위치적 십진기수법을 본질로 하여 조직한 소수 개념 지도 방안 연구

강흥규 한국초등수학교육학회 2011 한국초등수학교육학회지 Vol.15 No.1

이 논문에서는 소수 개념의 본질에 대한 고찰에 근거하여, 초등 수학에서 소수 개념의 효과적인 지도 방안을 구체적으로 모색하였다. 브루소는 역사적 발생과정에 대한 고찰에서 출발하여 소수 개념의 본질을 ‘자연수의 순서쌍의 동치류’로 규정하고 그것을 지도하기 위한 교수학적 상황을 구성하였다. 브루소와는 달리, 이 논문에서는 소수 개념의 본질을 ‘십진소수’ 즉 ‘밑수 10에 대한 다항식’으로 파악하였다. 그리고 측정활동에 입각하여 그러한 본질을 효과적으로 구현할 수 있는 지도 방안을 구체적인 학습·지도안 형태로 구안하였다. 이 학습·지도안이 기초하고 있는 측정활동의 유형은 ‘보다 정확한 측정치를 얻기 위한 단위의 십진 세분할을 통한 순차적인 측정 활동’이다. 이 실험적 학습·지도안은 다음과 같은 특징을 가진다. 첫째, 학생들은 그들 스스로 단위를 십진법에 따라 세분할함으로써 하위 단위를 생성하는 조작을 경험한다. 둘째, 십진분수 전개를 먼저 다루고 이로부터 귀납적으로 위치적 기수법에 따른 완성된 소수 표현을 다룬다. 셋째, 위치적 십진기수법을 따라 형식적으로 표기하기 이전에 임의 단위의 명수체계(해-달-별, 혹은 m-dm-cm-mm)에 의해서 읽는 활동을 제공하였다. 이 논문에서 개발된 학습·지도안은 교수실험을 통하여 검증될 필요가 있다. 이를 위한 후속연구가 요청된다.

알고리즘의 다양성을 활용한 두 자리 수 곱셈의 지도 방안과 그에 따른 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘 이해 과정 분석

강흥규,심선영 한국초등수학교육학회 2010 한국초등수학교육학회지 Vol.14 No.2

알고리즘을 지도하는 전통적인 방법은 우선 ‘표준 알고리즘’을 완성된 형태로 제시하고 이어서 간단한 사례를 통하여 이해한 다음, 보다 일반적인 문제에 적용함으로써 표준 알고리즘을 연습하는 형태이다. 그러나 이 방법은 표준 알고리즘에 지나치게 집중되어 있다는 문제점과 함께, 학생 스스로 문제에 적합한 알고리즘을 선택하거나 알고리즘 자체를 개발하는 경험을 제공하지 못한다는 제한점을 갖고 있다. 이 논문에서는 자연수 곱셈 알고리즘의 다양성을 활용하여 학생 스스로 알고리즘을 개발하고 발명할 수 있도록 지도하는 방안을 상세하게 구안하였고, 그에 따른 교수실험을 통하여 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘에 대한 이해 과정을 분석하였다. 그 결과는 첫째, 실험적인 지도안으로 학습한 실험반은 자리값의 원리와 분배법칙의 이해에 있어서 비교반보다 높은 성취를 보였으나, 계산 능력에 있어서는 그렇지 못했다. 둘째, 비교반은 물론 실험반에서도 표준 알고리즘의 선호도가 가장 높았으며, 실험반에서는 표준 알고리즘 다음으로 격자곱셈의 선호도가 높은 것으로 나타났다. 격자 곱셈을 교육 소재로 활용하는 것을 적극 고려할 필요가 있다. 셋째, 비례표는 그것이 가지는 이론적인 장점에도 불구하고 우리나라 초등학교 3학년 학생이 배우기에는 다소 무리가 따르는 것으로 나타났다.

한국의 초등수학 교과서에 나타나는 분수의 개념과 모델의 양상 분석

강흥규 한국초등수학교육학회 2013 한국초등수학교육학회지 Vol.17 No.3

이 논문에서는 분수가 가지는 다양한 의미를 개념(비율, 작용소, 나눗셈)과 모델(전체-부분, 측정, 분배)의 두 범주로 분류하고, 그것이 한국의 초등수학 교과서에서 어떤 양상으로 나타나는지 조사하였다. 이를 바탕으로 초등수학에서 분수 지도에 대한 시사점을 도출하였다. 첫째, 분수의 다양한 개념과 모델을 상호 보완적으로 활용함으로서 통합된 하나의 분수 개념을 형성해야 한다. 둘째, 분수의 다양한 개념과 모델을 명확히 변별하고 그 도입시점을 명확히 함으로써, 암묵적인 사용 혹은 애매한 사용을 피해야 한다. 셋째, 현재 한국의 교과서는 측정모델의 사용 방법의 개선이 필요하다. 그것을 보다 명시적으로 정의할 필요가 있으며, 분수 곱셈과 나눗셈의 알고리즘 설명에서 보다 적극적으로 활용해야 한다.

학교기하의 다양한 정의 방법과 그 교수학적 의의

강흥규,조영미 대한수학교육학회 2002 수학교육학연구 Vol.12 No.1

서론에서 밝힌 대로 이 절은, 학교수학을 고려하기 이전에 우리가 정의에 대해 가지고 있음직한 관념들을 두 가닥으로 풀어보는 것이었다. 이제 이 가닥들을 학교수학에서의 정의와 연결시켜 보자. 먼저, 방금 언급한 논리학적인 측면과 관련하여, 논리적 정의에서 요구하는 그러한 규칙들을 학교수학의 정의가 따라야 할까? 학교수학에서 논쟁을 잘 하는 방법을 가르치고자 한다면, 이 규칙을 준수할 필요가 있다. 그런데, '논쟁을 잘 하는 법'을 가르치는 데 목적이 있지 않다고 단정지을 수는 없지만, 학교수학에는 그것 이외의 다른 중요한 측면이 있다. 단적으로 말해, 학습자의 인지상태를 고려한 개념 형성이다. 특히 학교수학에서는 어느 수준에 이르기 전까지는 순전히 단어를 알려주는 것에 초점을 두고 있다. 이 과정에서 쓰이는 정의들은 위의 규칙들을 따르지 않고 있다. 따라서, '논쟁을 잘 하는 법'을 위해 내려진 정의의 규칙이, 학교수학에서 저학년을 대상으로 사용되는 정의에 일방적으로 적용될 수는 없다. 즉, 논리학에서의 정의규칙이 항상 학교수학에 적용되는 것은 아니다.마찬가지로, 앞서 언급한 상식적 측면에서의 정의 관념 역시 항상 학교수학에 적용되지는 않는다. 다시 말해, 학교수학에서의 정의가 어떤 용어의 뜻을 늘 명백히 밝혀 규정하고 있지는 않다는 것이다. 필요에 따라서는 애매하게 기술하기도 한다. 그 '필요'를 기술하고 있는 말을 여기에 인용해 본다.

분수 개념과 알고리듬 지도 양상 비교: McLellan, MiC, 한국의 교재를 중심으로

강흥규 대한수학교육학회 2005 수학교육학연구 Vol.15 No.4

In this article, I identified many points of commonness and differences appeared in the fraction units of three conspicuous textbooks―McLellan, MiC and Korea. After that, I evaluated these results with reference to more general didactics on which each textbook is based. A background theory of Mc-Lellan's textbook was Dewey's experientialism, and that of MiC was Freudenthal's realistic mathematics education. Through this study, I have reached the fact that these three textbooks could not exhibit the phenomenological wholeness of fraction. Driven by measuring number model which is very abstractive, McLellan's textbook is disregarding the lower level context. MiC textbook, driven by real context, is ignoring higher level model which is close to rational number concept. From an excess of formulation and practice of algorithm, Korea's textbook is overlooking the real context. It is necessary that a textbook which would display the phenomenological wholeness of fraction is developed. 이 논문에서는 세 종류의 초등 수학 교재―McLellan, MiC, 한국의 교재―의 분수 영역을 비교하여 여러 공통점과 차이점을 변별한 다음, 그들을 각 교재가 기초하고 있는 보다 일반적인 교수학에 비추어 평가하였다. McLellan의 교재(1902)는 Dewey의 경험주의 수학교육론을, MiC 교재(1997)는 Freudenthal의 현실주의 수학교육론을 기초로 삼고 있다. 연구를 통하여 도달한 결론은 세 교재 모두 분수의 현상학적 전모를 반영하지 못하고 있다는 사실이다. McLellan의 교재는 추상성이 높은 측정수 모델만을 배타적으로 채용한 결과 낮은 수준의 맥락을 도외시하게 되었고, MiC 교재는 낮은 수준의 현실맥락을 지나치게 중시한 결과 유리수에 근접한 높은 수준의 모델과 그 속에서의 형식화를 도외시하게 되었으며, 한국의 교재는 알고리듬의 형식화와 적용 연습에 치우친 나머지 개념과 그것이 구현된 현실맥락을 소홀히 하고 있다. 이 논문의 세 교재에 대한 시각은 어느 하나가 다른 하나보다 우월하다거나 열등하다는 이분법이 아니라 통합적이고 상보적인 관점이었다. 차후에 개발되는 교재는 위의 세 교재의 장점을 모두 취하여 분수라는 단일체의 현상학적 전모를 드러낼 수 있어야 한다고 판단된다.

초등수학에서 자연수와 분수 곱셈의 넓이모델에 관한 고찰

강흥규 한국초등수학교육학회 2021 한국초등수학교육학회지 Vol.25 No.3

한국의 초등수학 교과서는 자연수의 곱셈, 두 자리 수의 곱셈, 진분수의 곱셈, 대분 수의 곱셈을 지도하는 지점에서 넓이모델을 채택하고 있다. 넓이는 수와는 구별되 는 다른 수학 영역이기 때문에, 수의 연산과 관련하여 넓이모델을 사용하는 일은 넓이 개념의 학습계열과 보조를 맞추어야만 한다. 이 논문에서 우리는, 이러한 여 러 요소에 대한 통합적 관점에서, 한국의 교과서에서의 넓이모델의 여러 사용 양상 을 비판적으로 검토하였다. 첫째, 넓이모델은 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 연속 적으로 이어주는 효과적인 통합적 모델이다. 둘째, 한국의 교과서는 넓이모델을 곱 셈의 표준알고리즘을 증명하는 기반으로 사용한다. 그러나 지나치게 급격한 형식화 과정을 통하여 표준알고리즘에 도달하는 경향이 있다. 셋째, 한국의 교과서는 넓이 모델을 일관적으로 사용하지 못하고 있다. 진분수 곱셈의 설명에서 변형된 넓이 모 델이 사용되고 있다. 측정단위가 제거되었고, 작용소 개념이 추가되었다. 넷째, 일 반화된 넓이모델의 사용이 요청된다. 넓이모델은 ‘넓이’라는 속성으로부터 벗어 나서 여타의 측정량을 나타내는 것으로 일반화될 수 있다. 프로이덴탈(Freudenthal) 은 초등수학교육에서 이 일반화의 가치를 강조하였다. Elementary mathematics textbooks in Korea adopt the area model for teaching multiplication of natural numbers, multiplication of two-digit numbers, multiplication of proper fractions, and multiplication of mixed numbers. Since area concept is another mathematical domain distinct from number concept, the use of area models in relation to numerical operations must keep pace with the learning sequence of area concept. In this paper, we critically reviewed various aspects of the use of the area model in Korean textbooks from an integrated perspective of these various factors. First, the area model is an effective integrated model that continuously connects multiplication of natural numbers and multiplication of fractions. Second, Korean textbooks use the area model as a basis for proving the standard algorithm of multiplication. However, there is a tendency to arrive at a standard algorithm through an excessively abrupt formalization process. Third, Korean textbooks do not consistently use the area model. A modified area model is used in the description of multiplication of proper fractions. The unit of measure has been removed and the concept of an operator has been added. Fourth, the use of a generalized area model is requested. The area model, beyond the ‘area magnitude’, can be generalized to represent other magnitudes. Freudenthal emphasized the value of this generalization in elementary mathematics education.

초등수학에서 분수 나눗셈의 포함제와 등분제의 정의에 관한 교육적 고찰

강흥규 한국초등수학교육학회 2014 한국초등수학교육학회지 Vol.18 No.2

최근의 우리나라 교육과정 문서 안에는 분수의 포함제와 등분제에 관한 논의가 증가하고 있다. 포함제와 등분제 두 가지 모두 성립이 불가능하다는 주장에서부터 두 가지 모두 성립이 가능하다는 주장까지 다양한 의견이 제시되고 있다. 이 논문에서는 분수 나눗셈에서 포함제와 등분제 정의의 성립 가능성에 대해서 탐색하였다. 그 결과, 분수 나눗셈에서의 포함제와 등분제는 자연수의 그것을 적절히 확장시킴으로써 타당하게 정의될 수 있음이 드러났다. 나아가 이렇게 정의된 분수의 포함제와 등분제는, 문장제로부터 나눗셈식을 만들어내는 활동, 분수 나눗셈의 알고리즘을 증명하는 활동에서 효과적으로 활용될 수 있다.

굴절의 법칙의 수학적 증명과 그 교수학적 의의

강흥규,Kang, Heung-Kyu 한국수학사학회 2006 Journal for history of mathematics Vol.19 No.1

물리학에서 Snell의 법칙으로 불리는 굴절의 법칙은 수학사적으로 매우 중요한 의미를 가진다. Snell이 많은 관찰 자료를 바탕으로 굴절의 법칙 $\frac{v_1}{sin{\theta}_1}=\frac{v_2}{sin{\theta}_2$를 발견한 이후 많은 수학자들은 '최소 시간의 원리'를 사용하여 이 식을 수학적으로 증명하려 시도하였으며 이러한 노력은 미분의 발명을 촉진한 주요한 동력 중의 하나였다. format는 자신만의 방법을 개발하여 이 문제를 최초로 해결하였으며, 이때 Format가 사용한 극대$cdot$극소 방법은 현대의 미분을 통한 방법과 유사한 것으로 이후 Leibniz의 무한소 방법의 기원이 되었다. 역사적으로 수학과 물리학은 밀접하게 상호작용하면서 과학의 발전을 이끌었다. 굴절의 법칙은 이러한 수학과 물리학의 관계를 잘 보여준다. 물리학은 수학에 질문을 제기하고 수학은 보편적인 원리로 그것을 해결함으로써 처음의 현상보다 더 넓은 현상까지 포괄적으로 설명한다. 수학교육의 목적은 완성된 수학을 배우는 것뿐만 아니라 수학을 응용할 줄 아는 능력이라는 Freudenthal의 말을 생각할 때, 굴절의 법칙은 고등학교의 우수한 학생이나 대학의 수학 교육과정에 적합한 소재이다. 대학의 수학이나 물리학 전공과정에서는, 미분을 통한 현대적인 방법뿐만 아니라 format의 방법(미분을 명시적으로 사용하지는 않았지만 원시적인 미분의 방법을 쓰고 있는)을 동시에 다루면서 양자를 비교하는 기회를 가지는 것은 교육적으로 가치 있는 일이라 생각된다. The law of refraction, which is called Snell's law in physics, has a significant meaning in mathematics history. After Snell empirically discovered the refraction law $\frac{v_1}{sin{\theta}_1}=\frac{v_2}{sin{\theta}_2$ through countless observations, many mathematicians endeavored to deduce it from the least time principle, and the need to surmount these difficulties was one of the driving forces behind the early development of calculus by Leibniz. Fermat solved it far advance of others by inventing a method that eventually led to the differential calculus. Historically, mathematics has developed in close connection with physics. Physics needs mathematics as an auxiliary discipline, but physics can also belong to the lived-through reality from which mathematics is provided with subject matters and suggestions. The refraction law is a suggestive example of interrelations between mathematical and physical theories. Freudenthal said that a purpose of mathematics education is to learn how to apply mathematics as well as to learn ready-made mathematics. I think that the refraction law could be a relevant content for this purpose. It is pedagogically sound to start in high school with a quasi-empirical approach to refraction. In college, mathematics and physics majors can study diverse mathematical proof including Fermat's original method in the context of discussing the phenomenon of refraction of light. This would be a ideal environment for such pursuit.

양의 측정을 통한 자연수와 분수 지도의 교수학적 의의

강흥규,고정화 대한수학교육학회 2003 학교수학 Vol.5 No.3

Dewey에게 있어서 수학적 지식의 구성의 의미

강흥규 대한수학교육학회 2004 수학교육학연구 Vol.14 No.1

These days, constructivism has become a central theory in mathematics education. A essential concept in constructivism is 'construction' and the meaning of construction of mathematical knowledge is a core issue in mathematics educational field. In the basis of Dewey's epistemology, this article is trying to explicate the meaning of construction of mathematical knowledge. Dewey, Kant and Piaget coincide in construction of knowledge from the viewpoint of the interaction between mind and environment. However, unlike Dewey's concept, Kant and Piaget are still in the line of traditional realistic epistemology. Dewey's concept of cons- truction logically implies teaching-learn learning principles. This can be named as a principle of genetic construction and a principle of progressive consciousness. 구성주의는 오늘날 수학교육학 분야의 중심적인 이론으로서 많은 연구자들의 관심의 대상이 되고 있다. 구성주의 수학교육론에서 가장 핵심적인 개념은 ‘구성’이며, 수학적 지식의 구성의 의미와 메커니즘의 이해는 수학교육학 연구 영역의 핵심적인 문제이다. 이 글에서는 Dewey의 지식론을 기초로 하여 ‘수학적 지식의 구성’의 의미를 보다 명확하게 드러내 보고자 하였다. 이를 위하여 Kant와 Piaget에게 있어서의 지식의 구성의 의미를 고찰하고 그것을 Dewey의 견해와 비교할 것이다. 마음과 세계 사이의 상호작용을 통하여 지식이 구성된다고 보았다는 점에서 Dewey는 Kant, Piaget와 일치하지만 차이점 또한 존재한다. 다음으로 이와 같은 고찰을 수개념에 비추어 보다 구체적으로 살펴볼 것이다. 마지막으로 Dewey의 구성의 개념이 지식의 본질에 관한 Dewey의 철학적 견해와 밀접히 관련되어 있음을 확인하고 이에 근거하여 구성주의적 지식론의 자연스러운 논리적 귀결인 구성주의적 수학 교수․학습 원리를 제시할 것이다. 그것은 첫째 발생적 구성의 원리이고 둘째 점진적인 의식화의 원리로 요약될 수 있다.