2015 개정 수학과 교육과정과 IBDP 수학과 교육과정의 고등학교 <수학> 함수 영역 교과서 비교 = Comparative Study on "Function" Part in IBDP Mathematics Curriculum and Korean High School Textbook <Mathematics> of 2015 Revised Curriculum

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 세계화 정보화 시대에 맞춰 국제 공인 인증 교육과정인 IBDP 수학 교과서와 우리나라 고등학교 교과서 <수학>의 함수 영역을 주요 개념, 설명 방법, 학습 내용에 대한 차이를 비교·분석하였다. 본 연구에서 얻은 결과를 요약해서 정리하면 다음과 같다.
2015 개정 교육과정의 <수학>의 함수영역은 ‘함수’와 ‘유리함수와 무리함수’로 구성되어 있고 ‘함수’ 단원에서는 함수의 개념과 그래프, 합성함수, 역함수를 다룬다. IBDP교과서는 유리함수나 무리함수의 정의를 엄밀하게 규정하지 않았고 그 외의 다른 함수들은 우리나라와 비슷한 내용을 제시했다.
우리나라 교과서와 IBDP 교과서 모두 일가성과 임의성을 핵심으로 함수를 정의했다. 차이점으로는 함수라는 개념을 정의하기 전에 우리나라는 학생의 이해 수준에 맞춰 실생활의 맥락을 바탕으로 함수를 도입했고, IBDP 교과서는 함수와 관계(Relation)의 포함관계를 보여주며 집합론적 정의로 함수를 도입했다. 관계(Relation)라는 개념을 통해 함수를 도입하는데 함수는 One to one relations과 Many to one relation으로 정의한다.
우리나라 교과서와 IBDP 교과서 모두 다양한 함수의 예를 들고 있었다. 그러나 IBDP 교과서는 개념에 관련된 다양한 예뿐만 아니라 대비되는 예나 반례까지 들어줘서 개념의 의미를 더욱 분명하게 하여 학생들이 개념을 형성하는 데 도움을 주었다.
IBDP 교과서는 시각적 기호 체계와 언어-대수적 기호체계를 상호 보완적으로 활용했고 비교적 우리나라 교과서는 시각적 기호 체계와 언어-대수적 기호체계를 독립적으로 사용했다. IBDP 교과서는 그래프를 그리는 문제가 아니어도 문제 해답 풀이 할 때 공학적 도구를 이용하여 함수의 그래프를 시각적으로 확인하였다.
우리나라 교과서와 IBDP 교과서는 모두 공학적 도구를 활용하는 것을 강조했다. 단, 우리나라 교과서는 유리함수, 무리함수 단원에서만 사용했다. IBDP 교과서는 개념도입이나 대부분의 문제를 해결할 때 공학적 도구를 사용했고 우리나라 교과서는 단원을 마치기 전에 본 대단원에서 학습한 내용을 바탕으로 공학적 도구를 사용하는 활동이 있다. 우리나라 교과서는 대수적으로 나타난 함수의 표현에서 각 변수와 계수들의 변화에 따른 그래프 개형을 관찰해 보거나 함수의 그래프가 갖는 기하학적 성질을 직관적으로 파악하는 활동이고 IBDP 교과서는 주어진 문제의 그래프를 확인할 때에 공학적 도구를 사용했다.
IBDP 교과서는 용어나 개념을 먼저 정의해주기보다는 학생들이 알고 있는 개념이나 예를 통하여 수학적 용어나 정의, 관련된 성질을 발견하고 스스로 깨닫게 하여 개념을 도입한다. 우리나라 교과서는 실생활의 맥락을 제공하여 학생들이 수학의 필요성을 느끼게 하고 대응 다이어그램이나 표, 식 등 다양한 표현으로 용어나 개념을 정의했다.
IBDP 교과서는 합성함수와 역함수가 정의되기 위한 조건을 반복해서 강조하며 제시했지만, 우리나라 교과서는 정의되기 위한 조건은 크게 강조하지 않았다. 교과서의 모든 문제는 함수가 정의가 될 조건을 만족하였기 때문에 문제를 풀 때 큰 문제는 없었지만 문제 푸는 것에 초점을 두지 않고 개념 정의를 확실히 알 수 있게 반복하여 학생들에게 상기시켜야 할 필요성이 있다.
우리나라 교과서를 보완할 점이 있는지 살펴보았다. 함수가 정의되기 위한 중요한 조건은 반복해서 제시해야 할 필요성이 있다. 또한, 유리함수나 무리함수의 도입 부분처럼 다른 함수 단원에서도 시각적 기호 체계와 언어-대수적 기호체계를 상호 보완적으로 활용할 필요가 있고 개념에 관련된 다양한 예와 개념과 대비되는 예나 반례까지 제시할 필요가 있다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study, following up the globalized and information-oriented era, compares and analyzes main concepts, explanations, and learning contents of "function" part in IBDP mathematics textbook, which are internationally certified curricula, and Korean high School textbook <Mathematics>. In summary, the results obtained from this study are as follows.
The function part of <Mathematics> in the 2015 revised curriculum consists of 'Function' and 'Rational Function and Irrational Function', while the 'Function' chapter deals with the concept of a function and graphs, composite function and inverse function. The IBDP textbook did not strictly define the definition of a rational function or an irrational function, and other functions were presented in a similar contents to that of Korea.
Both Korean textbooks and IBDP textbooks have defined functions as core to their monodromy and randomness. The difference is that, before defining the concept of function, Korean textbook introduced function based on the context of real life according to students' level of understanding, while IBDP textbook introduced function as a collective definition, showing inclusive relationship between function and relation. The function is introduced through the concept of relation which is defined as one to one relations and many to one relation.
Both Korean textbooks and IBDP textbooks have examples of various functions. However, IBDP textbooks have helped students understand the concept by providing not only various examples related to the concept, but also contrasting examples and counter examples, making the meaning of the concept clearer.
IBDP textbooks used visual sign system and language-algebraic sign system as complementary uses, while Korean textbooks used visual sign system and language-algebraic sign system relatively independently. The IBDP textbook visually identified a graph of a function using engineering tools when solving a problem, even if it is not a question to draw a graph.
Both Korean textbooks and IBDP textbooks emphasized the use of engineering tools. However, Korean textbooks used the engineering tools only in the chapters of rational function and irrational function. IBDP textbooks used engineering tools to introduce concepts or solve most problems, while Korean textbooks have activities to use engineering tools based on what they learned before finishing the chapter. Korean textbooks use engineering tools to observe graph modification according to changes in variables and coefficients in the form of functions or to intuitively grasp the geometric properties of a graph of a function, while IBDP textbooks use engineering tools to check a graph of a given question.
Rather than defining terms or concepts first, IBDP textbooks introduce concepts by making the students to discover and realize mathematical terms, definitions, and related characteristics through concepts or examples that students know. Korean textbooks provide a context of real life, making students feel the need for math, and define terms or concepts in various expressions such as corresponding diagrams, tables and formula.
The IBDP textbook repeatedly emphasized the conditions for the composite and inverse functions to be defined, but Korean textbooks did not emphasize the conditions for definition much. All the questions in the textbook had no major problems in solving as it met the conditions which the functions are to be defined, but there is a need to remind students repeatedly that the definition of concept is well understood without focusing on solving the problem.
This study looked into whether there was something to complement in Korean textbooks. Korean textbooks need to present important conditions for functions to be defined repeatedly, and use visual symbol systems and language-algebraic symbol system in other function chapters, such as the introduction for the rational function or the irrational function. It is also necessary to present examples or counter examples that contrast with the examples and concepts associated.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구의 제한점 2
• Ⅱ. 이론적 배경 3
• 1. 스켐프의 스키마 이론 3
• 2. 함수 5
• 3. IB 교육과정 7
• 4. 선행 연구 고찰 15
• Ⅲ. 연구 방법 17
• Ⅳ. 연구 결과 19
• 1. 함수의 정의 19
• 2. 함수의 표상 21
• 3. 항등함수 24
• 4. 함수의 연산 25
• 5. 유리함수와 무리함수 29
• Ⅴ. 결론 및 제언 33
• 1. 결론 및 요약 33
• 2. 제언 34
• 참고문헌 35
• Abstract 37