탐구형 소프트웨어를 활용한 합동과 대칭 수업에서 나타나는 초등학생의 귀납적 추론과 시각화에 관한 연구 = A study on inductive reasoning and visualization of elementary school students in congruence and symmetry classes using exploratory software

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In the subject of mathematics, it is necessary to apply teaching and learning methods that utilize various digital technologies to prepare for the changes of the future society, to develop students' capabilities, and to improve the usefulness of teaching and learning. In particular, technology such as exploratory software plays an important role in learning in the area of geometry(NCTM, 2000) and affects the formation of the concept of geometry based on operational understanding. In addition, when it is used for learning in the area of geometry, it can promote students' visualization and provide an opportunity for exploration to cultivate inductive reasoning ability.
This study conducted a class using GeoGebra software for 'Congruence and Symmetry' in the 2nd semester of the 5th grade of elementary school, and tried to find out students' inductive reasoning ability and the aspect of the visualization process, which are important elements in the formation of the concept of geometry. For this purpose, the research questions set in this study are as follows: First, how is the students' inductive reasoning ability level shown in elementary geometry classes using exploratory software? Second, what is the aspect of visualization components of students appeared in elementary geometry classes using exploratory software?
Therefore, in this study the theoretical foundation was prepared by examining previous studies on the meaning of inductive reasoning and visualization, the types and significance of exploratory software, and congruence and symmetry units. In addition, a total of 19 students from 5th grade class of A elementary school located in Seoul were selected as subjects of the study. When designing classes, the learning contents and flow of existing textbooks were reflected as much as possible to increase the applicability of exploratory software. In addition, the class was developed in the student-centered file presentation type and the student-centered drawing experience type. In the student-centered file presentation type class, students guessed and verified the concept and properties of geometry by themselves, and the level of inductive reasoning ability was analyzed in detail, by focusing on the activity results. After that, in the student-centered drawing experience type class, students drew shapes that fit the conditions based on the concepts and properties they had learned, and the aspect of visualization was analyzed by focusing on the activity results. In addition, additional analysis was conducted by collecting interviews with students during class, video recordings, students' self-reports, and teacher’s observation diaries.
In regarding the first research question, the level of students' inductive reasoning ability remained at a similar level or developed as the class progressed. In particular, students who had a low level of inductive reasoning began to use the functions of the exploratory software accurately, so all students showed a certain level of inductive reasoning ability. In other words, students' inductive reasoning ability could be improved to a certain level if they continuously experienced inquiry activities that involved guessing and verification using exploratory software. It is also meaningful because it helps students infer new properties by using various functions of exploratory software. In order for students' inductive reasoning ability to reach the highest level, they must be able to accurately describe their manipulation activities in general terms, accurately use the functions of exploratory software, and distinguish the meaning of property and concept.
In regarding the second research question, in the shape of the external representation, students mainly thought of a square shape, and as the class progressed, the shape of a hexagon or a complex polygon increased. Regarding the creation of external representations, polygon drawing tools were mainly used, and when using polygon or regular polygon drawing tools, representations that did not contain errors could be created. For transformation and manipulation of external representations, the auxiliary line function was used the most, helping students to quickly and easily draw figures that fit the conditions. In addition, unlike the paper-and-pencil environment, using the 'measurement' and 'symmetry' functions, it was possible to easily transform and manipulate complex, precisely congruent and symmetrical external representations. Regarding spatial visualization, various types of mental rotation appeared depending on the learning content, and accurate visualization was possible when a new figure that met the conditions was recalled and the mental rotation was repeated.
The conclusions and implications of this study are summarized as follows: First, if exploratory software is used in mathematics classes, it is possible to verify the concept and properties of geometry and to represent complex and diverse forms of representation based on the use of functions. Second, by using exploratory software, students can arrange manipulation activities in their own language and discover new properties, enabling student-centered inquiry. Third, unlike the paper-and-pencil environment, inquiry-type software enables fast and accurate visualization, so that activities should be conducted actively by introducing exploratory software in various geometry areas. Therefore, it is necessary to promote students' inductive reasoning and visualization by utilizing exploratory software in the learning of geometry.

국문 초록 (Abstract)

수학 교과에서 미래 사회의 변화에 대비하고 학생들의 역량 함양과 교수·학습의 유용성을 위해 다양한 디지털 기술을 활용하는 교수·학습 방법을 적용하는 것이 필요하다. 특히 탐구형 소프트웨어와 같은 기술은 도형 영역의 학습에 중요한 역할을 하고(NCTM, 2000) 조작적 이해를 바탕으로 도형의 개념 형성에 영향을 미친다. 또한 이를 도형 영역의 학습에 활용했을 때 학생들의 시각화를 촉진시키고 탐구의 기회를 제공하여 귀납적 추론 능력을 함양할 수 있다.
이를 바탕으로 본 연구에서는 초등학교 5학년 2학기 ‘합동과 대칭’을 대상으로 탐구형 소프트웨어 중 GeoGebra를 활용한 수업을 진행하고 학생들에게서 나타난 귀납적 추론 능력과 시각화 구성 요소의 양상이 어떠한지 파악하고자 하였다. 이러한 목적에 맞게 본 연구에서 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 탐구형 소프트웨어를 활용한 초등 도형 수업에서 나타나는 학생들의 귀납적 추론 능력의 수준은 어떠한가? 둘째, 탐구형 소프트웨어를 활용한 초등 도형 수업에서 나타나는 학생들의 시각화 구성 요소의 양상은 어떠한가?
이에 본 연구에서는 귀납적 추론과 시각화의 의미, 탐구형 소프트웨어의 종류와 의의, 합동과 대칭 단원에 대한 선행연구를 고찰하여 이론적 토대를 마련하였다. 또한 서울에 위치한 A 초등학교 5학년 1개 반, 총 19명을 연구 대상으로 선정하였다. 수업을 설계할 때 탐구형 소프트웨어의 적용 가능성을 높이기 위해 기존 교과서의 학습 내용과 흐름을 최대한 반영하였다. 그리고 합동과 대칭의 개념 형성에 핵심이 되는 차시에 대해 탐구형 소프트웨어의 활용 유형 중 학생 중심의 파일 제시형과 학생 중심의 작도 체험형으로 수업을 전개하였다. 이때 학생 중심의 파일 제시형 차시는 학생들이 도형의 개념과 성질을 스스로 추측, 검증하였고 그 활동 결과물을 중심으로 귀납적 추론 능력의 수준을 구체적으로 분석하였다. 그 후 학생 중심의 작도 체험형 차시는 학생들이 학습한 개념과 성질을 바탕으로 조건에 맞는 도형을 그려보았고 활동 결과물을 중심으로 시각화의 구성 요소가 어떻게 드러나는지 분석하였다. 또한 수업 중 이루어진 학생 인터뷰와 수업 녹화 자료, 학생들의 자기보고서, 교사의 관찰 일지를 수집하여 추가적인 분석을 진행하였다. 이러한 분석 결과를 바탕으로 수업에서 나타난 학생들의 귀납적 추론 능력과 시각화의 양상을 탐색하였다.
연구 결과를 종합하면, 첫 번째 연구 문제에서 학생들의 귀납적 추론 능력 수준은 차시가 진행됨에 따라 비슷한 수준을 유지하거나 발전되는 형태로 나타났다. 특히 귀납적 추론 수준이 낮았던 학생들이 탐구형 소프트웨어의 기능을 점차 정확하게 활용하게 되었고 모든 학생이 일정 수준 이상의 귀납적 추론 능력을 나타내었다. 즉, 탐구형 소프트웨어를 활용하여 추측과 검증을 하는 탐구 활동을 지속적으로 경험하게 되면 학생들의 귀납적 추론 능력을 일정 수준 이상으로 향상시킬 수 있었다. 또한 학생들이 탐구형 소프트웨어의 다양한 기능을 활용하여 넓이나 둘레가 같다고 성질을 추론한 것처럼 새로운 성질을 추론할 수 있도록 도움을 준다는 데 의의가 있다. 학생들의 귀납적 추론 능력이 최종적으로 가장 높은 수준에 도달할 수 있도록 하기 위해서는 자신의 조작 활동을 일반적인 용어로 정확하게 설명하고 탐구형 소프트웨어의 기능을 정확히 사용할 수 있어야 하며 성질과 개념을 구분할 수 있어야 한다. 또한 탐구형 소프트웨어에서의 조작 활동에 대한 흥미를 바탕으로 도형의 분석을 여러 번 시도하고 그 속에서 공통된 개념과 성질을 찾을 수 있어야 한다.
두 번째 연구 문제에서 학생들의 시각화 양상을 살펴보았을 때 외적 표상의 형태에 대해서는 주로 사각형 모양을 많이 떠올렸고 차시가 진행됨에 따라 육각형 혹은 복잡한 다각형의 형태가 증가하였다. 외적 표상의 생성에 대해서는 주로 다각형 그리기 도구를 많이 활용하였고 다각형, 정다각형 그리기 도구를 활용했을 때 오류가 포함되지 않은 표상을 생성할 수 있었다. 외적 표상의 변형 및 조작에 대해서는 보조선 기능을 가장 많이 활용하였고 이는 도형을 그릴 때 격자에 자동으로 붙도록 설정되어 있어 학생들이 조건에 맞는 도형을 빠르고 쉽게 그릴 수 있도록 도움을 주었다. 또한 지필 환경과는 다르게 ‘측정’, ‘대칭’ 기능을 활용하면 복잡하면서도 정확히 합동과 대칭인 외적 표상을 쉽게 변형하고 조작할 수 있었다. 공간시각화에 대해서는 학습 내용에 따라 다양한 유형의 정신적 회전이 나타났고 조건에 맞는 새로운 도형을 떠올리고 정신적 회전을 반복하였을 때 정확한 시각화가 가능했다.
본 연구의 결론과 시사점을 정리하면 다음과 같다. 첫째, 수학 수업에서 탐구형 소프트웨어를 활용하면 기능 활용을 바탕으로 도형의 개념과 성질을 검증하고 복잡하고 다양한 형태의 표상을 나타낼 수 있다. 즉, 시각화에서 정확하고 다양한 형태의 외적 표상을 나타내기 위해서는 추측하고 일반화한 도형의 개념과 성질을 바탕으로 외적 표상을 생성, 조작하는 귀납적 추론과 탐구형 소프트웨어의 다양한 기능을 정확하게 활용하는 것이 중요하다. 둘째, 탐구형 소프트웨어를 활용하면 학생들이 조작 활동을 자신의 언어로 정리하고 새로운 성질을 발견할 수 있어 학생 중심 탐구가 가능하다. 셋째, 탐구형 소프트웨어는 지필 환경과 달리 빠르고 정확한, 역동적인 시각화를 가능하게 하여서 다양한 도형 영역의 수업에서 탐구형 소프트웨어를 적극적으로 도입하여 활동을 진행할 수 있다. 따라서 도형의 학습에서 탐구형 소프트웨어를 적절하게 활용하여 학생들의 귀납적 탐구와 시각화를 촉진시키는 것이 필요하다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구 문제 5
• Ⅱ. 이론적 배경 6
• A. 도형 개념 형성 6
• B. 귀납적 추론 9
• C. 시각화 19
• D. 탐구형 소프트웨어 28
• E. 합동과 대칭 단원 분석 38
• Ⅲ. 연구 방법 42
• A. 연구 대상 42
• B. 연구 절차 및 연구 설계 44
• C. 자료수집 및 분석 방법 53
• Ⅳ. 연구 결과 및 해석 64
• A. 귀납적 추론 능력 수준 분석 64
• B. 시각화 양상 분석 89
• Ⅴ. 결론 및 제언 111
• A. 요약 111
• B. 논의 및 제언 116
• 참고문헌 120
• 부록 125
• ABSTRACT 147