무한정 확장가능성과 무제약적 양화

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The Aim of this study is to give a proper understanding of the relation between indefinite extensibility and unrestricted quantification. In particular, we examine M. Dummett's arguments against classical quantification over objects falling under an indefinitely extensible concept and his advocation of intuitionistic quantification over such a domain. We also examine the relation of Dummett's arguments with other arguments for and against the unrestricted quantification.
There appeared several new analyses concerning the concept of indefinite extensibility since B. Russell's and M. Dummett's. Beginning with the suggestion that a concept is indefinitely extensible only if there is an injection from the concept of ordinal into it, S. Shapiro and C. Wright formulates a more general concept of indefinite extensibility. In particular, they argue that the concept of indefinite extensibility can play a key role for explicating the Aristotelian concept of potential infinity. K. Fine develops a modal formulation of the concept of indefinite extensibility. We examine these analyses in comparison with those of Russell and Dummett.
Dummett's rather surprising claim is that not only are concepts and relations such as set, ordinal, cardinal and identity indefinitely extensible, the concept of natural number is indefinitely extensible. However, keeping in mind that the distance between Peano arithmetic and Heyting arithmetic is unsubstantial, it is not clear how Dummett's thesis that quantification over natural numbers should be intuitionistic rather than classical because the concept of natural number is indefintely extensible should be understood. One suggestion is as follows. The extension of indefinitely extensible concept cannot be understood as a completed totality independently of the grasp of the concept. So, quantifications over the extension of an indefinitely extensible concept should not be understood classically, like infinite conjunctions or infinite disjunctions. Rather, it should be understood intuitionistically in terms of proofs. However, this understanding of Dummett's argument is not quite satisfactory. Keeping in mind their views regarding the relation between metaphysics and theory of meaning, this line of approach fits more closely to E. Brouwer rather than M. Dummett. So, it remains to examine Dummett's thesis as a semantic one. In particular, the thesis should be examined in the framework of Dummett's verificationst or justificationst theory of meaning.
Arguments against unrestricted quantification are based on indefinite extensibility, restriction to sortal concepts, all in one principle and semantic indeterminacy. Dummett's arguments are sometimes regarded as one against unrestricted quantification. However, Dummett's argument based on indefinte extensibility is not one against unrestricted quantification, it is rather against classical quantification. Dummett's argument against unrestricted quantification, if any, may be derived from his claim that domains of quantifiers should be restricted to extensions of sortal concept (substantival general term). Sortal concept should give a criterion of identity for objects falling under the concept. As the concept of thing, object or identity can be hardly regarded as giving criteria of identity for objects falling under the concepts or the relation, Dummett's claim could be developed into an argument against unrestricted quantification. However, the relation between such an argument and indefinite extensibility is not clear. C. Parsons gives an argument against unrestricted quantification based on the claim that it commits metaphysical realism. T. Williamson and Vann McGee give arguments for unrestricted quantification based on the use of quantifiers. These arguments are interesting in that they are basically semantical and requires a close examination in comparison with Dummett's.

국문 초록 (Abstract)

1. 연구목표

본 연구의 목표는 무한정 확장가능성의 현상이 무제약적 양화에 대해 지니는 함의를 분석하는 것이다. 보다 세부적으로는 무한정 확장가능성에 의거한 고전논리의 양화에 대한 덤밋(M. Dummett)의 비판논변과 직관주의논리의 양화에 대한 그의 옹호논변을 검토하고 무제약적 양화에 대한 다른 비판적 논변들과의 관계를 분석하는 것이다.

2. 무한정확장가능성에 대한 분석

러셀(B. Russell)과 덤밋의 시도 이후 최근 무한정 확장가능성의 개념에 대한 다소 새로운 분석들이 제시되었다. 셔피로(S. Shapiro)와 라이트(C. Wright)는 "어떤 개념 C가 무한정 확장가능하기위한 필요조건은 서수개념으로부터 C로의 일대일 함수가 있다는 것이다"는 제안으로부터 시작하여 보다 무한정 확장가능성에 대한 보다 일반적인 규정을 제안한다. 특히 그들은 무한정 확장가능성의 개념이 아리스토텔레스의 잠재적 무한을 다루기 위해 중요한 역할을 할 수 있다고 주장한다. 또한 화인(K. Fine)은 무한정 확장가능성을 해석에 관한 ‘양화’를 포함하는 양상개념으로 분석하여 보다 무제약적 양화에 대한 보다 강력한 비판을 제시하려 하였다. 그에 의하면 무한정 확장가능성의 규명을 위해 필요한 양상개념은 상황대신 해석에 관한 ‘양화’를 필요로 하는 공준적(postulational) 양상이다. 본 연구자는 무한정 확장가능성의 개념에 대한 이런 보다 최근의 분석을 러셀이나 덤밋의 분석을 비교하여 이들 분석들의 적절성을 검토하려 하였다. 잠정적인 결론은 이들의 분석이 몇 가지 점에서 흥미롭지만, 러셀이나 덤밋의 분석보다 크게 진전된 것이라고 여기기는 힘들다는 것이다.

3. 덤밋 주장의 논거에 대한 분석과 평가

덤밋의 다소 놀라운 주장은 집합이나 서수와 같은 개념뿐 아니라 자연수개념도 무한정 확장가능하다는 것이다. 자연수 이론에 관한한 직관주의 수학의 차이가 거의 없음을 염두에 둘 때, 자연수 개념이 무한정 확장 가능하므로 이에 대한 양화는 직관주의적이어야 한다는 논제가 어떻게 이해되어야 하는지 불분명하다. 덤밋의 논거를 이해하는 한 방식은 다음과 같다. 무한정 확장가능한 개념의 외연은 그 개념(의 파악)과 독립적으로 완결된 무한으로 간주될 수 없으므로, 의미론적으로 양화를 확정적인 영역의 원소들을 언급하는 무한연연이나 무한선언과 유사한 것으로 여기는 고전논리는 정당화될 수 없고 직관주의 논리가 채택되어야 한다는 것이다. 그러나 덤밋의 논거에 대한 이런 이해는 만족스럽지 못한 점이 많다. 이런 논거는 의미론과 형이상학의 관계에 대한 입장을 고려할 때, 덤밋보다는 브라우어(E. Brouwer)에 더 자연스러운 것이다. 따라서 덤밋의 논제를 보다 철저한 의미론적 논제로 제시하여 평가하는 것이 바람직 할 것이다. 특히 덤밋의 검증주의적 의미론의 틀 안에서 그의 무한정 확장가능성에 관한 논제가 어떻게 정당화되는가에 대한 연구가 수행되어야 한다.

4. 무제약적 양화에 대한 함의

무제약적 양화를 비판하는 논거들, 예컨대 무한정 확장가능성, 유개념(sortal concept)으로의 제약, 전체 포괄원칙(all in one principle) 및 의미론적 불확정성 중에서 무한정 확장가능성에 의거한 논증은 강력한 것으로 여겨져 왔다. 덤밋의 논변은 흔히 무제약적 양화를 무조건적으로 비판하는 것으로 여겨져 왔지만, 그의 논변은 고전적인 무제약적 양화를 비판하는 것이지 무제약적