On characterization of the extreme points in a function space

국문 초록 (Abstract)

극점에 관한 이론은 1911년 H. Minkowski 에 의하여 연구되기 시작하였다. 그 후 1940년, Minkowski 정리는 M. Krein 과 D. Milman에 의하여 무한 차원공간으로 확장되었으며, 또 Krein-Milman 의 정리는 1957년에 V. Klee 에 의하여 일반화되었다.
그 후 극점에 관해서는, 벡터값을 갖는 어떤 연속 함수 공간에 있어서의 단위구의 극점들에 대하여, 그 함수값들이 그 치역 공간에 있어서의 단위 구의 극점들이 되는가라고 하는 문제가 제기되었으나, 일반적으로는 이 이론이 성립하지 않는다는 것으로 알려져 있었다. 그러나, 1983 년에 D. Werner 는 이 이론이 L_1(u)-치 함수 공간에서는 성립한다는 것을 다음과 같은 충분 조건으로서 증명하였다.
즉, (S,J,u) 를 임의의 측도공간, K를 compact Hausdorff 공간이라 할때, f 가 C(k,L_1(u)) 공간에서 extremal 일 충분조건은 모든 k∈K 에 대하여 f(k)가 L-1(u)-치 함수 공간에서 extremal 이어야 한다는 것이다.
본 논문은 이 이론을 바탕으로, L_1(u) 공간을 L_Φ(u) 공간으로 확장하여 위의 이론을 다음과 같이 일반화하고 증명하였다.
(S,J,u) 를 σ-유한 측도 공간, K 를 locally compact Hausdorff 공간, 함수 Φ:R →[0,∝] 를 볼록우함수라고 하자. 모든 실수 t 에 대하여 Φ(2t)≤MΦ(t) 를 만족하는 양의 상수 M 이 존재하고 함수 f 가 B(C(K,L_Φ(u))) 에서 extremal 이면, f_k 는 locally compact Hausdorff space K의 모든 k 에 대하여 B(L_(u)) 에서 extremal 이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The study about extreme point goes back to H. Minkowshi(known(in R^n) as Minkowski's theorem).
In 1940, M.krein and D. Milman extended Minkowski's theorem to infinite dimensional spaces. In 1957, V. Klee outlined the generalization of Krein-Milman theorem.
An important question about extreme points is as follows; For the extreme points of the unit ball of certain spaces of vector valued continuous functions, are all the values they assume extremal points of the unit ball of the range space?
It is known that this problem is true for strictly convex and C(K)-type range spaces, but it is false in general.
In 1983, by applying the Michael's seletion theorem, D. Werner solved the above mentioned question for spaces of L_1(u)-valued functions. It is as follows: Suppose (S,J,u) is an arbitrary measure space, K is a compact Hausdorff space, and f is extremal in C(K,L_1(u)). Then f_k is extremal in L_1(u) for all k in K.
D. Werner's result motivates the fundamental question of this paper: How can generalize the space L_1(u)?
The object of this paper is to generalize the above D. Werner's result using some properties of uniform convexity of an Orlicz space L_Φ(u).
Our main result is as follows:
Let (S,J,u) be a σ-finite measure space and K a locally compact Hausdorff space. Let Φ: R → [0,∞) be an even convex function. Suppose that there exists a constant M>0 such that Φ(2t) ≤M Φ(t) for all t ∈ R, and f is extremal in B(C(K,L_Φ(u))). Then f_k is extremal in B(L_Φ(u)) for all k in k.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• Korean abstract
• I. Introdction = 1
• II. Extremal structure of C(K)-space = 4
• III. Extreme points of B(C(K,L_1(u)) = 9
• IIII. Extreme points of B(C(K,L_φu)) = 16
• References = 32
• Abstract = 36