해할 수 있었고, 교사가 제시하지 않은 음수의 성질에 대한 탐구를 시도하는 등 음수에 대한 탐구 과정에 흥미와 능력을 보여주었다. 이 연구에서는 ‘보편산술 체계 안에서의 방정식을 통한 뺄셈 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 규칙 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 의미의 구성을 통한 음수, 복소수의 통합적 이해’의 3단계로 나누어 수학영재용 음수지도 프로그램을 구안하였다. 이 프로그램은 수학영재학생을 위한 음수 개념에 대한 탐구와 재음미 방법으로서, 공리적 수학 게임으로서 그 의의를 가질 것으로 보인다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study attempted the design of a program for gifted children based on De Morgan's view of the development of algebraic and negative numbers. De Morgan's view of the development of algebra makes the following distinctions: universal arithmetic, symbolic algebra, and significant algebra. The important feature of De Morgan's view of the development of algebra is that symbolic calculus, which consists of symbol systems without symbol meaning, is acquired; then, as extended meanings are furnished to symbols, symbolic calculus becomes logical and significant calculus is developed. In De Morgan's approach, the mathematical conceptions of students must be formulated progressively. To examine the feasibility of De Morgan's approach, a pilot study was designed: a program for gifted children, exploring impossible subtraction, investigating the rule for impossible subtractions, and constructing the significance of impossible subtraction in succession.

목차 (Table of Contents)

• I. 서론
• II. 음수에 대한 드모르간의 관점
• 1. 드모르간의 대수에 대한 관점
• 2. 음수에 대한 관점
• III. 수학영재용 음수 지도 프로그램의 현장 적용 가능성 탐색
• 1. 연구대상 및 연구방법
• 2. 결과 분석
• IV. 드모르간의 관점에 따른 수학영재용 음수 지도 프로그램
• 1. 보편산술 체계 안에서의 방정식을 통한 뺄셈 탐구
• 2. 불가능한 뺄셈에 대한 규칙 탐구
• 3. 불가능한 뺄셈에 대한 의미의 구성을 통한 음수, 복소수의 통합적 이해
• V. 결론 및 제언
• 참고문헌
• Abstract

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