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    § ※ ☆ ★ ○ ● ◎ ◇ ◆ □ ■ △ ▽ → ← ↑ ↓ ↔ 〓 ◁ ◀ ▷ ▶ ♤ ♠ ♡ ♥ ♧ ♣ ⊙ ◈ ▣ ◐ ◑ ▒ ▤ ▥ ▨ ▧ ▦ ▩ ♨ ☏ ☎ ☜ ☞ † ‡ ↕ ↗ ↙ ↖ ↘ ♭ ♩ ♪ ♬ ㉿ ㈜ № ㏇ ™ ㏂ ㏘ ℡ ＃ ＆ ＊ ＠ ª º
    ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
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    ADJUSTING NEW APPROACHES TO BANACH HOMOLOGY BASED ON A HOMOMORPHISM WITH COUNTEREXAMPLES

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    In this paper, we use group algebras and semigroup algebras to provide counterexamples that demonstrate the failure of [11, Theorem 2.1, Proposition 3.2]. Additionally, we revisit and refine their results. Specifically, we establish that if A is a 𝜑-biprojective Banach algebra with a closed ideal I such that ${\bar{AI}}=I$, then A/I is ${\tilde{\varphi}}$-biprojective. Lastly, we explore the connection between 𝜑-approximate Helemskii biflatness and 𝜑-pseudo amenability.
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    In this paper, we use group algebras and semigroup algebras to provide counterexamples that demonstrate the failure of [11, Theorem 2.1, Proposition 3.2]. Additionally, we revisit and refine their results. Specifically, we establish that if A is a &#x...

    In this paper, we use group algebras and semigroup algebras to provide counterexamples that demonstrate the failure of [11, Theorem 2.1, Proposition 3.2]. Additionally, we revisit and refine their results. Specifically, we establish that if A is a 𝜑-biprojective Banach algebra with a closed ideal I such that ${\bar{AI}}=I$, then A/I is ${\tilde{\varphi}}$-biprojective. Lastly, we explore the connection between 𝜑-approximate Helemskii biflatness and 𝜑-pseudo amenability.

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