수학적 지식 점유에 관한 기호학적 고찰

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The emphasis should be put on the active participation of students since learning mathematics is a continuing process of obtaining mathematical knowledge. Such learning comes to be the process of appropriating the mathematical knowledge. Learner should have the experience of constructing, using, applying the mathematical knowledge that he underwent with the help of teacher and then with the help of himself/herself. To construct the knowledge with the help of himself/herself means that it requires the spontaneous and active participation of learner. To use the knowledge means that the learner uses it for the communication and the intellectual activity. To apply the knowledge means to discover the new mathematical relations, to apply them to everyday life, and to show them to other people on the foundation of the mathematical knowledge obtained by learner.
To appropriate the mathematical knowledge, learner needs language. In mathematics, consisted of original symbols and special terms, the language is not only the mathematical knowledge itself, but also the tool assessing the appropriation of knowledge. It enables learner to think in the process of appropriation of mathematical knowledge and to use and apply mathematical knowledge not only as a mental tool, but also as a cultural tool of mathematics society. Thus, this study will consider the present state of learning the mathematics language, the meta-knowledge for mathematics language needed to show the appropriation of knowledge, and the process that learner represents and interprets language in learning mathematics, and then suggest the plan of teaching and learning mathematics for the appropriation of knowledge.
Language as a representation that indicates the mathematical object and needs the interpretation, is categorized to signs. Consideration on language in this study is based on the semiotics which make a research concerning the phenomena of communication and signification. In accordance with Peirce' triadic model that is consisted of interpretant, object(referent), and representamen(sign), we analyse the mathematics language according to syntax, semantics, and pragmatics. Also, this study will suggest the method of teaching and learning mathematics that facilitates the interactions of the representation and the interpretation of mathematical language based on the interactionism. Interactionism is an epistemology that explicates how communication occurs in the social context of mathematics classes and how linguistic interaction should be.
According to Vygotsky, the functions of language are classified as signaling vs. signifying, social vs. personal, communication vs. intellect, and indicative vs. symbolic. After appropriating the mathematical knowledge, the language has the signifying, intellect, and symbolic functions. We established the criteria of appropriation of mathematical knowledge. Above all, the criteria that show the appropriation of the mathematical language as the mathematical knowledge are as follows: to know and use the rule of mathematical language correctly, to understand its meaning, and to interpret and use it appropriately in the context, which is setup by syntax, semantics, and pragmatics. Next, the criteria that show the appropriation of most of the mathematical knowledges are established by the function of language. By the intellectual function of language, the first was to represent the mathematical knowledge and the relation of ideas or languages using the mathematical language, the second was to translate the mathematical representations of symbol and natural language as well as visual signs to other mathematical representation and to interpret those, and the third was to choose and describe the suitable language in coincidence with the use aims. By the signifying function, the forth was to show his/her own knowledge and by the symbolic function, the fifth is to discover the new relation of ideas or languages based on the mathematical knowledge. In terms of these criteria, I constructed this study's contents.
When I investigated the present state of language as the mathematical knowledge, I searched that there were two methods that language was approached to students, representational or inquiringly. Both were sound theoretically but teachers must guide the shortened process of textbook in detail. The organization of language in middle school mathematics textbook lacked the pragmatic contents. When I investigated the equal symbol(=) as a case of mathematical language, students committed the equivalent error and the labelling error syntactically, and pragmatically didn't do well interpreting the equal symbol in accordance with the situation.
For the meta-knowledge for the mathematical language of the second and the third criterion, I investigated the levels of mathematics languages. I found that the levels created by this study was hierarchic, students stayed in the else levels understanding each concept and used else level's language each items. For the forth criterion, I considered the functional grammar and the rhetoric, and analyzed the proof text of textbook, teachers, and student. Teacher's and student's text followed the textbook, but lacked the skills in using language. For the fifth criterion, I considered the metaphor and the metonym under the abduction reasoning that was significant of the discovery of new facts.
Finally, I observed and analyzed the learning process and interviewed 4 students so that I saw how they represented and interpreted for themselves. Students performed the detailed representing and interpreting of signs and interpreted the process voluntarily. But they chose the wrong interpretant, depended on the templates of the known signs, not based on the logic and didn't say persuasively. It was needed that students experienced the self-reflection with the conviction for validity. On the foundation of these results, I suggest the followings.
For learning the mathematics language as a mathematical knowledge, we must research the teaching and learning method that learners exchange their opinions with others and reflect own thought on the pragmatics integrating syntactics and semantics. And to learn the mathematical communication and the meta-knowledge for mathematics language pragmatically, learner should experience the IZPD that teacher helps him/her, the ZPP that he/she solves and reflects problems with the help of self, and the ZAD that he/she helps the disabled others, and which must be verified for the effects.

국문 초록 (Abstract)

수학 학습은 학습자의 능동적이고 적극적인 참여와 노력이 강조되어야 하며, 이는 수학적 지식을 점유하기 위한 과정이라 할 수 있다. 학습자는 교사의 도움을 받는 활동에 임한 후 자신의 도움으로 수학적 지식을 자신의 것으로 구성하여 사용하고 활용하는 경험을 해야 하며, 이것은 수학적 지식의 점유 과정으로 설명된다. 여기서 자신의 도움으로 지식을 구성한다는 것은 학습자의 능동적이고 활동적인 참여가 요구된다는 것을, 지식을 사용한다는 것은 학습자가 수학적 지식을 의사소통과 지적인 활동에 사용한다는 것을, 지식을 활용한다는 것은 학습한 수학적 지식을 바탕으로 새로운 수학적 관계를 발견하고 실생활에 적용하고 다른 사람에게 보여줄 수 있음을 말한다.
수학적 지식을 점유하는데 있어 언어는 중요한 역할을 한다. 수학에서 언어는 독특한 상징과 특수한 용어들로 이루어진 수학적 지식이기도 하며, 지식의 점유를 판단하는 평가 도구가 되기도 한다. 언어는 수학적 지식 점유의 과정에서 사고를 가능하게 하여 수학 학습을 돕고 수학적 지식을 사용하고 활용할 수 있는 정신의 도구이자 수학 사회에 속한 문화적 도구로서도 역할을 한다. 이에 따라 본 연구에서는 수학에서 사용되는 언어를 중심으로 수학적 지식 점유가 무엇인지, 수학적 지식으로서 언어의 학습 현황은 어떠한지, 수학적 지식 점유를 점유한 것을 보여주기 위해 필요한 수학 언어에 대한 메타지식, 그리고 학습 과정에서 수학 언어가 사용되고 해석되는 기호화와 해석화 과정을 고찰하여 이를 토대로 수학적 지식 점유를 위한 학습 지도 방안을 제안하고자 한다.
수학적 대상을 뜻하면서 그 대상에 대한 해석이 필요한 표현으로서의 언어는 기호의 범주에 포함될 수 있으며, 본 연구에서 언어에 대한 고찰은 의사소통과 의미작용의 현상을 연구하는 기호학에 터한다. 현대 기호학의 근간을 이루고 있는 Peirce의 삼원적 모델을 토대로 구문론, 의미론, 화용론의 기호학 분야에 따라 수학 언어를 분석하며, 상호작용주의에 의하여 학습 과정에서 수학 언어의 표현과 의미간의 움직임을 촉진하여 지식을 점유하는 학습 지도에 대한 제안을 할 것이다. 상호작용주의는 사회적 맥락에서 어떠한 의사소통이 일어나고 실제 언어적 상호작용이 어떠해야 하는지 설명하기에 적합한 인식론이다.
Vygotsky에 따라 일반적으로 언어의 기능은 신호화와 의미화, 사회적인 기능과 개인적인 기능, 의사소통 기능과 지적 기능, 지시 기능과 상징 기능으로 나누어볼 수 있으며, 수학적 지식을 점유한 이후의 언어는 의미화, 지적 기능, 상징 기능을 담당한다고 할 수 있다. 기호학의 분야와 언어의 기능에 따라 본 연구는 수학적 지식의 점유 기준을 설정하였다. 먼저, 수학적 지식으로서 수학 언어를 점유했다고 볼 수 있는 기준은 첫째, 수학 언어의 사용 규칙을 알고 정확하게 다루는 것, 둘째, 수학 언어의 의미를 이해하는 것, 셋째, 수학 언어를 상황에 따라 적절하게 해석하고 사용하는 것으로 구문론, 의미론, 화용론의 분야에 따른 설정이다. 다음으로, 수학 언어에 의해 수학적 지식 점유의 판단은 지적 기능의 언어에 의하여 첫째, 수학 언어를 사용하여 수학적 지식을 표현하고 아이디어나 언어 사이의 관계를 나타내는 것, 둘째, 상징과 일상 언어의 수학 언어 뿐 아니라 시각적 기호로 표현된 수학적 지식을 다른 수학적 표현으로 바꾸고 그 표현에 따른 의미를 해석하는 것, 셋째, 사용하는 목적에 맞게 적절한 언어를 선택하고 기술하는 것으로 정하였다. 그리고 의미화의 기능을 강조하여 지식 점유의 넷째 기준은 다른 사람에게 자신의 지식을 보여줄 수 있어야 한다는 것, 상징 기능을 강조한 다섯째 기준은 수학적 지식을 토대로 지식이나 아이디어간의 관계를 기술하여 새로운 수학적 관계의 발견에 이르는 것으로 설정하였다. 이러한 지식 점유 기준에 따라 연구 내용이 구성되었다.
수학적 지식으로서의 언어와 그에 대한 학습 현황을 조사하였을 때, 수학 언어는 교과서에서 표현적 접근과 탐구적 접근에 의해 도입되고 있으며, 두 가지 접근 방법 모두 이론적으로 타당하나 교과서상에서 단축되어 있는 과정에 대해서 교사의 세밀한 안내가 필요했다. 중학교 수학 교과서에 나타난 언어의 구성은 화용론 차원의 내용이 부족한 편이었다. 수학 언어의 한 예인 등호를 중학생들이 학습한 것을 조사하였을 때 구문론적으로는 동치 오류와 라벨링 오류를 범하고 있었으며 화용론적으로 등호를 상황에 맞게 해석하는데 미비한 것을 알 수 있었다.
수학적 지식 점유의 둘째 기준인 표현간의 번역과 셋째 기준인 적절한 언어 선택을 하는데 필요한 언어에 대한 메타지식에 대하여 본 연구는 수학 언어의 수준을 조사하였다. Freudenthal의 제안을 토대로 본 연구에서 설정한 네 가지 언어 수준은 위계가 있었으며, 개념마다 학생들이 이해하는 언어의 수준은 달랐다. 그리고 문항에 따라 학생들이 사용하는 수학 언어의 수준 또한 달랐다. 이해하기 쉽고 설득력 있게 언어를 사용하는 기술에 대한 넷째 기준에 대해서는 기능문법과 수사학의 메타언어를 살펴보고 교과서, 교사, 학생이 쓴 증명텍스트를 분석하였다. 교사와 학생의 텍스트는 교과서를 모델로 하고 있으나 언어를 사용하는 기술에 있어 교과서보다 부족한 면이 있었다. 수학적 관계를 발견하는 다섯 번째 기준에 대해서는 가추의 추론인 은유와 환유를 살펴보았으며, 가추는 새로운 사실을 발견하는 추론으로서 의미 있는 것이었다.
중학생들의 수학 학습 과정을 분석하고 심층 면담을 실시하여 학생들 스스로 기호화와 해석화를 진행하는 것을 살펴보았을 때, 학생들은 기호화의 결과가 어떠해야 하는지 그 목표를 잘못 설정하여 해석체를 택하고 논리적 근거 없이 기존 기호의 형판에 의지하여 새로운 기호를 만드는 문제점을 보여주었다. 학생들은 규약적 기호화에 이르더라도 그 타당성에 대해 확신하고 사용해 보는 자기 반성의 과정이 필요했으며, 설득력이 부족한 말을 사용하여 지식 점유의 기준에 도달하지 못했다. 이를 토대로 본 연구에서는 다음과 같이 수학학습에 대한 제언을 하고자 한다.
수학적 지식으로서의 언어 학습에 대해서는 구문론과 의미론을 통합한 화용론의 차원에서 다른 사람과 의견을 교환하고 자신의 생각을 반성하게 하는 학습 지도와 관련한 연구가 후속적으로 진행되어야 할 것이다. 그리고 화용론의 차원과 수학적 의사소통, 수학 언어에 대한 메타 지식이 학습될 수 있는 상황으로, 유능한 타인의 도움을 받는 IZPD, 자신의 도움으로 문제를 해결하고 반성하는 ZPP, 유능하지 못한 타인을 도와주는 ZAD의 상호작용이 학습 상황에서 설계되고 그에 대한 효과 검증이 이루어져야 할 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 용어의 정의 = 12
• Ⅱ. 수학 언어와 수학적 지식 = 15
• A. 수학 학습에서 언어 = 15
• 1. 학교수학의 언어 = 15
• 2. 수학 학습에서 언어의 기능 = 22
• 3. 수학 개념과 언어 = 25
• B. 수학 언어에 대한 기호학적 고찰 = 26
• 1. 기호학의 두 가지 관점 = 27
• 2. 기호학의 분야 = 34
• C. 수학적 지식에 대한 인식론적 고찰 = 41
• 1. Piaget의 인식론 = 41
• 2. Vygotsky의 인식론 = 42
• 3. 상호작용주의 인식론 = 44
• D. 수학 언어에 의한 수학적 지식 점유 = 46
• 1. 수학적 지식으로서의 수학 언어 = 46
• 2. 기호화와 해석화에 의한 수학적 지식의 점유 = 50
• 3. 수학적 지식 점유의 기준 = 53
• Ⅲ. 학교수학 언어와 언어 학습 현황의 분석 = 57
• A. 수학 언어의 도입과 전개 = 57
• 1. 표현적 접근 = 58
• 2. 탐구적 접근 = 60
• 3. 문자와 식에서 수학 언어 도입의 예 = 63
• B. 중학교 수학 교과서의 언어 구성 = 66
• 1. 구문론 = 67
• 2. 의미론 = 70
• 3. 화용론 = 81
• C. 등호의 분석과 조사 = 83
• 1. 등호의 분석 = 84
• 2. 학생들의 등호 점유 조사 = 89
• Ⅳ. 수학적 지식 점유를 위한 메타지식 = 102
• A. 수학 언어의 수준 = 103
• 1. 수학 언어의 수준 = 103
• 2. 조사 방법 = 106
• 3. 수학 언어 이해 수준 = 108
• 4. 수학 언어 사용 수준 = 112
• B. 메타언어의 활용 = 117
• 1. 기능문법 = 118
• 2. 수사학 = 123
• 3. 증명 텍스트의 예 분석 = 125
• C. 가추 = 131
• 1. 은유 = 135
• 2. 환유 = 139
• 3. 문제해결에서 은유와 환유의 적용 예 = 140
• Ⅴ. 수학적 지식 점유를 위한 학습 지도 방안 모색 = 144
• A. 수학적 지식 점유 관점에 의한 수학 학습 과정 분석 = 144
• 1. 조사 방법 = 145
• 2. 기호화와 해석화의 실제 = 147
• 3. 지식 점유 기준에 의한 수학 학습 과정의 문제점 = 165
• B. 수학적 지식 점유를 위한 학습 지도 방안 = 172
• 1. 수학 언어의 학습 지도 = 172
• 2. 언어 중심의 수학 학습 지도 = 177
• Ⅵ. 요약 및 결론 = 187
• 참고문헌 = 196
• 부록 = 208
• ABSTRACT = 235