A Unified Perspective on Thermodynamic Tradeoff Relations = 열역학적 상충관계에 대한 통합적 이해

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Thermodynamic descriptions of small systems have undergone rapid development in recent years, driven by advances in experimental techniques that allow direct observation of fluctuations in mesoscopic and microscopic systems. In such regimes, thermal noise is no longer negligible, and the second law of thermodynamics alone provides only limited constraints on non-equilibrium dynamics. To address this limitation, a class of inequalities known as thermodynamic tradeoff relations has been established, providing universal bounds that relate dissipation to fluctuations, precision, speed, and performance. These relations reveal fundamental limits on what non-equilibrium systems can achieve, independent of microscopic details.

This thesis develops a unified theoretical framework for thermodynamic tradeoff relations in both classical stochastic systems and open quantum systems. The central objective is to clarify the structural relationships among different tradeoff relations, to identify their common origins, and to extend these ideas into the quantum regime where coherence and measurement backaction play essential roles.

The first part of the thesis focuses on classical stochastic thermodynamics. After reviewing the foundations of stochastic thermodynamics for Langevin dynamics and Markov jump processes, several prominent tradeoff relations are examined in detail, including the thermodynamic uncertainty relation (TUR), the entropic bound (EB), the power–efficiency (PE) tradeoff, and the classical speed limit (CSL). Each relation is derived explicitly, and its physical meaning and domain of validity are discussed. Particular emphasis is placed on time-dependent and finite-time processes, which are most relevant for realistic experimental settings.

A central result of the thesis is the demonstration of a hierarchical structure underlying these seemingly distinct tradeoff relations. By introducing an extended thermodynamic uncertainty relation (XTUR) for general observables, it is shown that the EB, CSL, and PE tradeoff can be systematically derived as consequences of a more fundamental inequality. The formalism is applicable to both Langevin systems and Markov jump processes, and its validity is illustrated through several concrete examples, including driven Brownian particles, two-level systems, and systems subjected to inhomogeneous temperature fields.

The thesis further explores fluctuation–response inequalities (FRIs), which connect linear response theory with non-equilibrium fluctuations beyond the conventional fluctuation–dissipation theorem. It is shown that FRIs provide an alternative and unifying route to thermodynamic relations including the TUR and the equilibrium fluctuation-response relation.

The second part of the thesis extends the discussion to open quantum systems, where stochastic thermodynamics must be reformulated to account for quantum coherence, measurement backaction, and environmental decoherence. Using the Lindblad master equation and the quantum jump trajectory formalism, a consistent framework for defining entropy production and current fluctuations in open quantum systems is established. Within this framework, several proposed quantum thermodynamic uncertainty relations (QTURs) are analyzed and compared.

It is shown that, unlike in classical systems, quantum coherence can significantly modify or loosen thermodynamic bounds, and different QTURs capture distinct physical aspects of quantum dynamics. A systematic comparison of existing QTURs is carried out using a driven two-level system, highlighting the roles of quantum Fisher information, coherence-induced corrections, and measurement schemes. In addition, a quantum entropic bound (QEB) is derived, providing a quantum analogue of the classical EB and further extending the hierarchical perspective into the quantum domain. Connections between the QEB, QTURs, and quantum speed limits are discussed, emphasizing both their similarities and fundamental differences from classical results.

Overall, this thesis provides a coherent and unified understanding of thermodynamic tradeoff relations across classical and quantum non-equilibrium systems. By revealing the hierarchical structure among these inequalities and extending them to open quantum dynamics, the work deepens the conceptual foundations of stochastic thermodynamics and offers practical tools for characterizing dissipation, precision, and performance in small-scale systems. These results are expected to be relevant for a broad range of applications, including nanoscale heat engines, biomolecular processes, and emerging quantum technologies, and they point toward several promising directions for future research, such as many-body systems and non-Markovian dynamics

국문 초록 (Abstract)

미시적 및 중간 규모 시스템에서 요동을 직접 관측할 수 있는 실험 기법의 발전에 힘입어, 소규모 시스템에 대한 열역학적 기술은 최근 빠르게 발전해 왔다. 이러한 영역에서는 열적 잡음이 더 이상 무시될 수 없으며, 열역학 제2법칙만으로는 비평형 동역학에 대한 제약을 충분히 제공하지 못한다. 이러한 한계를 극복하기 위해, 열역학적 상충관계로 알려진 부등식들이 제안되었으며, 이는 소산과 정밀도, 속도, 성능 사이의 보편적인 관계를 제시한다. 이러한 관계들은 미시적 세부 구조와 무관하게 비평형 시스템이 달성할 수 있는 근본적인 한계를 드러낸다.

본 학위논문은 고전 확률 과정과 열린 양자 시스템 모두에 대해 열역학적 상충관계를 통합적으로 이해할 수 있는 이론적 틀을 구축한다. 주요 목표는 서로 다른 상충관계들 사이의 구조적 관계를 명확히 하고, 그 공통된 기원을 규명하며, 결맞음과 측정 역작용이 중요한 역할을 하는 양자 영역으로 이러한 개념을 확장하는 데 있다.

논문의 전반부에서는 고전 확률 열역학에 초점을 맞춘다. 랑주뱅 동역학과 마르코프 점프 과정에 대한 확률 열역학의 기초를 검토한 뒤, 열역학적 불확정성 관계, 엔트로피 바운드, 일률-효율 상충관계, 그리고 속도 제한 법칙을 포함한 주요 열역학적 상충관계들을 상세히 분석한다. 각 관계에 대해 수학적 유도 과정을 제시하고, 물리적 의미와 적용 가능 범위를 논의한다. 특히 실제 실험 상황과 밀접하게 관련된 시간 의존 과정과 유한 시간 과정에 중점을 둔다.

본 논문의 핵심 성과 중 하나는, 겉보기에는 서로 독립적으로 보이는 이러한 상충관계들 아래에 존재하는 계층 구조를 밝힌 것이다. 일반적인 관측량에 대해 확장된 열역학적 불확정성 관계를 도입함으로써, 엔트로피 바운드, 속도 제한 법칙, 그리고 일률-효율 상충관계가 보다 근본적인 부등식의 결과로 체계적으로 도출될 수 있음을 보인다. 제시된 형식은 랑주뱅 시스템과 마르코프 점프 과정 모두에 적용 가능하며, 구동된 브라운 입자, 두 준위 시스템, 비균일한 온도장을 갖는 시스템 등의 구체적인 예제를 통해 그 타당성을 확인한다.

또한 본 논문은 전통적인 요동-응답 정리를 넘어서는 요동–응답 부등식을 탐구한다. 이러한 부등식은 선형 응답 이론과 비평형 요동을 연결하며, 열역학적 불확정성 관계 및 요동-소산 정리를 포함한 열역학적 관계들로 이어지는 또 다른 통합적 경로를 제공한다.

논문의 후반부에서는 열린 양자 시스템으로 논의를 확장한다. 이 경우, 확률 열역학은 양자 결맞음, 측정 역작용, 환경에 의한 소산을 고려하여 재정식화되어야 한다. 린드블라드 마스터 방정식과 양자 점프 궤적 형식을 사용하여, 열린 양자 시스템에서 엔트로피 생성과 전류 요동을 정의하기 위한 일관된 틀을 구축한다. 이 틀 안에서 여러 가지 양자 열역학적 불확정성 관계들이 분석되고 비교된다.

고전 시스템과 달리, 양자 시스템에서는 결맞음이 열역학적 바운드를 현저히 수정하거나 느슨하게 만들 수 있음을 보인다. 서로 다른 양자 열역학적 불확정성 관계들은 양자 동역학의 상이한 물리적 측면을 포착하며, 구동된 두 준위 시스템을 예제로 사용하여 이들 바운드의 타이트함과 물리적 의미를 비교한다. 또한 고전적 엔트로피 바운드에 대응하는 양자 엔트로피 바운드를 유도함으로써, 계층적 관점을 양자 영역으로 확장한다. 이 과정에서 양자 엔트로피 바운드, 양자 열역학적 불확정성 관계, 그리고 양자 속도 제한 법칙 사이의 연결고리를 논의하며, 고전적 결과와의 유사점과 근본적인 차이를 함께 강조한다.

종합적으로 본 논문은 고전 및 양자 비평형 시스템 전반에 걸친 열역학적 상충관계에 대한 통합적인 이해를 제공한다. 상충관계들 사이의 계층 구조를 밝히고 이를 열린 양자 동역학으로 확장함으로써, 확률 열역학의 개념적 기초를 심화시키고 소규모 시스템에서의 소산, 정밀도, 성능을 정량화하기 위한 실질적인 도구를 제시한다. 이러한 결과는 나노 규모 열기관, 생체 분자 과정, 차세대 양자 기술 등 다양한 응용 분야에 기여할 것으로 기대되며, 다체계 및 비-마르코프 동역학과 같은 향후 연구 방향을 제시한다.

목차 (Table of Contents)

• Abstract i
• Contents iv
• List of Figures viii
• List of Papers xi
• 1 Introduction 1
• 2 Basics of stochastic thermodynamics 7
• 2.1 Overdamped Langevin dynamics of a colloidal particle in one dimension 7
• 2.1.1 First and second laws 9
• 2.1.2 Integral fluctuation theorems 12
• 2.1.3 Detailed fluctuation theorems 17
• 2.2 Multi-dimensional generalization and notion of parity 21
• 2.3 Stochastic thermodynamics of Markov jump processes 27
• 3 Introduction to thermodynamic tradeoff relations 34
• 3.1 Thermodynamic uncertainty relation (TUR) 37
• 3.1.1 Derivation of TUR for Markov jump system 37
• 3.1.2 Derivation of TUR for Langevin system 43
• 3.1.3 Applications of TUR 46
• 3.2 Entropic bound (EB) 50
• 3.2.1 Derivation of EB for Langevin system 51
• 3.2.2 Derivation of EB for Markov jump system 52
• 3.2.3 Application of EB 53
• 3.3 Power–efficiency (PE) tradeoff 61
• 3.3.1 Linear response theory 61
• 3.3.2 General proof 63
• 3.4 Classical speed limit (CSL) 65
• 3.4.1 CSL for Markov jump processes 66
• 3.4.2 CSL for overdamped Langevin systems 70
• 3.4.3 Application of CSL 73
• 4 Unified hierarchical structure among thermodynamic tradeoff relations 76
• 4.1 State-dependent observables and the main results 79
• 4.1.1 State-dependent observables 79
• 4.1.2 Main results 79
• 4.2 Extended Thermodynamic Uncertainty Relation (XTUR) 83
• 4.2.1 XTUR for Langevin systems 83
• 4.2.2 XTUR for Markov jump systems 87
• 4.3 EB from XTUR 89
• 4.3.1 Langevin systems 89
• 4.3.2 Markov jump systems 90
• 4.4 CSL from EB 93
• 4.4.1 Integral Probability Metric (IPM) 93
• 4.4.2 CSL for Langevin systems 94
• 4.4.3 CSL for Markov jump systems 96
• 4.5 PE tradeoff from EB 101
• 4.6 Examples 103
• 4.6.1 XTUR for an overdamped Brownian particle pulled by optical tweezers 103
• 4.6.2 EB for two-level batteries 106
• 4.6.3 CSL in Langevin systems subjected to inhomogeneous temperature field 110
• 5 Fluctuation–response inequalities (FRIs) 116
• 5.1 fluctuation–response relation (FRR) in equilibrium 118
• 5.2 FRIs for Markov jump processes 122
• 5.2.1 Derivation of the FRI 122
• 5.2.2 Relation between δ⟨Θ⟩/δFnm and δ⟨Θ⟩/δBnm 124
• 5.2.3 Numerical verification 125
• 5.3 FRIs for Langevin systems 128
• 5.4 Equilibrium FRR from FRI 133
• 5.4.1 τ → ∞ limit of the FRI 133
• 5.4.2 Onsager reciprocal relation and the equilibrium FRR 139
• 5.5 TUR from FRI 142
• 6 Thermodynamic tradeoff relations in open quantum system 146
• 6.1 Introduction to stochastic thermodynamics of open quantum system 148
• 6.1.1 Derivation of the Lindblad Master Equation 148
• 6.1.2 Quantum jump trajectories and fluctuation theorems 151
• 6.2 Thermodynamic uncertainty relations in open quantum systems 160
• 6.2.1 QTUR by Cram´er–Rao bound 161
• 6.2.2 QTUR witout Hamltonian perturbation 168
• 6.2.3 QTUR by stochastic representation 170
• 6.2.4 Comparing QTURs in a driven two-level system 173
• 6.3 Quantum entropic bound (QEB) 176
• 6.4 Quantum speed limit (QSL) 182
• 6.4.1 QSL with trace distance 182
• 6.4.2 QSL with quantum Wasserstein distance 185
• 6.5 Unified hierarchy of thermodynamic tradeoff relations in open quantum system 188
• 6.5.1 Unified hierarchy in nonresonant system 188
• 6.5.2 From QEB to QSL: general case 196
• 7 Concluding perspective and directions for future research 200
• 7.1 Concluding persepctive 200
• 7.2 Directions for future research 203
• Appendix A Proof of classical uncertainty relations using stochastic representation 206
• A.1 Stochastic representation approach in Markov jump systems 206
• A.2 Stochastic representation approach in overdamped Langevin systems 214
• A.3 Stochastic representation approach in underdamped Langevin systems 219
• A.3.1 Setup 219
• A.3.2 Calculation of ⟨J^Λ_τ Z_τ ⟩ 220
• Appendix B Calculation of the correction term δ for open quantum system 228
• Bibliography 232
• 초 록 249