영인자 다항식과 멱급수의 계수구조에 관한 연구 = Coefficient Structures of Zero-Divisor Polynomials and Power Series

국문 초록 (Abstract)

이 논문에서 우리는 먼저, 만약 f(x), g(x) ∈ R[x]에 대해 f(x)Rg(x) = 0이 라면, a ∈ Af , b ∈ Ag에 대해 ⟨a⟩⟨b⟩
l = 0이 되는 어떤 정수 l ≥ 1 (단, a, b에
따라 달라짐)이 존재함을 보인다. 실제로, f(x) = a0 + a1x + · · · + amx
m,
g(x) = b0 + b1x + · · · + bnx
n를 R[x]의 다항식이라 하자. 만약 f(x)Rg(x) = 0이
면 다음이 성립한다:
i
(1) ⟨ai⟩⟨bj ⟩
i+jm+1 = 0, 여기서



(0, 0) ≤ (i, j) ≤ (m, ⌊m/2⌋ − 1),
0 ≤ i ≤ ⌊m/2⌋, j = ⌊m/2⌋



m 이 짝수이면,
(2) ⟨ai⟩⟨bj ⟩
m−i+(m−j)m+1 = 0, 여기서



⌊m/2⌋ + 1 ≤ i ≤ m, j = ⌊m/2⌋,

0, ⌊m/2⌋ + 1
≤ (i, j) ≤ (m, m)



m 이 짝수이면,

0, ⌊m/2⌋ + 1
≤ (i, j) ≤ (m, m), m 이 홀수이면.
다음으로, 이 결과를 멱급수환(power series ring)으로 확장한다. 만약
F(x), G(x) ∈ R[[x]]가 F(x)RG(x) = 0을 만족한다면, c ∈ AF , d ∈ AG에 대해
⟨c⟩
u
⟨d⟩
v = 0이 되는 양의 정수 u, v (단, c, d에 따라 달라짐)을 구체적으로 찾
을 수 있음을 보인다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this paper, we rst show that if, for f(x), g(x) ∈ R[x], f(x)Rg(x) = 0,
then there exists an integer l ≥ 1, depending on a, b, such that ⟨a⟩⟨b⟩
l = 0,
where a ∈ Af and b ∈ Ag. In fact, let f(x) = a0 + a1x + · · · + amx
m and
g(x) = b0 + b1x + · · · + bmx
m be polynomials in R[x].
If f(x)Rg(x) = 0, then:
(1) ⟨ai⟩⟨bj ⟩
i+jm+1 = 0, where



(0, 0) ≤ (i, j) ≤ (m, ⌊m/2⌋ − 1) and
0 ≤ i ≤ ⌊m/2⌋, j = ⌊m/2⌋



if m is even,
(0, 0) ≤ (i, j) ≤

m, ⌊m/2⌋

, if m is odd.
(2) ⟨ai⟩⟨bj ⟩
m−i+(m−j)m+1 = 0, where



⌊m/2⌋ + 1 ≤ i ≤ m, j = ⌊m/2⌋ and

0, ⌊m/2⌋ + 1
≤ (i, j) ≤ (m, m)



if m is even,

0, ⌊m/2⌋ + 1
≤ (i, j) ≤ (m, m), if m is odd.
Using this result, we can nd nonzero right annihilators of f(x) and nonzero
left annihilators of g(x) in the product of ideals generated by coecients of
f(x) and g(x) when f(x)Rg(x) = 0.
We next extend this result to the power series rings. If F(x) and G(x) in
R[[x]] satisfy F(x)RG(x) = 0, then there exist positive integers u, v, depending
on c, d, such that ⟨c⟩
u
⟨d⟩
v = 0 for any c ∈ AF and d ∈ AG. In fact, let
f(x) = P∞
i=0 aix
i and g(x) = P∞
j=0 bjx
j
in R[[x]]. If f(x)Rg(x) = 0, then:
(1) ⟨ai⟩⟨b0⟩
i+1 = 0 and ⟨a0⟩
j+1⟨bj ⟩ = 0 for any i, j = 0, 1, 2, . . .
(2) ⟨as⟩
us ⟨bt⟩
vt = 0 for any s, t = 1, 2, . . ., where us and vt are some integers.

목차 (Table of Contents)

• I. Introduction 1
• II. Main Results 3
• 1. When    in  3
• 2. When    in  11
• 3. Applications 24
• III. References 32
• 영 문 요 약
• (ABSTRACT) 33
• 국 문 요 약
• 영인자 다항식과 멱급수의 계수구조에
• 관한 연구
• 논문제출자 MAHBUB MD JOHAYER
• 지 도 교 수 김 남 균
• 이 논문에서 우리는 먼저, 만약 f(x), g(x) ∈ R[x]에 대해 f(x)Rg(x) = 0이
• 라면, a ∈ Af , b ∈ Ag에 대해 ⟨a⟩⟨b⟩ l = 0이 되는 어떤 정수 l ≥ 1 (단, a, b에
• 따라 달라짐)이 존재함을 보인다. 실제로, f(x) = a0 + a1x + · · · + amxm,
• g(x) = b0+ b1x+ · · ·+ bnx
• n
• 를 R[x]의다항식이라하자.만약 f(x)Rg(x) = 0이
• 면 다음이 성립한다:
• i
• (1) ⟨ai⟩⟨bj⟩i+jm+1 = 0, 여기서
• (0, 0) ≤ (i, j) ≤ (m, ⌊m/2⌋ − 1),
• 0 ≤ i ≤ ⌊m/2⌋, j = ⌊m/2⌋
•  m 이 짝수이면,
• (0, 0) ≤ (i, j) ≤
• (
• m, ⌊m/2⌋
• )
• , m 이 홀수이면.
• (2) ⟨ai⟩⟨bj⟩m−i+(m−j)m+1 = 0, 여기서
• ⌊m/2⌋+ 1 ≤ i ≤ m, j = ⌊m/2⌋,
• (
• 0, ⌊m/2⌋+ 1
• )
• ≤ (i, j) ≤ (m,m)
•  m 이 짝수이면,
• (
• 0, ⌊m/2⌋+ 1
• )
• ≤ (i, j) ≤ (m,m), m 이 홀수이면.
• 다음으로, 이 결과를 멱급수환(power series ring)으로 확장한다. 만약
• F (x), G(x) ∈ R[[x]]가 F (x)RG(x) = 0을 만족한다면, c ∈ AF , d ∈ AG에 대해
• ⟨c⟩u⟨d⟩ v = 0이 되는 양의 정수 u, v (단, c, d에 따라 달라짐)을 구체적으로 찾
• 을 수 있음을 보인다.
• ii