Dimension calculations of GM-Fractals : GM-FRACTAL의 HAUSDORFF 次元의 計算

국문 초록 (Abstract)

自然에 있어서 아주 복잡한 形態를 이루고 있는 集合을 表現하고 이 集合의 數學적인 構造를 硏究하는 프랙탈 幾何學은 특히 混沌 理論을 說明할수 있는 數學적인 言語로써 퍼지理論 등과 더불어 20世紀 最尖端 學文分野로써 大頭 되었다.
프랙탈 集合을 表現하는 方法으로는 Iterated Function System, Directed graph construction 등이 있다. 이런 表現方法과 컴퓨터 技術의 結合으로 그래픽이 可能하게 되었고 이런 그래픽의 도움으로 物理, 化學, 生物, 醫學, 經濟 등 거의 모든 分野에 걸쳐 획기적인 發展을 가져오게 했다. 그러나, 旣存의 프랙탈 集合을 表現하는 方法이 여러가지 있지만 아직까지 表現되지 못하는 프랙탈 集合이 매우 많다.
本 論文에서는 旣存의 方法으로 表現되지 않는 프랙탈 集合을 構成하는 方法을 紹介하였고 그 方法에 의해서 만들어진 프랙탈을 GM-fractal이라고 부른다.
프랙탈 集合의 數學적인 構造를 硏究하는데 Hausdorff 次元의 計算이 아주 중요한 位置를 차지하고 있다. Felix Hausdorff가 Hausdorff 次元을 定義한 지 거의 1世紀가 되어 가고 있지만 아직까지도 Hausdorff 次元의 計算이 正確히 이루어지지 않고 있다.
本 論文에서는 GM-Fractal의 Hausdorff 次元의 上限값과 下限값을 計算하였다. 이 結果를 利用하여 Iterated Function System으로 構成된 Fractal 集合의 Hausdorff 次元을 計算 하였다. 이것은 J. E. Hutchinson의 結果를 再 證明 한 것이다. 이 외에도 特別한 GM-Fractal의 Hausdorff 次元을 計算 하였다.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• 1. INTRODUCTION = 1
• 2. GM-FRACTALS = 3
• Remark 1. = 4
• Remark 2. = 4
• 3. MAIN RESULTS. = 6
• Lemma 1. = 6
• Theorem 1. = 6
• Theorem 2. = 8
• Lemma 2. = 8
• Theorem 3. = 10
• Theorem 4. = 10
• 4. EXAMPLES = 14
• Example 1. = 14
• Example 2. = 14
• REFERENCES = 15
• (草綠) = 16