Convergence of projection algorithms

국문 초록 (Abstract)

자연 과학의 여러 분야에서 매우 빈번히 다루어지며 다른 응용과학에서도 응용도가 아주 높은 convex feasibility problem(CFP)이라는 것이 있다. 간단히 설명하면 적당한 "constraints"를 만족하는 해를 구하는 문제라 할 수있는데 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같이 기술할 수 있다.
「Banach 공간 X의 볼록폐부분집합 C_1,C_2,···, C_N의 교집합 C가 공집합이 아닐때, C 에 속하는 점 x를 구하라.」
여기서 집합 C_i를 constraints, C를 CFP의 해집합이라 한다.
일반적으로 CFP의 해를 산술적으로 직접 구하는 것은 집합 C의 기하학적 구조의 복잡성으로 인하여 매우 어려운 것으로 알려져 있다. 그러나 많은 연구자들은 constraints C_i의 구조가 비교적 단순함에 주목하고 C_i에 속하는 원소를 찾는 잘 알려진 방법과 이를 이용한 알고리즘을 통해 CFP를 푸는방법을 연구한여 왔다. 이는 해에 수렴할 것으로 기대되는 수열을 C_i 위로의 projection을 이용하여 만든 후 이 수열의 특성과 수렴성 등을 조사하는 것을 근간으로 하고 있다.
Hilbert 공간에서 폐부분공간 위로의 직교사영(orthogonal projection)에 관한 이론은 이미 잘 알려져 있을 뿐 아니라, 볼록폐부분집합 위로의 직교사영에 관해서도 심도 있게 연구되어졌다. 이러한 연구에서는 먼저 임의의 볼록폐부분집합 위로의 사영의 존재성 및 특성화를 하는 작업이 필요하다. Bregman이 1967년에 Euclid 공간에서 이 분야에 관한 연구를 시작한 이래 Euclid 공간에서 임의의 볼록페부분집합 위로의 Bregman 사상은 항상 유일하게 존재함을 증명하였고, 일반화된 사영 알고리즘을 이용하여 CFP를 해결하였다.[2] 그러나 무한차원 Banach 공간에서의 연구는 아직 시작 단계이다. 본 연구는 이를 발전시켜 보다 일반적인 Banach 공간의 dense subspae C_1(X)위에서 알고리즘의 성질을 연구하고자 한다.
사영 알고리즘을 이용하여 해집합 C의 원소를 구했을 때, 이 점이 일반적으로 C위로의 최적근사값(best approximation)인 것은 아니다. 따라서 새로운 직교사영 알고리즘을 연구하여 알고리즘에 의하여 얻어진 해가 시작점(starting point)의 해집합 C위로의 최적근사값이 될 수 있도록 볼록페부분집합과 사영의 특성에 관하여 연구하였다. 또한 이러한 연구방법을 이용하여 One-sided best approximations을 살펴봄으로써 CFP의 연구를 확장 하였다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. Introduction
• Ⅱ. Method of orthogonal projections
• Ⅲ. Characterizations of projection algorithms