Laplace-domain waveform inversion using a single damping constant

신정균 서울대학교 대학원 2015 국내박사

Laplace-domain waveform inversion (LWI) produces long-wavelength velocity models of the earth by using the Laplace transformed wave field. LWI is recognized as an efficient method for building long-wavelength velocity models because real data, which lacks low frequency information, can be inverted with minimal pre-processing stages such as band-pass filtering and first-arrival picking. Originally, the LWI algorithm was developed for 2-D acoustic media, but it has recently been extended for more realistic environments, such as acoustic and elastic media with irregular topography and 3-D acoustic, elastic and acoustic-elastic coupled media. In addition, the computing efficiency is significantly enhanced by exploiting the explicit time-domain modeling algorithm or implicit Laplace-domain modeling using an iterative matrix solver. Conventional LWI using various damping constants produces promising results. However, there remain several issues to be addressed: (1) the role of each damping constant is not clearly identified, so the combination of the optimal damping constants is empirically decided without a theoretical background; (2) there has not been any study to assess the potential issues caused by extremely small and large damping constants; (3) conventionally used multiple damping constants make the LWI algorithm computationally intensive. LWI using a single damping constant (single-damping LWI), which is the main topic of this study, is motivated by the similar appearances of the inversion results obtained from LWI using different damping constants. Through the numerical experiment, the trends of inverted velocity model using different damping constants are identified, and the potential issues caused by extremely small and large damping constants, when the time-domain seismic data are used, are analyzed. Using the result of numerical experiment, range of proper damping constant for single-damping LWI is suggested. By inverting the Laplace-domain wave field with respect to the selected representative damping constant, the computing efficiency is dramatically enhanced (up to 6 times faster) while maintaining the quality of the inversion result (model misfit is smaller than 3). New scaling method using a depth weighting function is proposed in this study, and it provides the better convergence rate for single-damping LWI. Finally, real towed streamer data are used to verify the feasibility of single-damping LWI algorithm by comparing the result with that of the conventional LWI.

Wavepath analysis and strategies for waveform inversion in the laplace domain

권정민 서울대학교 대학원 2017 국내박사

Laplace-domain waveform inversion (WI) is a technique for estimating long wavelength velocity models. The velocity model, estimated by Laplace-domain WI, is used as an initial velocity model for techniques such as frequency-domain and time-domain waveform inversion. These techniques are then used to develop high resolution velocity models used in subsurface imaging. Since frequency-domain and time-domain waveform inversion are sensitive to the initial velocity model, model resolution of Laplace-domain WI is an important factor in the overall velocity-estimation process. In addition, since the cost for obtaining the wavefield of the Laplace domain is large, it is necessary to improve the convergence rate and efficiency of Laplace-domain WI. Previous Laplace-domain WI studies have shown difficulty in analyzing model resolution and convergence rate due to insufficient understanding of the wavepath and its role in representing the relationship between the model parameters and seismic data. This study investigates the characteristics of the wavepath in the Laplace domain which have not been clarified in previous research. Through this study, we implement convergence rate, model resolution, and efficiency analysis for Laplace-domain inversion. By introducing the attenuation constant, which can be considered a Laplace constant in the spatial domain, we prove that the wavepath of the Laplace domain is a real exponential basis with the product of the attenuation constant vector and the position vector as an exponent. We also prove that the attenuation constant vector is a function of both the Laplace constant and the incident angle. From the numerical example, it can be confirmed that the attenuation constant depends on both the Laplace constant and the incident angle. In addition, this study shows that it is reasonable to apply the Gauss-Newton method to Laplace-domain WI for fast convergence. The wavepath of the Laplace domain is a real exponential function, which has a large condition number. The numerical example of the BP benchmark model demonstrates the effectiveness of the Gauss-Newton method in this Laplace-domain WI algorithm. We also prove that a wide range of incident angles is essential to obtain a high resolution model through Laplace-domain inversion. The relationship between the model resolution and the incident angle range explains why the model resolution decreases as the offset-depth ratio increases. Also, horizontal and vertical resolution changes, depending on the exploration environment, can be predicted. Finally, we propose an efficient Laplace constant selection strategy to improve the efficiency of Laplace domain inversion. The Laplace constants selected through the proposed method improve efficiency by maintaining continuity of the range of attenuation constants and by minimizing unnecessary repetition of attenuation constants. From the numerical example, it can be seen that the proposed Laplace constant selection strategy yields superior results in terms of both efficiency and accuracy, compared with the strategy of choosing Laplace constants at fixed intervals. This applies for both the simple-model and complex-model case, such as the SEG/EAGE salt dome model. 라플라스 영역 파형역산 알고리즘은 장파장 탄성파 속도 모델 추정 기술로서, 주파수 영역 및 시간 영역 파형역산과 같은 고해상도 속도 모델 추정 기술에 초기 속도 모델을 제공하는 용도로 사용된다. 주파수 영역 및 시간 영역 파형역산은 초기 속도 모델에 대단히 민감하기 때문에, 라플라스 영역 파형역산의 정확성은 전체 속도 모델 추정 과정에 있어서 대단히 중요한 요소이다. 또한 라플라스 파형역산에서 사용되는 라플라스 영역 파동장은 얻는 과정에서 많은 비용을 요구하기 때문에, 기술의 경제성 측면에서 라플라스 파형역산의 수렴속도 및 효율성은 역산 과정의 성패를 가르는 중요한 요소이다. 그러나 기존의 라플라스 파형역산에 대한 연구들에서는 모델 파라미터와 자료간의 관계를 나타내는 파동경로(wavepath)에 대한 고찰이 불충분한 관계로 모델 해상도 및 수렴속도 분석을 수행하는 데 어려움이 있었다. 본 연구는 기존의 연구에서 밝히지 못하였던 라플라스 영역의 파동경로의 성질을 규명하고, 이를 통해 기존의 연구에서 제대로 수행하지 못하였던 라플라스 영역 파형역산에 대한 수렴속도 및 모델 해상도, 그리고 효율성 분석을 수행한다. 먼저 공간 영역에 대한 라플라스 상수라 할 수 있는 감쇠 상수(attenuation constant)라는 개념을 도입함으로써 라플라스 영역의 파동경로가 근사적으로 감쇠 상수 벡터와 공간 벡터의 곱을 지수로 하는 실 지수함수 기저임을 증명한다. 이에 더하여 본 연구는 라플라스 영역의 파동 경로가 큰 조건수를 가지는 실 지수함수인 것을 통해, 빠른 수렴속도를 위해서는 라플라스 영역 파형역산에 가우스뉴턴법을 적용하는 것이 합리적임을 밝힌다. BP 벤치마크 모델의 수치 예제는 이러한 라플라스 영역 파형역산 알고리즘에서 가우스뉴턴법이 가지는 효용성을 증명해준다. 그리고 감쇠 상수 벡터가 라플라스 상수와 파의 입사 각도에 대한 함수임을 증명함으로써, 라플라스 영역 파형역산을 통해 높은 해상도의 모델을 얻기 위해서는 넓은 범위의 입사 각도가 필수적임을 밝힌다. 이러한 모델 해상도와 입사 각도 범위와의 관계는 오프셋-심도비(offset-depth ratio)가 증가함에 따라 모델 해상도가 낮아지는 이유를 설명해주며, 탐사환경에 따른 수평 및 수직 해상도의 변화 역시 예측할 수 있게 한다. 마지막 본 연구는 라플라스 영역 파형역산의 효율성을 향상시키는 방법으로 효율적인 라플라스 상수 선택 전략을 제안한다. 본 연구에서 제안하는 방법을 통해 선택된 라플라스 상수는 감쇠상수의 범위의 연속성을 유지시킴으로써 모델 해상도를 보장하며, 감쇠상수의 불필요한 중복을 최소화함으로써 효율성을 향상시킨다. 수치 예제로부터 제안된 라플라스 상수 선택 전략이 기존 연구에서 쓰여왔던 등간격으로 라플라스 상수 선택하는 전략에 비해 효율성 및 정확성의 두 가지 측면에서 월등한 결과를 산출해 내는 것을 확인할 수 있다.

Waveform inversion in the laplace domain

차영호 서울대학교 대학원 2008 국내박사

방사형 기저함수를 이용한 라플라스 영역 역산

양지현 서울대학교 대학원 2018 국내석사

지구물리학계는 Tarantola 가 제안한 완전파형역산을 통해 지하 속도모델을 효율적으로 구축할 수 있게 되었다. 하지만 이 기법은 시간 및 주파수 영역의 목적함수의 거동이 비선형적이고 저주파수 데이터가 부족하다는 한계점을 지녔다. 이를 극복하기 위해 제안된 것이 라플라스 영역 역산이다. 라플라스 영역 역산은 완전파형역산에 필요한 부드러운 초기속도모델을 생산하며, 부족한 저주파수 데이터 조건에서도 robust한 역산이 가능한 장점이 있다. 한편 큰 조건수(condition number) 때문에 수렴이 느려지는 단점이 있었다. 본 연구에서는 방사형 기저함수를 라플라스 영역 역산에 도입하여 파라미터 수를 줄인 역산으로 수렴 속도 문제를 극복하려 하였다. 기법의 유의미함을 검증하기 위해 기존 역산법과 그 결과를 비교하였고, 조건수 문제 개선여부를 수치화하기 위해 기존 라플라스 역산법과 model resolution matrix와 spreading function 값을 비교하였다. 결과적으로 파라미터 수가 줄어들면서 수렴에 빠르게 도달하였지만, 그리드 크기를 줄일수록 수렴 속도가 느려지는 단점이 있었다. 또한 기대된 대각우세(Diagonally dominant) 한 속성이 resolution matrix에서는 나타나지 않고 악화되었다. 하지만 그리드를 조절하여 속도를 빠르게 할 수 있고 추가적 smoothing이 필요하지 않다는 장점이 있다.

라플라스 영역에서의 3차원 파형역산

손우현 서울대학교 대학원 2008 국내석사

Frequency Selection Strategies to Overcome Cycle Skipping in FWI

이안 서울대학교 대학원 2018 국내석사

Full-waveform inversion (FWI) has become an effective tool to develop high-resolution velocity models of the subsurface. Do to the numerous challenges of its non-linear data-fitting technique, it has become one of the most extensively studied procedures in modern day seismology. With a lack of quality low-frequency information obtained in seismic data acquisition, traditional methods of waveform inversion have required initial velocity models close to the true model. Laplace-Fourier-domain waveform inversion (WI) was developed to help overcome some of the traditional limitations of FWI. While it allows for successful waveform inversion from simple linearly increasing or even homogenous starting velocity models, it can still experience some cycle skipping related artifacts when inverting real data in these cases. This work attempts to address the cycle skipping issue in Laplace-Fourier-domain WI in two ways. First, extrapolated low frequency information obtained from synthetic seismograms will be used to promote global convergence and avoid local minima. One of the primary limitations in seismic acquisition data is a lack of low-frequencies due to a poor signal-to-noise ratio. This study presents a new inversion workflow incorporating extrapolated low frequency information from synthetic seismograms. Synthetic seismograms are generated from inverted velocity models using reliable high frequency data. Low frequency seismic information is extrapolated from these synthetic seismograms and used to improve inversion results starting from a 2-layer homogeneous starting velocity model. This work goes on to suggest using previously disregarded high frequency information to improve both model resolution and in turn reduce the size and impact of cycle skipping related artifacts in the inverted velocity model. Three real data examples are shown with comparisons of velocity models inverted using frequencies up to 15 Hz juxtaposed to those using frequencies up to 30 Hz. By expanding the frequency lists used in Laplace-Fourier-domain WI, improved inversion results can be seen with mitigated cycle skipping related artifacts.

3D Laplace domain modeling and inversion algorithm for the obliquely inclined sea floor

윤병준 서울대학교 대학원 2011 국내석사

라플라스 영역에서의 3차원 탄성파 완전 파형역산

손우현 서울대학교 대학원 2011 국내박사

Laplace-Fourier domain elastic full waveform inversion using time domain modeling

전형구 서울대학교 대학원 2014 국내석사

To obtain subsurface information from onshore seismic exploration data using full waveform inversion (FWI) based on the acoustic wave equation, elastic waves, such as ground rolls and mode-converted waves, should be suppressed through heavy preprocessing. However, the preprocessing deforms not only the elastic waves but also the acoustic waves. Moreover, it is not easy to separate body waves and surface waves in seismic traces. For these reasons, in the modeling step, we need to generate both types of waves to obtain more similar seismic waves to the real seismic waves. Therefore, elastic full waveform inversion using elastic wave equation is necessary for more accurate full waveform inversion. In addition, elastic full waveform inversion can give better geological information than acoustic full waveform inversion because it inverts P-wave velocity, S-wave velocity and density. Laplace-Fourier domain FWI using time-domain modeling combines time-domain wave propagation modeling and Laplace-Fourier-domain FWI. To obtain forward wavefield and adjoint wavefield in the time domain, we implemented staggered grid finite difference method. The residuals between the recorded and modeled data, virtual sources, hessian matrices and gradient directions were calculated in the Laplace-Fourier domain. We used time domain wave propagation modeling for the forward and adjoint wavefield because it is more intuitive to treat the wavefield in the time domain than in the Laplace-Fourier domain. Moreover, time domain wave propagation modeling using staggered grid finite difference method does not need matrix solver which is necessary for the conventional Laplace-Fourier domain FWI. The optimization procedure is conducted in the Laplace-Fourier domain because Laplace-Fourier-domain FWI can be applied to real seismic data, which lacks low-frequency components. To validate our proposed algorithm, we performed numerical tests with synthetic data and real exploration data. We applied the algorithm to Model 94 synthetic onshore data and Benjamin Creek real onshore data. 육상 탄성파 탐사 자료를 통해 음향파 완전 파형 역산을 이용하여 지하 구조에 대한 정보를 얻기 위해서는 그라운드 롤과 모드 변환 파들과 같은 탄성파의 영향을 억제 해야 한다. 많은 전 처리를 통해 탄성파의 영향을 억제 하는 과정 중에 음향파에 대한 변형 또한 피할 수 없다. 게다가 실체파와 표면파를 완전히 분리 해내는 것은 거의 불가능에 가깝다. 이러한 이유로 실제 파형과 더 유사한 파를 만들어 내기 위해 모델링 단계에서 두 종류의 파를 모두 만들어낼 필요가 있다. 따라서 정확한 완전 파형 역산을 위해서는 탄성파동방정식을 이용한 탄성파 완전 파형 역산이 필수적이다. 또한 탄성파 완전 파형 역산은 P파 속도뿐만 아니라 S파 속도와 밀도 정보도 함께 역산 할 수 있어서 음향파 완전 파형 역산보다 더 많은 지질학적인 정보를 제공해 줄 수 있다. 시간 영역 모델링을 이용한 라플라스-푸리에 영역 완전 파형 역산은 시간 영역 파동 전파 모델링과 라플라스-푸리에 영역 완전 파형 역산을 결합한 알고리즘이다. 정 전파 파동장과 역 전파 파동장을 시간 영역에서 얻기 위하여 엇격자 유한 차분법이 사용되었다. 탐사 자료와 모델링 자료간의 잔차, 가상 송신원, 헤시안 그리고 구배도는 라플라스-푸리에 영역에서 계산 되었다. 우리는 시간 영역 파동 전파 모델링으로 정 전파 및 역 전파 파동장을 구하였는데 이는 시간 영역의 파동장을 라플라스-푸리에 영역 파동장에 비해 더 직관적으로 다룰 수 있어서일 뿐 아니라 행렬 솔버를 이용하지 않고 효율적인 모델링을 할 수 있어서 이다. 최적화 과정은 라플라스-푸리에 영역에서 진행되었는데 왜냐하면 라플라스-푸리에 영역 완전 파형 역산은 저주파 성분이 부족한 실제 현장 자료에 적용이 가능하기 때문이다. 이 연구를 통해 제안된 알고리즘을 검증하기 위해서 인공 합성자료와 실제 탐사 자료에 대해 수치 실험을 진행하였다. 인공 합성자료로는 모델 94 육상 자료를 사용 하였고 실제 자료로는 벤자민 크릭 육상 탐사 자료를 사용 하였다.

Waveform inversion using blocky parameterization in the Laplace domain

이홍 서울대학교 대학원 2012 국내박사

파형역산 기술은 인공합성 자료에 대한 성과에 비해 현장자료에 대한 성공사례가 부족하다. 그 주요원인은 목적함수 내에 넓게 분포하는 국지 극소점으로 인해 역산결과가 전역 극소점으로 수렴하기 힘들기 때문이다. 현장자료의 경우에 원치 않는 국지 극소점으로 수렴하려는 경향이 높아지는 원인은 자료 내의 저주파수 성분 부족, 초기 속도모델의 부정확성, 다양한 종류의 잡음, 실제 지구 내 전파양상의 부정확한 근사 등이 있다. 최근에 라플라스 영역 파형역산은 이런 문제점 중 일부를 극복할 수 있음이 확인되었다. 라플라스 영역 파형역산은 균질속도모델을 초기 속도모델로 가정하고도 저주파수 성분이 부족한 현장자료로부터 장파장 형태의 배경속도를 찾아낼 수 있다. 즉, 라플라스 영역 파형역산은 초기 속도모델에 덜 민감하고, 장파장 형태의 속도모델을 찾아내는 장점을 갖고 있다. 본 논문에서는 라플라스 영역 파형역산의 이런 특성에 착안하여 굳이 모든 격자의 속도값을 매개변수로 역산하지 않아도 역산결과의 해상도를 크게 망가뜨리지 않을 수 있다고 가정하였다. 이를 구체화하기 위해 본 논문에서는 블록 매개변수화 방법을 도입하였다. 블록 매개변수화란 지하매질을 몇 개의 블록으로 나누고, 각 블록의 속도와 모서리 좌표를 역산의 매개변수로 이용하는 방법이다. 각 블록은 수십 혹은 수백 개의 격자를 포함하는 크기이다. 이 과정에서 블록의 크기를 적절하게 설정하는 것이 중요한데, 그 이유는 블록의 크기에 의해 역산 결과의 해상도와 역산 매개변수의 개수가 결정되기 때문이다. 즉, 블록의 크기에 의해 알고리즘의 성능과 효율성이 결정된다. 역산의 수렴과정을 가속화, 안정화시키기 위해 로그 파동장을 이용하여 가우스-뉴턴 방법과 켤레구배 최소자승법을 적용하였다. 간단히 말하면, 계산비용적인 측면에서 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해 라플라스 영역 파형역산에 블록 매개변수화 방법을 적용하였다. 다음으로 수치예제를 통해 알고리즘의 역산 성능과 특성에 대해 살펴봤다. 일반적인 라플라스 영역 파형역산 결과의 해상도를 크게 망가뜨리지 않으면서 역산 매개변수의 개수를 크게 줄일 수 있음을 확인했다. 블록의 속도와 모서리 좌표라는 두 종류의 다른 매개변수가 동시에 역산이 가능했다. 또한 암염돔 모델과 같이 속도 대비가 큰 모델에 대해 역산할 경우에 더욱 효과적임을 확인했다. 현장자료에 대한 적용 가능성을 알아보기 위해 현장자료에 대한 수치실험을 수행하여 기존의 역산결과와 비길 만한 속도모델을 얻을 수 있었다. 또한 라플라스 영역의 특성인 초기 속도모델에 덜 민감한 장점이 그대로 유지되는 것도 확인했다. Waveform inversions using real field data have not been as satisfactory as those using synthetic data so far. It is mainly due to the undesirable convergence toward the local minimum points within the objective functions. There are several reasons for the wrong convergence such as the lack of low frequency components, the limited accuracy of the initial velocity models, the presence of various kinds of noises, the approximate modeling of the wave propagation in the real Earth, and so on. Recently, the Laplace-domain waveform inversion has been used to overcome some of these problems. It can yield smoother or long-wavelength velocity models in spite of the lack of low frequency components in the field data even from homogeneous initial velocity model. That is to say, Laplace-domain waveform inversion is robust and less sensitive to the choice of initial velocity model and results in long-wavelength velocity models. In this thesis, I paid attention to these properties and anticipated that the Laplace-domain waveform inversion could yield a fairly good result without using all the meshes as inversion parameters. And it would not severely deteriorate the resolution of the inverted velocity models. In order to embody the idea, I applied the blocky parameterization method to the waveform inversion in the Laplace domain. Blocky parameterization is a method to parameterize a medium by the velocity and interface coordinates of blocks, which have many cells in them. Determining the block size carefully, it should not impair the resolution of the inverted velocity model but reduce the number of inversion parameters. I also applied the Gauss-Newton method and CGLS method using logarithmic wavefield to accelerate and stabilize the convergence process. To sum up, I developed a robust and cost-effective waveform inversion algorithm by applying the blocky parameterization method in the Laplace domain. Through some numerical tests, then, I verified the capability and properties of the proposed algorithm and examined the reduction of the number of inversion parameters. The numerical examples demonstrate that the proposed algorithm can yield comparable inversion results at lower computing costs than the conventional waveform inversions. I confirm that two different kinds of inversion parameters can be inverted simultaneously. The proposed algorithm keeps the robustness of the Laplace-domain waveform inversion. In addition, it has some advantages when used for high contrast medium. The applicability of the proposed algorithm to real field data sets is demonstrated using the Congo data set in the Gulf of Mexico.