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      무한소수 기호: 불투명성과 투명성 = The Infinite Decimal Representation: Its Opaqueness and Transparency

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      https://www.riss.kr/link?id=A104785759

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      다국어 초록 (Multilingual Abstract)

      Infinite decimals have an infinite number of digits, chosen arbitrary and independently, to the right side of the decimal point. Since infinite decimals are ambiguous numbers impossible to write them down completely, the infinite decimal representation accompanies unavoidable opaqueness. This article focused the transparent aspect of infinite decimal representation with respect to the completeness axiom of real numbers. Long before the formalization of real number concept in 19th century, many mathematicians were able to deal with real numbers relying on this transparency of infinite decimal representations. This analysis will contribute to overcome the double discontinuity caused by the different conceptualizations of real numbers in school and academic mathematics.
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      Infinite decimals have an infinite number of digits, chosen arbitrary and independently, to the right side of the decimal point. Since infinite decimals are ambiguous numbers impossible to write them down completely, the infinite decimal representatio...

      Infinite decimals have an infinite number of digits, chosen arbitrary and independently, to the right side of the decimal point. Since infinite decimals are ambiguous numbers impossible to write them down completely, the infinite decimal representation accompanies unavoidable opaqueness. This article focused the transparent aspect of infinite decimal representation with respect to the completeness axiom of real numbers. Long before the formalization of real number concept in 19th century, many mathematicians were able to deal with real numbers relying on this transparency of infinite decimal representations. This analysis will contribute to overcome the double discontinuity caused by the different conceptualizations of real numbers in school and academic mathematics.

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      국문 초록 (Abstract)

      소수점 아래 0에서 9까지의 임의의 숫자가 무한히 나열되는 무한소수는 ‘소수점 아래 끝자리까지의 모든 숫자를 명확하게 알 수 없는 모호한 수’라는 불투명성을 가지고 있다. 이 논문에서는 이와 같은 불투명성을 야기하는 무한소수 기호로부터 어떻게 연속적인 수를 창조할 수 있었는지를 분석하였다. 무한소수 기호의 완비성 공리에 대한 투명성에 의존하여, 실수 개념이 엄밀하게 형식화되기 이전에도 수학자들은 실수 개념을 다룰 수 있었다. 이 논문의 수학적‧역사적 분석은 무한소수에 의존하여 실수 개념을 전개하는 학교수학의 접근과, 완비순서체로서의 실수의 형식적 정의를 다루는 대학수학의 접근 사이에서 야기될 수 있는 이중단절의 문제를 극복하는 데 도움이 될 수 있을 것이다.
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      소수점 아래 0에서 9까지의 임의의 숫자가 무한히 나열되는 무한소수는 ‘소수점 아래 끝자리까지의 모든 숫자를 명확하게 알 수 없는 모호한 수’라는 불투명성을 가지고 있다. 이 논문에...

      소수점 아래 0에서 9까지의 임의의 숫자가 무한히 나열되는 무한소수는 ‘소수점 아래 끝자리까지의 모든 숫자를 명확하게 알 수 없는 모호한 수’라는 불투명성을 가지고 있다. 이 논문에서는 이와 같은 불투명성을 야기하는 무한소수 기호로부터 어떻게 연속적인 수를 창조할 수 있었는지를 분석하였다. 무한소수 기호의 완비성 공리에 대한 투명성에 의존하여, 실수 개념이 엄밀하게 형식화되기 이전에도 수학자들은 실수 개념을 다룰 수 있었다. 이 논문의 수학적‧역사적 분석은 무한소수에 의존하여 실수 개념을 전개하는 학교수학의 접근과, 완비순서체로서의 실수의 형식적 정의를 다루는 대학수학의 접근 사이에서 야기될 수 있는 이중단절의 문제를 극복하는 데 도움이 될 수 있을 것이다.

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      참고문헌 (Reference)

      1 김성기, "해석개론" 서울대학교 출판부 2004

      2 이준열, "중학교 수학 3" 천재교육 2012

      3 김서령, "중학교 수학 2" 천재교육 2014

      4 변희현, "소수 개념의 교수학적 분석" 서울대학교 2005

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      7 Grabiner, J., "Who gave you the epsilon? Cauchy and the origins of rigorous calculus" 90 (90): 185-194, 1983

      8 Teismann, H., "Toward a more complete list of completeness axioms" 120 (120): 99-114, 2013

      9 Bloch, E. D., "The real numbers and real analysis" Springer 2011

      10 Forbes, J. E., "The most difficult step in the teaching of school mathematics : from rational numbers to real numbers—with meaning" 67 : 799-813, 1967

      1 김성기, "해석개론" 서울대학교 출판부 2004

      2 이준열, "중학교 수학 3" 천재교육 2012

      3 김서령, "중학교 수학 2" 천재교육 2014

      4 변희현, "소수 개념의 교수학적 분석" 서울대학교 2005

      5 Li, L., "new approach to the real numbers"

      6 Körner, T. W., "companion to analysis: a second first and first second course in analysis (Vol. 62)" American Mathematical Soc 2003

      7 Grabiner, J., "Who gave you the epsilon? Cauchy and the origins of rigorous calculus" 90 (90): 185-194, 1983

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      10 Forbes, J. E., "The most difficult step in the teaching of school mathematics : from rational numbers to real numbers—with meaning" 67 : 799-813, 1967

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      15 Zazkis, R., "Representing and defining irrational numbers : exposing missing link. CBMS Issues in Mathematics Eduction 16" 2010

      16 Davidson, K. R., "Real analysis and applications : theory in practice" Springer 2010

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      18 Burns, R. P., "Numbers and functions : steps to analysis" Cambridge University Press 2000

      19 Dieudonne, J., "Mathematics - the music of reason" Springer 1991

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      21 Sierpińska, A., "Humanities students and epistemological obstacles related to limits" 18 (18): 371-396, 1987

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      24 Dedekind, R., "Essays on the theory of numbers"

      25 Peled, I., "Difficulties in knowledge integration: revisiting Zeno's paradox with irattional numbers" 39-46, 1999

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      30 Fowler, D., "400 years of decimal fractions" 110 : 20-21, 1985

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      2016 1.11 1.11 1
      KCIF(4년) KCIF(5년) 중심성지수(3년) 즉시성지수
      1.01 0.99 1.315 0.34
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