이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에서 오류와 원인 분석 = (An) Analysis on the errors and their causes in addition and subtraction of fraction with different denominator

국문 초록 (Abstract)

유리수의 한 표현인 분수는 초등학교 어린이들이 직면하는 가장 복잡하고 중요한 수학적 개념의 하나로 그 중요성은 다음의 세 가지 배경에서 찾을 수 있다. 분수의 개념을 효과적으로 취급하기 위한 능력은 아동들이 실세계에서의 상황과 문제를 이해하고 처리하기 위한 능력을 크게 개선시킬 수 있다는 실제적 입장, 아동들이 지속적인 지적 개발을 위해 필요한 지적 구조를 개발하고 확장시켜서 풍부한 영역을 제공할 수 있다는 심리적 입장과 분수의 이해가 초등 대수 연산의 바탕이 될 수 있는 기초를 제공할 수 있다는 수학적 입장이 그것이다.
5학년에서 다른 이분모 분수의 연산, 특히 덧셈과 뺄셈은 유리수의 사칙연산 중에서 그 조작이 가장 복잡하여 사고가 �II叢�빠지기 쉬운 계산이다. 때문에 5학년을 중심으로 이분모 분수의 덧셈과 �E셈과정에서 아동들이 공통으로 범하는 오류를 분석하고, 오류유형별로 선수학습 유인과 오류와의 관계를 밝혀 분수지도에 대한 올바른 시사점을 모색하는 데 그 목적이 있다. 분수 계산에서 분수 문제 해결의 원인이 되는 개념과 요소를 분석하여 아동들의 지도에 활용함으로써 분수 계산을 활성화시키는데 본 연구의 의미가 있다.
이를 위하여 오류의 원인을 분수개념 형성과정에 두고 분수개념 구조도와 교육과정에 근거를 두고 만든 검사지를 분석하여 오류의 원인가 각각의 오류가 나타나는 원인을 이분모 분수의 덧셈과 �E셈연산을 위한 선수학습 요소와 관련지어 보았다. 또한, 이분모 분수의 덧셈과 �E셈 과정에서 나타나는 오류를 분석하고 이러한 오류가 나타나는 원인을 선수학습 요소의 결손으로 가정하고 오류유형과 선수 학습 요소의 관련성을 찾아보았으며, 분수 학습 위계도를 구성하여 오류와 선수학습 요소와의 관계를 찾아보았다.
오류유형은 여러 가지 선행연구를 근거로 분석한 후 분류하였는데 통분을 바르게 하지 못하는 오류, 통분하지 않고 분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 더하는(빼는) 오류, 분모란 공통분모로 하는 분자는 그대로 더하는(빼는) 오류, 덧셈(뺄셈)을 곱셈으로 생각하고 약분하여 계산하는 경우, 받아올림(받아내림)을 하지 못하는 오류, 결과를 기약분수나 대분수로 나타내지 못하는 오류가 그것이다. 본 연구를 통해 연구자는 다음과 같은 결론을 얻었다.
가. 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에서 오류를 보이는 아동들은 선수학습 단계에서 원인을 찾을 수 있다. 그러므로 이런 아동들을 지도할 때 위계도에 근거해 원인을 진단하고 지도할 수 있다.
나. 통분을 제대로 하지 못하거나 분모끼리 분자끼리 더하거나 빼서 계산하는 것이 오류 유형의 대부분이었다. 또한 통분의 필요성을 인지하더라도 통분의 의미를 제대로 알지 못하는 아이들이 많았다. 따라서 통분의 필요성 및 개념을 확실히 지도하는 것이 선행되어야 한다.
다. 뺄셈보다 덧셈에서 나타나는 경향이 많은데 약분을 한 후 덧셈을 하는 아이들이 있었다. 분수 수업에서 연산의 의미를 충분히 알도록 지도할 필요가 있다.
라. 계산 결과를 약분하여 기약분수로 나타내거나 가분수 형태를 대분수로 나타내지 않는 아이들이 있었는데, 결과를 제대로 나타내는 것도 강조되어 지도되어야 되겠다.
마. 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈은 통분하기, 받아내림이나 받아올림이 있는 동분모 분수의 덧셈과 뺄셈, 이산량의 분수-이 세 가지에 대한 이해를 바탕으로 지도되어야 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The fraction that is alternative expression of rational number is one of the most complicated and important concept in elementary mathematics. Its importance can be described by three backgrounds as following:practical ground that the ability to deal with the concepts of fractions effectively can substantially improve the ability of children to understand and deal with the situations and problems in a real life, psychological ground to provide resourceful areas as developing and expanding intellectual structure required for continuous intellectual development of children, and mathematical ground that understanding fraction can provide the base for primary algebra operation.
The operations of fractions with difference denominator in the grade 5, especially their addition and subtraction, are the most complicated subject and they can confuse the students. Therefore, this study aims to provide the appropriate suggestions for the instruction on fraction by analyzing the common errors of students in the addition and subtraction as focusing on the students in the grade 5 and clarifying the relationship between the preveious learning factors and errors.
This study will consider the procedure to form the concept of fraction as the reasons of errors and relate the reasons for each error to the previous learning factors for the addition and subtraction operation of fraction with difference denominators by analyzing students' reactions on the test papers constructed on the basis of the concept structure of fraction and curriculum. This study analyzed the errors shown in the addition and subtraction procedures of fractions with difference denominators, assumed that the reasons of these errors were lack of previous learning factors according to a hierarchical structure, and identified the relationship between the types of errors and the previous learning factors.
The types of errors were analyzed on the basis of diverse previous studies and classified as follows:errors that the reducation to common denominators was not properly made, errors adding(subtracting) by denominator and numerator without reduction to common denominator, errors adding(subtracting) numerators without change after reduction to common denominator, errors misunderstanding addition(subtraction) as multiplication, errors by no round-off(carry) and errors that did not make the calculated fractions to simple fractions or mixed fractions. This study was concluded as follows.
A. The errors of students in the addition and subtraction of fractions with different denominators were caused from the previous learning. Therefore, it is necessary to diagnose the reasons and instruct on the basis of the hierarchical structure when teaching those students.
B. Most children added or subtracted by denominator or by numerator without reduction to common denominator. In addition, there were many children who did not properly understand the reduction to common denominator even though they understood the necessity of the reduction to common denominator. So it is necessary to ensure the necessity and concept of reduction of a fraction and reduction to common denominator and then to teach the addition and subtraction of fractions with different denominators.
C. It was apt to make errors more in subtraction than in addition. Some children did the reduction of a fraction and then added. It is required to teach to make students fully understand the operation in the classes for fractions.
D. Some children did not express the calculation results in the simple reductions nor improper fractions in the mixed fractions. It is required to teach as emphasizing the proper expression of the results.
E. The reduction to common denominator in the addition and subtraction of fractions with difference denominators, addition and subtraction of fractions with same denominators requiring carry or round-off, fractions with discrete values-it shall be taught on the basis of understanding these there factors.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• 국문초록 = i
• I. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구문제 = 5
• 3. 기대효과 = 6
• 4. 제한점 = 7
• II. 이론적 배경 = 8
• 1. 오류 = 8
• 2. 분수 = 12
• 3. 분수 교수ㆍ학습에 대한 선행 연구 분석 = 23
• III. 연구의 실제 = 28
• 1. 연구 대상 = 28
• 2. 연구 방법 = 28
• 3. 분수 관련 교육과정 분석 = 29
• 4. 검사문항 = 36
• 5. 오류유형 분석 = 40
• IV. 연구의 결과 = 42
• 1. 분수 연산 능력 검사 결과 = 42
• 2. 진단 검사 결과 = 49
• 3. 연산 오류와 진단 검사 결과와의 관계 = 51
• V. 요약 및 결론 = 57
• 1. 요약 = 57
• 2. 결론 = 59
• 참고문헌 = 61
• Abstract = 63
• 부록 = 66