3차원 코딩환경을 통한 이변수 함수 도입 연구 : 이변수 함수의 그래프와 최대·최소 문제를 중심으로

강한별 서울대학교 대학원 2021 국내석사

여러 수학 및 과학 분야에서 관심 있는 특정 주제에 대해 함수와 그 표현을 사용하여 다중 관계로 표현되는 다양한 아이디어들의 보급과 그 중요성을 감안할 때, 학생들이 함수에 대해 어떻게 사고하고 이해하는지, 특별히 둘 이상의 변수에 대한 함수와 그 그래프를 어떻게 해석하고 표현하는지 이해하는 것은 매우 중요하다. 그러나 대부분의 연구들은 일변수에 대한 이해 혹은 어려움에 중점을 두어왔으며, 수학적 개념에 대한 다양한 표현과 이들의 유능한 사용을 위한 수학적 시각화의 중요성, 특히 수학적 이해에서 그래프의 중요성에도 불구하고 대수적 표현과 기하적인 그래픽 표현 간의 연결 및 시각화에 관한 연구는 부족한 실정이다. 또한 대부분의 이변수 관련 연구들은 에서의 시각화 전략 및 표현을 다루고 있었으며 에서의 이변수 함수와 그래프의 도입 및 시각화에 관한 연구는 거의 보고되지 않았다. 이에 본 연구는 주요 선행연구를 개관함으로써 기존의 관련 선행연구들이 이변수 함수의 도입 및 이해를 위해 공통적으로 시각적(graphical/ visual), 분석적(analytical/algebraic), 언어적 표현 간의 매개와 해석의 중요성을 강조하고 있음에 주목하고, 교육부가 제3차 수학교육 종합계획 등에서 정보처리능력과 공학적 도구의 활용을 통한 수학 탐구활동을 명시적으로 강조하고 있는 흐름에 발맞추어, 이변수 함수와 그 그래프를 Papert의 구성주의(Constructionism) 교육철학과 그를 기반으로 한 3차원 좌표계 코딩환경 코딩환경을 통해 도입하고 시각화 및 탐구 전략을 제시한다. 구체적으로 본 연구는 이변수 함수와 그 그래프를 3차원 공간상의 직선 및 곡선들의 집합(sets of lines, rays, or curves)으로 다루는 전략과 학습자의 학습에 유의미한 방향으로 조건을 추가하면서 탐구하거나 global view와 local view를 모두 고려하는 시각화 및 탐구 방법을 제시한다. 3차원 좌표계 기반 코딩환경을 통한 시각화 및 탐구 전략은 기존에 상에서 이변수 함수를 지도함에 있어 발생하는 어려움과 문제점들에 대한 보완책이 될 수 있으며, 대수적 접근 및 표현과 3차원 공간상의 개체(graphical objects) 사이의 유연한 연결에 도움이 될 수 있다. 이변수 함수와 그래프에 대한 탐구와 연계하여 본 연구는 이변수 함수의 최대·최소 문제의 탐구를 위해 진화전략(Evolution Strategy) 기반의 경사하강법(gradient descent)을 수학적 탐구 도구로서 도입한다. 구체적으로 본 연구는 터틀크래프트를 통한 3차원 공간에서의 시각화 전략을 통해 이변수 함수와 그래프를 global view에서 이해하고, 진화전략 기반의 경사하강법을 활용한 탐구를 통해 local view에서 이변수 함수에 대한 사고와 추측에 대해 확인해보며 global view과 local view를 상호보완적으로 고려하고 연계하며 탐구하는 것을 도모한다. 물론 중학교 차원에서는 편미분 등을 통한 탐구는 불가능하였지만 학생들은 global view과 local view를 종합하여 대칭성이나 극대·극소와 같은 이변수 함수의 전체적인 대략적인 구조를 파악할 수 있었고, 최대·최소 문제를 탐구하는 과정에서 실제 인공지능의 주요한 문제들이나 진화전략 및 경사하강법의 작동원리와 한계점 등에 대해 탐구할 수 있었다. 특히 학생들은 최적화 경로를 분석함으로써 다시 이를 통해 이변수 함수의 그래프의 구조나 경사(gradient) 등에 대한 이해를 보완하고 발전시킬 수 있다. 또한 선행연구를 통하여 설계된 최대·최소 탐구환경을 통하여 진화전략 기반의 경사하강법과 미분 기반의 경사하강법을 비교해 볼 수 있으며, 그밖에도 스토리코딩을 통해 표본의 분포나 random, learning rate, 표준편차, 표준화(standardization) 등에 대해 탐구해볼 수 있다. 본 연구는 선행연구에서 다루어진 이변수 함수의 도입 전략들을 컴퓨터와 함께 에서 다루어보고 인공지능 수학 교과목과 관련하여 경사하강법의 탐구와 연계함으로써, 학생들의 다변수 함수를 다루는 역량을 강화하는 데에 도움이 되고 더불어 4차 산업혁명 시대에 필요한 수학적 역량과 컴퓨팅 사고력(Computational Thinking) 역량을 기를 수는 있는 교육과정을 도모하였다. Given the prevalence of ideas in mathematics and science that require representing multiple relationships using functions and their representations simultaneously, it is important to understand how students think about and understand functions, especially how they interpret and represent functions and graphs for more than one variable. However, most studies have focused on understanding or difficulties of one-variable function. Despite various representations of mathematical concepts and the importance of mathematical visualization for using them competently, particularly the importance of graphs in mathematical understanding, studies on connectivity and visualization between algebraic and geometric graphical representations are lacking. In addition, most two-variable studies have addressed strategies for visualization and representations in , and few studies have been reported on the introduction and visualization of two-variable functions and graphs in . By studying a major prior study, this study noted that existing related prior studies emphasize the importance of mediation and interpretation between graphical, analytical, and linguistic expressions in common for the introduction and understanding of two-variable functions. In line with the flow of the Ministry of Education's emphasis(in the third comprehensive plan for mathematics education) on ability to process information and mathematical exploratory activities with using engineering tools, this study introduces two-variable functions and graphs through Papert's Constructionism and the three-dimensional coding environment based on coordinate system and presents strategies for visualization and exploration strategies. Specifically, this study presents strategies to treat two-variable functions and graphs as sets of lines, rays, or curves in three-dimensional space, and visualization and exploration methods that consider both global and local views by adding mathematical conditions in ways that help learner’s learning. Strategies for visualization and exploration through a three-dimensional coordinate system-based coding environment can complement the challenges and problems encountered in guiding two-variable functions on , and help with flexible connections between algebraic approaches and representations and graphical objects. In conjunction with the exploration of two-variable functions and graphs, this study introduces Evolution Strategy-based gradient descent method as a mathematical exploration tool for dealing with the maximum and minimum problems of two-variable functions. Specifically, this study presents strategies to understand two-variable functions and graphs in a global view through visualization-strategies in Turtlecraft and in a local view through exploration using Evolution Strategy-based gradient descent methods. Exploring using Evolution Strategy-based gradient descent methods allows students to check the thinking and speculation of two-variable functions in local views, and to promote complementary consideration and connection on global view and local view both. Of course, it is impossible for middle school students to explore using partial differential, but students were able to understand the overall approximate structure of two-variable functions such as symmetry and local maximum and minimum. Also students were able to study major problems of artificial intelligence or the principles and limitations of Evolution Strategies and gradient descent methods in the process of exploring the maximum and minimum problems. In particular, by analyzing the path of optimization, students can again supplement and develop their understanding of the structure, gradient, etc. of the graphs of two-variable function. In addition, students can compare Evolution Strategy-based gradient descent to differential-based gradient descent through the exploration environment designed through prior research, and can explore concepts of sampling, distribution, random, learning rate, standard deviation, and etc. through story-coding. By dealing with the introduction strategies of two-variable function in with computers based on prior studies and linking them to the exploration of gradient descent, this study aims to enhance students' ability to deal with multi-variable functions and develop computational thinking capabilities in the era of the Fourth Industrial Revolution.

진화전략을 이용한 실용적인 아날로그 회로 자동설계

박현수 세종대학교 대학원 2013 국내석사

아날로그 회로는 전통적으로 모든 전기/전자 시스템의 기본 구성요소로서 필수 불가결 하다. 비록 최근에는 디지털 회로의 급속한 발전으로 인하여 많은 분야에서 디지털 회로로 대체되었지만, 디지털 회로가 대체할 수 없는 아날로그 회로만의 고유한 영역이 있으며, 디지털 회로로 대체 가능하지만 아날로그 회로를 사용하는 것이 적합한 분야도 있다. 이러한 아날로그 회로를 설계하기 위해서는 숙련된 전문가가 필요하지만, 최근 들어 제한된 수요와 설계의 어려움 때문에 최근에는 아날로그 회로 설계 전문가만의 숫자가 크게 줄어 들었다. 하지만, 아날로그 회로의 중요성은 줄어들지 않았기 때문에 아날로그 회로를 쉽게 설계할 수 있는 방법의 필요성이 있다. 이러한 방법 중에 하나로 최근에는 진화 알고리즘 기법을 이용하여 아날로그 회로를 자동으로 설계하려는 연구가 진행되고 있다. 아직은 전문가가 직접 설계하는 것에 비해서 많은 제약이 따르지만, 이런 기법을 이용하여 회로를 설계하면, 전문적인 지식이 전혀 없이도 회로를 설계할 수 있는 장점이 있다. 본 연구에서는 그 중에서 진화 전략에 기반하여 아날로그 회로를 자동으로 설계하는 알고리즘을 다양한 조건에서 실험을 해봄으로써, 해당 알고리즘을 좀 더 실용적인 알고리즘으로 개선하는 방법에 대해서 연구하였다. 이 논문에서는 세 가지 실험을 진행하였는데, 첫 번째 실험에서는 진화 전략을 이용하여 설계한 회로를 실제 회로로 구현하는데 적합한 방법이 무엇인지에 대해서 알아보았다. 두 번째 실험에서는 회로의 제조 편차에 둔감한 회로를 설계하는데 적합한 평가 함수의 설계 방법에 대해서 알아보았다. 세 번째 실험에서는 더 큰 규모의 회로를 설계하기 위해 알고리즘의 어떻게 개선해야 하는지 알아보았다. 이 실험 결과들을 분석한 결과 아직은 전문가들이 설계하는 수준의 회로는 불가능하지만, 기존 알고리즘을 좀 더 실용적으로 개선할 방법을 알 수 있었다. Analog circuits are fundamental element of all electric devices. But, it is very hard to synthesis analog circuits without expertise. Recently, there are many works about automated synthesis analog circuits using evolutionary algorithms. These algorithms can help synthesizing analog circuits even there are no expertise. But, there are many limits on these algorithms. So, in this paper we performing three experiments to improve analog circuit synthesis algorithm based on evolutionary strategy. We can get some idea how to improve legacy algorithm more practically by analyze these experimental results.

유전알고리즘 다중목적 최적화를 위한 공진화전략에 관한 연구

김도영 연세대학교 2002 국내석사

본 논문에서는 다중목적함수처리를 위한 유전알고리즘기반의 여러 최적화기법들을 소개하고 구조최적화문제에 적용하여 그 결과를 기존의 방법과 비교하여 그 특징을 연구하였다. 다중목적 최적화문제를 위한 전통적인 방법은 파레토 최적(pareto optimal)기법에 의하여 최적해(optimal solution)를 구한다. 이에 파레토 최적해(pareto optimal solution)을 구하기 위한 기법들 중에서 가중법(weight method), 미니맥스방법(minimax method), 골프로그래밍기법(goal programming method)과 퍼지멤버쉽 함수를 이용한 퍼지다중목적함수 최적화기법등을 제시하고, 기존의 다중목적함수 최적화 기법과는 접근방법이 다른 공진화전략(co-evolutionary strategy)에 의한 다중 목적최적화 기법을 소개한다. 파레토 최적(pareto optimal) 기법은 설계변수값에 의한 목적함수값들을 설계공간에 나타내어 각 목적함수를 만족하는 정도를 비교하여 모든 목적함수를 공통적으로 가장 잘 만족하는 즉 이상해(ideal solution)에 가장 근접한 해(preferabel solution) 를 구하여 다목적최적화를 수행하는 방법이고, 퍼지다중목적함수의 최적화는 각각의 단일목적함수의 실행에 의하여 구해진 매개변수를 가지고 멤버쉽함수를 구성하여 각각멤버쉽함수의 만족도를 공통으로 만족하는 최대의 멤버쉽함수값을 찾는 방법이다. 이와 같은 최적화 방법들과 달리 공진화전략은 설계편차조절지도와 각 목적 함수값을 만족하는 설계변수 값들의 차를 비교하여 최적화를 수행하게 된다. 이와 같은 공진화전략에 의한 최적화방법은 우선적으로 탐색(search)해야 하는 단일목적 최적해의 결과 없이 동시실행에 의해 다중목적의 최적해를 구할 수 있다. 또한 별도의 다중목적 최적화를 위한 수식과정(formulation)이 필요 없기 때문에 기존의 유전알고리즘 최적화기법에 쉽게 응용할 수 있다. 또한 본 연구에선 설계문제에 맞게 스스로 유연하게 설계편차조절지도를 조절할 수 있는 적응형 설계편차조절지도를 제안하였다. The paper presents some optimization methods based on the genetic algorithms and deals with the various problems raised in the process of applying those methods to the simple structural optimization question. The common way to solve the multi-objective optimization questions is to use the "Pareto Optimal Method", but there are also some other convenient methods. This paper shows some specific methods to find the "Pareto Optimal Solution" such as the "Weight method", the "Minimax method", and the "Goal programming method", and the "Fuzzy multi-objective function optimization method" on fuzzy membership function, and then, analyze the multi-objective method on the "Co-evolutionary Strategy" which has different access mode. "Pareto Optimal Method" is the method to solve the question in such way that it carry out the multi-objective optimization by the "preferable solution" closed to the "ideal solution" which is most suitable solution for eachobjective function by applying the objective function values to the designed space. Another way to solve the multi-objective question is the "Fuzzy multi-objective function optimization method" which is usually adapted at the designed question which has more than one objective function or limited condition. Here, the optimal solution is the largest membership function value relevant to every membership functions composed by intermediary variables. In this way it contents both a proposed objective function and limited conditions. But, the "Co-evolutionary Strategy" carries out the optimization differently compared to the referred two methods. It performs the optimization by comparing the gap of the designed variables matched with all objective functions' value with the range constraint map. This method enables to seek for the optimal solution by the same performing without the result of the simple objective optimal solution which should be searched first of all. As well, it can be easily applied into the genetic algorithms optimization because it doesn't need any other formulation for the multi-objective optimization. Furthermore, the Adaptative Range Constraint Map(ARCM) which is able to control its Range Constraint Map(RCM) according to the designed question automatically are presented on this paper.

한국섬유산업의 선진화 전략에 관한 연구

박노화 대구대학교 2002 국내석사

The purpose of this study is about an innovative growth strategy regarding Korean Textile Industry. Since year of 1960's the Korean Textile Industry has been continually advanced. Mainly because the government has subsidized to the private sector and the industries of Textile were made growth caused by global free trade under the GATT. Since year of 1980's, however, relation of labor and employer has been worse than ever and growth of the industries was made low-growth. And growth of the textile industry was hinder under WHO environment. The advantage of labor cost was turned to the autonomic equipment operations and then to the R&D of high technology leadership as of now. Innovative strategy of the growth are as follows: 1) Globalization 2) Development of tex-material 3) Dying processing technology 4) Fashion design 5) Exhibition business of marketing 6) Information technology 7) Symbiotic model of networking industries.

BLDC 전동기 회전자 자극의 최적설계에 대한 진화전략과 실험적 설계 기법의 상호비교

이현국 부산대학교 대학원 2003 국내석사

Advance of permanent magnet technology enables PM motors to have high efficient and output characteristic. This makes it possible to require more PM motors in many fields. Rare earth magnet has high energy product with high remnant flux density and coercive force compared to other magnet material, Alnico and Ferrite for example. In terms of economical point of view, however, the use of rare earth magnet material for design of PM motors should be considered carefully because it costs a great deal for the raw material. In the stage of design of BLDC, varying pole arc variables on the rotor including air-gap length consideration has an effect on motor characteristic such as torque, torque ripple an so on. With this point of view, there must be some optimal points minimizing volume while keeping torque characteristic. Response Surface Methodolody (RSM) has been used popularly in different industrial fields of product design as well as process requiring experimental test. RSM with Taguchi Method reduces the number of experimental test, which saves total cost for design and process. The Evolution Strategy (ES) algorithm is the non-deterministic method and shows a fast convergence characteristic. This paper presents pole arc minimizing technique varying the pole arc design variables from a commercial BLDC motor using Evolution strategy with FEM sustaining the torque characteristic of the prototype. Optimal results are presented compared with torque characteristic of the prototype to the validity.

진화전략을 이용한 Manabe표준형의 일반화에 관한 연구

鄭堯元 명지대학교 2000 국내석사

Manabe표준형[3]은 오버슈트가 거의 없는 전달함수의 표준형으로서 차수가 변하더라도 계단응답의 모양이 거의 변하지 않는 특징을 갖고 있다. 그러나 상승시간(rise time)과 정정시간(settling time)을 동시에 조절하기에는 불편한 점이 있다. 따라서 상승시간과 정정시간을 조절할 수 있는 일반화된 Manabe형을 유도한다. Manabe표준형의 상승시간과 정정시간을 기준으로 각각 상승시간이 느리고(slow) 정정시간이 빠른 특징을 가진 SRFS형(Form with Slow Rise Time & Slow Settling Time)을 찾는다. 또한 다음과 같은 세 가지 형도 고려한다 : 상승시간이 빠르고(fast) 정정 시간이 빠른 특징을 가진 FRFS형(Form with Fast Rise Time & Fast Settling Time), 상승시간이 느리고 정정시간도 느린 SRSS(Form with Slow Rise Time & Slow Settling Time)형, 상승시간이 빠르고 정정시간이 느린 FRSS(Form with Fast Rise Time & Slow Settling Time)형을 고려한다. 본 논문에서는 진화 전략을 사용함으로서 위에서 제안한 4가지 형의 모든 계수를 얻는다. 끝으로 Manabe 표준형과 FRFS형을 이용한 제어기 설계를 비교함으로서 4가지 Form의 유용성을 확인한다. The step response of the Manabe standard form[2] has little overshoot and shows almost same waveforms regardless of the order of the characteristic polynomials. In some situations it is difficult to control the rise time and settling time simultaneously of the step response of the Manabe standard form. To control its rise time and settling time efficiently, We develop the generalization of the Manabe standard form: we try to find out the SRFS(Slow Rise time & Fast Settling time) form which has the slower rise time and faster settling time than those of the Manabe standard form. We also consider the other three forms: FRSS(Fast Rise time & Slow Settling time), SRFS(Slow Rise time & Fast Settling time) and SRSS(Slow Rise time & Slow Settling time) forms. In this paper, by using the evolutionary strategy, we obtain all the coefficient of the four forms we mention above. Finally, we design a controller for a given plant so that the overall system has the performance that the rise time is faster, the settling time is faster than those of the Manabe standard form.

IBS의 정보통신망 진화전략에 관한 연구

유기호 慶熙大學校 1991 국내석사

진화전략과 신경회로망을 이용한 이동로봇의 제어기 설계

전형욱 부산대학교 2001 국내석사

속도 최대화를 위한 micro-positioning actuator의 최적설계

오광일 서울대학교 대학원 2007 국내석사

유전알고리즘기반 다중목적 최적화를 위한 공진화전략에 관한 연구

김도영 연세대학교 대학원 2003 국내석사

The paper presents some optimization methods based on the genetic algorithms and deals with the various problems raised in the process of applying those methods to the simple structural optimization question. The common way to solve the multi-objective optimization questions is to use the 'Pareto Optimal Method', but there are also some other convenient methods. This paper shows some specific methods to find the 'Pareto Optimal Solution' such as the 'Weight method', the 'Minimax method', and the 'Goal programming method', and the 'Fuzzy multi-objective function optimization method' on fuzzy membership function, and then, analyze the multi-objective method on the 'Co-evolutionary Strategy' which has different access mode. /'Pareto Optimal Method' is the method to solve the question in such way that it carry out the multi-objective optimization by the 'preferable solution' closed to the 'ideal solution' which is most suitable solution for each objective function by applying the objective function values to the designed space. Another way to solve the multi-objective question is the 'Fuzzy multi-objective function optimization method' which is usually adapted at the designed question which has more than one objective function or limited condition. Here, the optimal solution is the largest membership function value relevant to every membership functions composed by intermediary variables. In this way it contents both a proposed objective function and limited conditions. But, the 'Co-evolutionary Strategy' carries out the optimization differently compared to the referred two methods. It performs the optimization by comparing the gap of the designed variables matched with all objective functions'' value with the range constraint map. This method enables to seek for the optimal solution by the same performing without the result of the simple objective optimal solution which should be searched first of all. As well, it can be easily applied into the genetic algorithms op 본 논문에서는 다중목적함수처리를 위한 유전알고리즘기반의 여러 최적화기법들을 소개하고 구조최적화문제에 적용하여 그 결과를 기존의 방법과 비교하여 그 특징을 연구하였다. 다중목적 최적화문제를 위한 전통적인 방법은 파레토 최적(pareto optimal)기법에 의하여 최적해(optimal solution)를 구한다. 이에 파레토 최적해(pareto optimal solution)을 구하기 위한 기법들 중에서 가중법(weight method), 미니맥스방법(minimax method), 골프로그래밍기법(goal programming method)과 퍼지멤버쉽함수를 이용한 퍼지다중목적함수 최적화기법등을 제시하고, 기존의 다중목적함수최적화 기법과는 접근방법이 다른 공진화전략(co-evolutionary strategy)에 의한 다중목적최적화 기법을 소개한다./ 파레토 최적(pareto optimal) 기법은 설계변수값에 의한 목적함수값들을 설계공간에 나타내어 각 목적함수를 만족하는 정도를 비교하여 모든 목적함수를 공통적으로 가장 잘 만족하는 즉 이상해(ideal solution)에 가장 근접한 해(preferabel solution) 를 구하여 다목적최적화를 수행하는 방법이고, 퍼지다중목적함수의 최적화는 각각의 단일목적함수의 실행에 의하여 구해진 매개변수를 가지고 멤버쉽함수를 구성하여 각각멤버쉽함수의 만족도를 공통으로 만족하는 최대의 멤버쉽함수값을 찾는 방법이다. 이와 같은 최적화 방법들과 달리 공진화전략은 설계편차조절지도와 각 목적함수값을 만족하는 설계변수 값들의 차를 비교하여 최적화를 수행하게 된다. 이와 같은 공진화전략에 의한 최적화방법은 우선적으로 탐색(search)해야 하는 단일목적최적해의 결과 없이 동시실행에 의해 다중목적의 최적해를 구할 수 있다. 또한 별도의 다중목적 최적화를 위한