고등학교 학생들의 함수 관련 학습에서 부진의 원인분석 = An analysis of the low achievement factors on the function concept for high school students

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 고등학교 학생들의 함수 단원 학습에 어려움을 어느 정도 해소하고, 이를 위한 지도교사의 교수학습 방법에 도움을 주고자 하는데 있다. 함수 단원에서 학생들이 어려움을 겪는 원인이 현재 학생의 수준에서 어떤 개념의 내용이 부족한지 혹은 기존에 배운 어떤 내용으로 인해서 오답을 범했는지에 대해서 알아보고자 다음과 같이 연구문제를 설정하였다.
가. 고등학교 학생들의 함수 관련 학습에서 겪는 어려움의 원인은 무엇인가?
이와 같은 연구문제를 해결하고자, 고등학교 1학년 후반부에 해당하는 함수 단원을 고등학교 2학년 학생들을 대상으로 연구를 진행하였다. 본 연구는 2007 개정교육과정에 근거하여 개발된 교과서 및 익힘책을 바탕으로 검사지를 개발하였다. 개발된 검사지는 연구대상과 비슷한 수준의 학교에서 실시한 예비조사 과정과 전문가 및 연구학교 교과 담당자의 의견을 수렴하여, 검사지 문항에 대한 수정 및 보완의 과정을 거쳐 최종 문항지를 작성하였다. 작성된 검사 문항지로 본 검사에서는 고등학교 1학년 함수 단원에서 학생들이 어려워하는 부분을 발견하고, 이를 바탕으로 중ㆍ고등학교 교육과정 해설서 및 지도서를 바탕으로 현재 학생의 인지수준에서 오답 및 장애를 일으키는 선행학습단원 및 개념을 찾고, 이를 대학수준의 교재와 관련시켜 연구를 진행하였다.
본 연구에서 얻을 수 있는 결론은 다음과 같았다.
첫째, 항등함수와 상수함수의 비교, 일대일 대응과 일대일 함수 사이의 비교에 대해서 어려워했으며, 인터뷰 과정을 통해서도 대체적으로 어렴풋이 알고는 있었지만 둘 사이의 정확한 비교에 대해서는 어려워하였다. 또한 어떤 함수가 동시에 성질을 만족한다는 것에는 약간 더 어려움을 느꼈으며, 합성함수의 문제에서는 대수식을 통한 문제는 잘 해결하는 반면에, 그림을 통한 기하문제에서는 어려움을 호소했는데, 이는 비슷한 수학적 상황임에도 불구하고, 생소한 문항에 어려움을 보이는 현상과 기하문제에서는 중학교때 배운 내용인 정의역, 치역의 문제와 이를 합성함수와 관련시킨 문제에서 복합적인 개념을 요구한 문제였기에 문제해결에 어려움을 보인 것을 알 수 있었다. 더욱이 벤 다이어그램을 통한 정의역과 치역, 그리고 공역의 의미는 잘 알고 있으면서, 그래프를 통한 치역과 정의역을 구하는 문제에 대해서는 해결을 못하였다. 또한 역함수에 대해서는 알고 있으면서도 정작 역함수가 존재할 조건에 대해서는 모르고 있었다.
둘째, 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제에서 이차함수의 꼭짓점에서 극댓값(극솟값)의 개념에 대한 기하적 의미를 인식하지 못하였다. 그리고 이차함수 관련문제 뿐만 아니라 이차부등식 관련 문제에서도 두 개의 그래프를 통한 위치관계를 인식하는데 어려움을 느꼈다. 또한 그래프 상에서 치역의 의미를 정립하지 못하여서 이차부등식 f(x) = ax² + bx + c > 0(a > 0) 과 판별식 D의 관계에 대해서도 아직 많은 학생들이 이해를 하는데 어려움을 겪었다.
셋째, 부등식의 개념에서 양변에 음의 부호를 동시에 곱하는 과정을 제대로 이해하지 못하였다. 이는 집합과 대수 사이에서 생긴 장애로써, 집합단원에서 배운 여집합 개념으로 인하여 생긴 혼동이라고 할 수 있다.
넷째, 평행이동 개념을 대수적 측면에서 적립하지 못한 부분이 나타났고, 무리함수 경우 무리함수의 4가지 그래프 개형에 대해서 인식하지 못하는 경우가 인터뷰를 통해서 나타났다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to find the factors of low achievement on function for high school students. In order to support teaching and learning procedures, the followings are focused.
1. What factors make students difficult to learn on functions ?
The conclusion of this research are as follows.
First, most students did not know the differences among isomorphic function, constant function, and one to one function. Also, they had troubles in transferring geometric problem to algebraic problem. For instance, they can find domain, codomain, in van-diagram by geometric method, but they can not find those in paragraph on the grid or in equations.
Second, students had a difficulty in composite function. Especially, they had a trouble in notation of the special symbol as · in (f·g)(x). They were conscious of the symbol · in (f·g)(x)as plus or multiplication which are the operations they already knew. This error and faulty procedure came from pre-knowledge in numbers and operations which are in the 10th grade curriculum of mathematics.
Third, they had a trouble in figuring out the maximum value and minimum value in quadratic function. Students used the same method of finding maximum or minimum value in quadratic function and linear function in restricted domain. Its reason also came from pre-knowledge.
Forth, students confused on multiplication of -1 to both sides of f(x) ≥ 0. Most students misunderstood that multiplication of -1 to f(x) ≥ 0 is -f(x) ＜ 0. Due to confusing algebraic operations as set operations, they thought that complement of set and multiplication of -1 are the same.
Fifth, most students had bi-sect thought. Even though integers consist of positives, negatives and zero, they thought integers consist of positives and negatives. Especially, they insist that the domain of the function f(x) = √x is the set of positives.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 8
• 3. 용어의 정의 8
• 가. 학업 성취도 8
• 나. 함수 성취도 수준 8
• 4. 연구의 제한점 9
• Ⅱ. 문헌의 연구 10
• 1. 함수 개념의 역사적 발생 배경 10
• 2. 2007 개정 교육과정 수학과 분석표 16
• 가. 중학교 함수단원에 대한 분석표 16
• 나. 고등학교 함수단원에 대한 분석표 17
• Ⅲ. 연구방법 및 절차 18
• 1. 연구대상 18
• 가. 수리영역(과탐 선택, 수리 가형)성적 19
• 나. 수리영역(사탐 선택, 수리 나형)성적 22
• 2. 검사도구 26
• 가. 조사연구 26
• 나. 예비검사 26
• 다. 본검사 27
• 3. 검사방법 및 절차 27
• 가. 조사연구 27
• 나. 예비검사 28
• 다. 본검사 28
• 라. 개별면담 28
• 마. 연구절차 29
• 4. 문항내용 31
• Ⅳ. 결과분석 및 논의 33
• 1. 결과분석 33
• 가. 연구문제 가 의 결과분석 33
• 2. 논의 69
• Ⅴ. 요약, 결론 및 제언 72
• 1. 요약 72
• 가. 함수, 합성함수, 역함수 개념에 대한 이해 정도 73
• 나. 이차함수 개념에 대한 이해 정도 74
• 다. 이차부등식 개념에 대한 이해정도 75
• 라. 분수함수와 무리함수 개념에 대한 이해정도 76
• 2. 결론 78
• 3. 제언 82
• 참고문헌 83
• ABSTRACT 88
• 부록 91
• [부록 1] - 조사 연구 검사지 91
• [부록 2] - 개념 검사지 92
• [부록 3] - 개념 검사지 답안 96
• [부록 4] - 학생과의 면담내용 97
• [부록 5] - 2009년 3월 전국연합학력평가 문제지 108
• [부록 6] - 2009년 6월 전국연합학력평가 문제지 110