학생들의 미분개념 오류유형에 대한 교사들의 인식조사

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In order to provide an efficient teaching plan so that students are able to understand and apply the concept and principle of differentiation, and increase the students' capability to solve questions and mathematical thinking skills, it is important to first perceive the errors that students make. Therefore, by comprehending the status of the teachers' perception in the errors the students make, this research aims to develop students' understanding of the basic concept of Differentiation, and provide a basic teaching strategy for teachers to improve students' mathematical learning. Firstly, this research aimed to understand the ratio of the types of errors that students make, and the ratio of the students' errors that the teachers perceive. Secondly, the researcher designated the research subject as the ratio of the types of mathematical errors made by students in the process of solving questions in chapters dealing with differentiation, and the ratio of students' errors as perceived by teachers. With this data, the researcher analyzed the students' errors and teachers' perceptions.
This research analyzed 425 students' answers to survey questions at senior students at three high schools in Daegu. In regards to teacher perception, the researcher provided errors made by students in the concept of differentiation from a previous research and surveyed the ratio of students who make these errors. Also, the researcher provided errors made by students in the process of solving problems and had the teachers rank the errors. With this data, the researcher investigated how the teachers perceived the ratio of students' errors. The students' questionnaire was composed of 12 questions. The questions dealt with the concept and meaning of differential coefficient, the meaning of differentiable, the concept of tangent, the understanding of derivatives and the tangent on the inflection point, the graph of derivatives, the concept and understanding of extreme value, and the understanding of position and velocity. Similarly, the teachers' questionnaire consisted of type of errors made by students regarding the concepts above.
As a result of the research, first of all, students made various errors and lacked understanding of the concept of differentiation. The most prominent errors consisted of the following: confusing the differential coefficient as the value of function on one point, confusing continuum and differentiable, the error that a tangent passes through a point of a curve and the gradient equals the line of the differential coefficient on that point, the error that the tangent of the inflection point changes in the same direction of the graph of the function f(x), and is the line that passes through the inflection point, the error that a tangent graph cannot be drawn on the inflection point, the error that the graph of the function and derivative has the same direction, the error that an undifferentiable point cannot have an extreme value, the error of unconditionally perceiving the extreme value as the function value of the solution to f′(x)=0, not being able to distinguish the position and movement distance at a specific time, and not being able to realize the velocity by looking at a graph.
Secondly, there was a difference in the ratio of the types of errors that students make in the concept of differentiation, and the ratio of the teachers' perception of the students' errors. There was a difference in the ratio of types of students' errors and ratio of the teachers' perception of the students' errors in the sections concerning the concept and meaning of differential coefficient, the concept of tangent, the understanding of the tangent on the inflection point, the concept and understanding of extreme value, and the understanding of position and velocity. Especially, the researcher was able to find out that there is a difference in the ratio of types of students' errors and ratio of the teachers' perception of the students' errors from the following types of errors: confusing the differential coefficient as a value of function on a certain point, mistaking the differential coefficient for the average rate of change at the entire interval, mistaking the differential coefficient for the rate of change at a certain interval, mistaking that the tangent passes through a certain point on a curve and that gradient is the same line as the differential coefficient on that point, mistaking that the tangent are the many lines that passes through a curve, mistaking that the tangent of an inflection point changes in the same direction as the graph of the function f(x) and is the single line that goes through point A, the error that a tangent graph cannot be drawn on the inflection point, mistaking that multiple tangents can be drawn upon the inflection point, the error of drawing the graph of a derivative of the entire function as the tangent on the inflection point, the error of perceiving the extreme value as the solution of f′(x)=0, the error that an undifferentiable point cannot have an extreme value, the error of perceiving the extreme value as maximum or minimum value, the error of perceiving the extreme value as the function value of the solution to f′(x)=0, confusing the time-distance graph and the time-velocity graph, and not being able to distinguish the velocity at a specific time. Thus, the teachers mistakenly perceived which sections had a high ratio in the errors that students made in the concept of differentiation.
Thirdly, there was a difference the ratio of the types of mathematical errors made by students in the process of solving questions in chapters dealing with differentiation, and the ratio of students' errors as perceived by teachers. The problems that omitted the explanation had the highest error ratio among the students; however, the teachers ranked these errors as the lowest, thinking that students had a low error ratio. Furthermore, the students had a low ratio of mistaking definitions or ineptly using theorems, but teachers wrongly perceived that students had a high error ratio in these sections.
It is necessary to break down the types of errors that student s make and analyze them in order to help students understand the principles and concept of differentiation and apply them. Also, it is necessary to understand and improve the teachers' perception of the students' errors concerning the concept of differentiation in order to help students understand the concept of differentiation. Lastly, a teaching-learning method is necessary to remove the prominent types of errors that appear among students.

국문 초록 (Abstract)

미분개념 학습에 있어서 학생들이 미분의 원리와 개념을 잘 이해하고 응용할 수 있도록 지도하는 효과적인 방안을 마련하고, 학생들의 문제 해결력과 수학적 사고력을 신장시킬 수 있는 학습지도 방법을 모색하기 위해서는 먼저 학생들이 나타내는 오류를 인식하는 것이 중요하다. 따라서 본 연구에서는 학생들이 나타내는 미분개념 오류에 대한 교사 인식 실태를 파악해봄으로써 학생들의 미분에 대한 기본적인 개념이해와 문제해결 능력을 발전시키고, 수학 학습을 개선시키는 교사의 교수 전략의 기초를 마련하고자 시도되었다. 본 연구는 첫째, 학생들에게서 나타나는 미분개념 오류유형의 비율과 교사들이 인식하는 학생 오류비율 파악, 둘째, 미분단원에 있어서 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학적 오류유형 비율과 교사들이 인식하는 학생 오류비율 파악을 연구문제로 정하여, 미분에서 나타나는 학생 오류와 교사들의 인식을 분석하였다.
연구는 대구의 3개 고등학교 3학년 자연계 425명의 학생을 대상으로 설문조사하여 답안을 분석하였다. 교사 인식은 선행연구에서 나타난 미분개념의 학생 오류를 제시하고 각 오류들에 있어서 어느 정도의 학생 비율이 나타나는지를 설문조사 하였다. 또한 학생들이 수학 문제를 해결하는데 있어서 나타내는 오류를 제시하고 각 오류의 순위를 작성하도록 하여 교사들이 학생 오류비율을 어떻게 파악하는지를 조사하였다. 학생 설문지는 12개의 문항으로 구성되었으며, 미분계수의 개념과 의미, 미분가능성의 의미, 접선 개념, 변곡점에서의 접선과 도함수의 이해, 도함수의 그래프, 극값의 개념과 이해, 위치와 속력의 이해에 관한 문항으로 구성되며 교사 설문지도 이러한 개념에서 나타나는 학생 오류유형 제시로 구성된다.
연구 결과, 첫째, 학생들은 미분개념에 있어서 다양한 오류들을 나타내며 미분개념에 대한 이해가 부족했다. 특히, 미분계수를 한 점에서의 함수값으로 혼동하는 오류, 연속과 미분가능성을 혼동하는 오류, 접선은 곡선 위의 한 점을 지나며 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선이라는 오류, 변곡점에서의 접선은 함수 f(x)의 그래프와 동일한 방향의 변화를 하며 변곡점을 지나는 직선이라는 오류, 변곡점에서는 접선을 그을 수 없다는 오류, 함수와 도함수의 그래프는 동일한 방향을 갖는다는 오류, 미분가능하지 않은 점에서는 극값을 가질 수 없다는 오류, 극값을 무조건 f′(x)=0 의 해의 함수값으로 인식하는 오류, 특정 시간에서의 위치와 이동거리를 구별하지 못하는 오류, 그래프를 보고 속력을 파악하지 못하는 오류가 많이 나타났다.
둘째, 학생들에게서 나타나는 미분개념 오류유형의 비율과 교사들이 인식하는 학생 오류비율 파악에는 차이가 있었다. 즉, 교사는 미분개념에 관한 오류에 있어서 어느 오류가 학생들에게서 높은 비율로 나타나는지를 잘못 파악하고 있었다.
셋째, 미분단원에 있어서 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학적 오류유형 비율과 교사들이 인식하는 학생 오류비율 파악에도 차이가 있었다. 풀이과정이 생략된 오류는 학생들에게서 가장 높은 비율로 나타났지만, 교사들은 이 오류가 학생들에게서 적게 나타날 것이라는 낮은 순위의 오류로 잘못 파악하고 있었다. 또한 정의나 정리를 부적절하게 사용하는 오류는 학생들에게서 낮은 비율로 나타났지만, 교사들은 이 오류가 학생들에게서 많이 나타날 것이라는 높은 순위의 오류로 잘못 파악하고 있었다.
미분의 원리와 개념을 잘 이해하고 응용할 수 있도록 하기 위해서는 학생들이 나타내는 오류를 좀 더 유형화하여 분석할 필요가 있다. 또한 학생들의 미분개념 이해를 돕기 위하여 교사들은 좀 더 학생들의 미분개념의 오류에 대한 실태를 파악하고 인식을 개선시킬 필요가 있으며, 학생들이 많이 나타내는 오류를 제거하기 위한 교수-학습 방법이 필요하다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 목적 = 1
• B. 연구 문제 = 3
• C. 연구의 제한점 = 3
• Ⅱ. 이론적 배경 = 4
• A. 미분개념과 문제해결 = 4
• B. 교사의 교수학적 지식 = 19
• Ⅲ. 연구방법 및 절차 = 24
• A. 연구대상 = 24
• B. 연구도구 = 24
• C. 연구절차 = 25
• D. 문항 구성 = 26
• Ⅳ. 결과 분석 = 29
• A. 문항별 응답유형 분석 = 29
• B. 학생들이 나타내는 미분개념 오류유형과 교사들의 인식 = 44
• C. 미분단원에 있어서 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학적 오류유형과 교사들의 인식 = 73
• Ⅴ. 결론 및 논의 = 84
• A. 결론 = 84
• B. 논의 및 제언 = 87
• 참고문헌 = 89
• 부록 조사 문제지(학생용) = 91
• ABSTRACT = 110