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L² GENEALIZED TRANSVERSAL JACOBI FIELDS ON COMPLETE FOLIATED MANIFOLDS
PAK, HONG KYUNG 慶山大學校 基礎科學硏究所 1997 基礎科學 Vol.1 No.2
리만 엽층구조가 주어진 횡단적 리만 기하학의 연구는 점 엽층구조를 가지는 경우에는 리만 다양체 상의 기하학이 된다는 관점에서 폭넓은 관심의 대상이 되어 오고 있다. 횡단적 무한소 동형사상에 관한 연구는 횡단적 리만 기하학의 중요한 연구분야의 하나이다. 리만 엽층구조의 λ-자기동형사상에 관한 연구는 횡단적 무한소 동형사상의 연구에 있어서 중요한 역할을 담당한다. 최근 폐 리만 다양체 상에 리만 엽층구조가 주어진 경우에 일반화된 횡단적 야코비장에 대해서 λ-자기동형사상의 입장에서 논의되어졌다 ([8]). 리만 엽층구조가 조화적일 때 이 개념은 Kamber, Tondeur, Toth등에 의해 연구되어진 횡단적 야코비장의 개념과 일치한다. 후자는 조화적 리만 엽층구조의 특수한 변분의 입장에서 고려된 것이다. 본 논문에서는 주어진 공간의 완비 다양체인 상황에서 다루고자 한다. 이러한 상황에서는 L²일반화된 횡단적 야코비장을 고려하는 것이 자연스러운 발상이다. 우리의 결과는 조화적 리만 엽층구조의 경우에 얻어진 [4]의 결과와 폐 리만 다양체의 경우에 얻어진 [8]의 결과를 모두 확장한다. The study of λ-automorphisms of Riemannian foliations palys an important role on that of transversal infinitesimal automorphisms. Recently, generalized transversal Jacobi fields of Riemannian foliations on closed Riemanian manifolds were discussed in [8] from the stand point of view of λ-automorphisms. In the harmonic case this notion coincides with transversal Jacobi fields discussed by Kamber, Tondeur, Toth and others ([2], [3], [10]). In the present paper we study generalized transversal Jacobi fields for the case where the ambient space is complete. Our main results extend those in [4], [8].
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ON CHARACTERIZATIONS OF TRANSVERSAL KILLING FIELDS OF RIEMANNIAN FOLIATIONS
PAK, HONG KYUNG 慶山大學校 基礎科學硏究所 1999 基礎科學 Vol.3 No.-
리만 엽층구조의 λ-자기동형사상에 관한 연구는 횡단적 무한소 동형사상의 연구에 있어서 중요한 부분을 차지한다. 리만 엽층구조의 횡단적 킬링장을 λ-자기동형사상의 입장에서 중심적인 역할을 한다. 우리의 기본적인 관심사는 리만 엽층구조의 횡단적 킬링장의 특징을 짓는 문제이다. 횡단적 킬링장은 λ-자기동형사상으로서 그 횡단적 발상은 0이다. 이것의 부분적인 역으로서, 횡단적 발산이 일정한 λ-자기동형사상이 언제 횡단적 킬링장이 되는가 라는 문제에 대해서는 몇가지 결과들이 얻어졌다. 이 결과는 λ에 관한 정보를 포함하고 있지 않다. 우리의 초점은 특히 λ에 관한 조건으로 횡단적 킬링장을 특징짓는 문제를 고려해 보는 것이다. 이 문제와 관련하여 최근 몇가지 성과가 있었다 ([4][5]). 본 논문에서는 이러한 성과와는 달리 이 문제에 대해서 (s,t)가 일정하다는 조건하에서 연구를 하고자 한다. 뿐만 아니라, 새롭게 설정한 조건에 대한 기하학적 의미를 고려해 본다. 그 조건은 최근에 [4]에서 논의한 횡단적 조화적 장이라는 개념과 관련한다. Transversal Killing fields of Riemammian foliations play a central role on λ- automorphisms. Out basic concern is to treat with the characterization problem of transversal Killing fields of Riemammian foliations. Especially from the point of view of λ-auto-morphisms, we focus on the characterization problem of transversal Killing fields in terms of conditions on λ. Recently, there have been obtained serveral results oto this problem in [4],[5]. In the present paper, we investigate our problem under the condition that (s,t) is constant. Also is discussed the meaning related to this condition.
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NORMAL HOLONOMY GROUP OF A RIEMANNIAN FOLIATIO $N^*$
Pak, Hong-Kyung,Pak, Jin-Suk Korean Mathematical Society 1993 대한수학회보 Vol.30 No.1
In this paper, we will discuss on the above problem for the case that .upsilon. is a Riemannian foliation. If .upsilon. is a Riemannian foliation on (M, g), we derive some basic relations between the curvature $R^{D}$ of the normal connection D and the curvature R of the Levi-Civita connection .del. on (M, g) (see Lemma 1).).
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A NOTE ON L² TRANSVERSAL KILLING FIELDS OF COMPLETE FOLIATED RIEMANNIAN MANIFOLDS
PAK, HONG KYUNG 慶山大學校 基礎科學硏究所 1999 基礎科學 Vol.3 No.1
리만 엽층구조가 주어된 횡단적 리만 기하학의 연구는 점 엽층구조를 가지는 경우에는 리만 다양체 상의 기하학이 된다는 관점에서 리만 기하학의 확자응로서 광범위하게 연구가 이루어지고 있다. 횡단적 무한소 동형사상에 관한 연구는 횡단적 리만 기하학의 기본적인 연구분야의 하나이다. 리만 엽층구조의 λ-자기동형사상에 관한 연구는 횡단적 무한소 동형사상의 연구에 있어서 중요한 부분을 차지한다. 최근 λ-자기동형사상의 입장에서 리만 엽층구조의 횡단적 킬링장에 대해 특징을 짓는 문제가 많이 논의되어졌다.(폐 리만 다양체의 경우는 [5], [8], 완비 다양체의 경우는 [6], [7]). 그 결과들은 엽층구조가 조화적인 경우에 얻어졌던 사실들을 일반화한다 (폐 리만 다양체의 경우는 [2], [3], [10], [11], 완비 다양체의 경우는 [1], [4]). 횡단적 킬링장은 λ-자기동형사상으로서 그 횡단적 발산은 0이다. 이것은 부분적인 역으로서, 횡단적 발산이 일정한 λ-자기동형사상이 언제 횡단적 킬링장이 되는가에 대한 몇가지 결과들이 얻어졌다. ([5], [6], [7], [8]). 하지만 이 결과에는 불행하게도 λ에 관한 정보가 포함되어 있지 않다. 이러한 의미에서, λ에 관한 조건으로 횡단적 킬링장을 특징짓는 문제를 고려해보는 것은 당연할 것이다. 이 문제와 관련하여 최근 폐 리만 다양체의 경우에는 연구가 행해졌다 ([9]). 본 논문의 주된 대상은 리만 엽층구조를 가지는 완비 다양체 상의 L² 횡단적 킬링장이다. 따라서 얻어진 결과들은 [9]에서 얻어진 사실들을 확장한다. Recently, the characterization problem of transversal Killing fields of Riemannian foliations was discussed from the point of view of λ-automorphisms ([5], [8] for the closed case and [6], [7] for the complete case). These results generalize facts established in the special case where the foliation is harmonic ([2], [3], [10], [11] for the closed case and [1] [4] for the complete case). Each transversal Killing field is a λautomorphism with free transversal divergence. As a partial converse, there were obtained some results on conditions when a λ-automorphism whose transversal divergence is constant is to be transversal Killing ([5], [6], [7], [8]). Unfortunately, these results contain no information on λ. In this sense, it is natural to consider characterization of transversal Killing fields in terms of conditions on λ. The main object of this paper is L² transversal Killing fields on complete foliated Riemannian manifolds. Our reseults extend those established in [9] for the closed case.
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A NOTE ON GENERALIZED LICHNEROWICZ-OBATA THEOREMS FOR RIEMANNIAN FOLIATIONS
Pak, Hong-Kyung,Park, Jeong-Hyeong Korean Mathematical Society 2011 대한수학회보 Vol.48 No.4
It was obtained in [5] generalized Lichnerowicz and Obata theorems for Riemannian foliations, which reduce to the results on Riemannian manifolds for the point foliations. Recently in [3], they studied a generalized Obata theorem for Riemannian foliations admitting transversal conformal fields. Each transversal conformal field is a ${\lambda}$-automorphism with ${\lambda}=1-{\frac{2}{q}}$ in the sense of [8]. In the present paper, we extend certain results established in [3] and study Riemannian foliations admitting ${\lambda}$-automorphisms with ${\lambda}{\geq}1-{\frac{2}{q}}$.
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