Compact submanifolds of codimension 2 in an even-dimensional Euclidean space = 偶數次元 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間

국문 초록 (Abstract)

矢野에, 嚴, 奇는 槪Hermit 多樣體의 餘次元 2인 部分多樣體 또는 槪接觸 多樣體의 招曲面에 유도되는 소위 (f, g, u, v, λ) -structure를 사용하여, Euclid空間의 餘次元 2인 完備可附 部分空間을 硏究한 바 있다.
失野와 現著者 奇는 그들의 論文[8]에서 다음 定理를 證明하였다.
定理 A. M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 그 scalar曲率이 一定하고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도 (f, g, u, v, λ) -structure에 나타나는 (1,1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 다음 部分多樣體중의 어느 하나와 合同이다 :
E^2n, S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ), S^l(γ)×E^(2n-l) (l = 1, 2, …, 2n-1),
S^k(γ)×S^k(γ)×E^(2n-2k) (k = 1, 2, …, n-1).
단, 函數 λ(1-λ^2)는 M에서 almost everywhere로 0이 아니고, S^k(γ)는 E^(2n+2)에 자연스럽게 도입되는 반지름 γ>0인 k次元球面을 나타낸다.
本 論文의 硏究目的은 定理 A를 개혁하는데 있다. 즉 M의 scalar曲率이 一定하다는 강한 가정 대신에 M이 緊密이고, 또 γ가 半定値가 될 때, 위의 結論과 같은 결과를 증명하고자 한다. 단, γ는 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率을 나타낸다. M이 緊密이므로 위의 結論은 S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ)뿐인 것은 명백하다.
이제 M을 2n+2차원 Euclid空間 2n次元 可附部分多樣體라고 하면, 잘 알려져 있는 바와 같이 M은 (f, g, u, v, λ) structure를 허용한다. 즉 E^(2n+2)에 Kaehlerian structure를 자연스럽게 도입하면 다음의 관계식이 成立한다.
(1) f_i^tf_t^h=δ_i^h+u_iu^h+v_iv^h,
u_tf_i^t=λv_i, f_t^hu^t=-λv^h,
v_tf_i^t=-λu_i, f_t^hv^t=-λu^h,
u_tu^t=v_tv^t=1-λ^2, u_tv^t=0,
g_tsf_j^tf_i^s=g_ji-u_ju_i-v_jv_i.
∇_i를 유도계량 tensor g_ji에 의해서 이루어진 Christoffel symbol ??에 관한 共變徵分의 演算이라하면, 다음의 構造方程式이 얻어진다.
(2) ∇_jf_i^h=-h_jiu^h+h_j^hu_i-k_jiv^h+k_j^hv_i,
(3) ∇_ju_i=-h_jtf_i^t-λk_ji+l_jv_i,
(4) ∇_jv_i=-k_jtf_i^t+λh_ji-l_ju_i,
(5) ∇_jλ=-h_jtv^t+k_jtu^t.
단, h_ji, k_ji는 第二基本 tensor의 成分이며 h_j^h, k_j^h는 각각 다음 식에 의하여 定義된다.
h_j^h=h_jtg^th, k_j^h=k_jtg^th,
또, l_j는 第三基本 tensor의 成分이다.
M의 曲率 tensor의 共變成分을 K_kjih이라고 하면, Gauss, Codazzi. Ricci 方程式은 다음과 같이 주어진다.
(6) K_kjih=h_khh_ji-h_jhh_ki+k_khk+ji-k_jhk_ki,
(7) ∇_kh_ji-∇_jk_ki-l_kk_ji+l_jk_ki=0,
(8) ∇_kk_ji-∇_jk_ki+l_kh_ji-l_jh_ki=0,
(9) ∇_jl_i-∇_il_j+h_jtk_i^t-h_itk_j^t=0.
이 論文에서는 항상 f와 H는 可換이고, f와 K는 反可換이라고 假定한다. 즉
(10) f_j^th_t^h-h_j^tf_t^h=0,
(11) f_j^tk_t^h-k_j^tf_t^h=0
이 成立함을 가정한다. 또 函數 λ(1-λ^2)은 almost everywhere로 0이 아니라고 가정한다. 이들 假定下에서 다음 관계식이 成立함을 증명 할 수 있다.
(12) k_t^t=0,
(13) h_jtu^t=pu_j, h_jtv^t=pv_j,
(14) k_jtu^t=aiv_j, k_jtv^t=βu_j-αv_j.
단, p, α 및 β는 각각 다음과 같이 定義된다.
p=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s,
α=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=-1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s,
β=1/(1-λ^2) h_tsu^tv^s.
補助定理 두 單位 法 Vector C 및 D가 normal bundle에서 平行인 E^(2n+2) 餘次元
2의 部分空間 M이 (10) 및 (11)을 만족하고, 또 λ(1-λ^2)이 almost everywhere로 0이 아니면, 다음의 方程式이 成立한다.
(15) h_jth_i^t=ph_ji, p=constant,
(16) ∇_kh_ji=0,
(17) α(m-2)p=0,
(18) (1-λ^2)(k_jtk_i^t+βh_ji)={α^2+β(β+p)}(u_ju_i+v_jv_i)
단, m은 行列(h_j^h)의 固有値 p에 관한 重複度이다.
한편 (12)를 사용하면 (6)과 (15)로부터 다음 관계식이 얻어진다.
(19) K_ji=(h_t^t-p)h_ji-k_jtk_i^t.
여기에 다시 식(18)을 이용하면
(20) (1-λ^2)K_ji=(1-λ^2)(h_t^t-p+β)h_ji-(α^2+β^2+βp)(u_ju_i+v_jv_i)
이 成立한다. 위의 식에 g^ji를 transvect하면, M의 scalar曲率인 다음 식이 얻어진다.
(21) g^jiK_ji=(h_t^t-p+β)h_s^s-2(α^2+β^2+βp).
Gauss의 方程式인 (6)과 (13) 및 (14)를 사용해서 다음 관계식을 준비해 둔다.
(22) K_kjihu^kv^ju^iv^h=-(1-λ^2)^2(p^2-α^2-β^2).
이 식은 서로 수직인 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率 γ가 p^2-α^2-β^2으로 주어짐을 의미한다.
이제부터 추가 조건으로서 M이 緊密이라고 가정한다. 식(17)에 의하면 p=0, m=2, α=0 인 세가지 경우가 있음을 알 수 있다.
먼저 p=0인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에 의하면 h_ji=0이 된다. 한편 k_t^t=0이므로, 平均曲率 Vector
H～=1/(2n) (h_t^tC+k_t^tD)
이 恒等的으로 0이 된다. 따라서, M은 極小曲面이다. 그러나 Euclid공간의 極小緊密部分空間은 存在하지 않는다는 사실에 의하여 p=0인 경우는 생각하지 않아도 좋다.
다음에 m=2인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에서
h_t^t=2p
를 유도 할 수 있고, 이 것과 (13)을 이용하면
(23) (1-λ^2)h_ji=p(u_ju_i+v_jv_i)
를 계산할 수 있다. (23)을 (18)에 代入하면
(1-λ^2)k_ji=α(u_ju_i+v_jv_i)+β(u_ju_i+v_jv_i)
이 成立한다. 그러나 이 때도 函數 λ(1-λ^2)에 관한 가정과 M이 緊密이라는 사실에 의하여 모순이 됨을 알 수 있다. 따라서, 우리는 α=0인 경우에 限하여 문제를 해결하면 된다. 이 경우 γ가 半定値라고 가정하면, p^2-β^2이 半定値가 된다. 이 硏究의 中心이되는 部分으로서 β가 恒等的으로 0이거나 -p가 되는 것을 여러 가지 微分幾何學的인 수단을 동원하여 증명할 수 있다. 따라서 (21)에 의하면 M의 scalar曲率이 一定하다.
이 사실과 定理 A를 結合하면 다음의 主定理가 증명된다.
定理 M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의하여 生成되는 斷面의 斷面曲率이 半定値이고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도(f, g, u, v, λ)-structure에 나타나는 (1, 1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 S^2n(γ), 또는 S^n(γ)×S^n(γ)와 合同이다. 단, 函數 λ(1-λ^2)은 M에서 almost everywhere로 0이 아니다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. Introduction
• Ⅱ. Certain submanifolds of codimension 2 of an even-dimensional Euclidean space which satisfy the conditions
• fH=Hf and fK=-Kf
• Ⅲ. Properties of compact submanifolds
• Ⅳ. Main theorem