직관주의에서의 무한과 배중률 문제에 관하여

국문 초록 (Abstract)

수학적 지식과 수학적 진리란 어떤 것인가에 대한 철학적 탐구는 오랜 기간 수학철학에 있어서 중요한 화두였다. 여기에는 논리주의, 형식주의, 직관주의 세 가지 주된 관점이 있지만, 그중 직관주의는 칸트의 선험적 종합판단 설명에 의해 기반이 닦여졌고, 현대의 브라우어에 의해 신 직관주의로 발전하면서 유한주의와 배중률 관련하여 큰 논란을 불러일으켰다. 본고에서는 먼저 이들 직관주의가 수학 이론의 출발점인 공리계 구축과 그 이론 전개에 있어서 인식론적으로 이들을 어떻게 파악했는지에 대한 분석과 함께 이와 관련한 비판들을 제기한다.
나는 본 논문에서 먼저 순수수학과 응용수학을 구분하면서 이 양자에 대한 다른 설명이 필요하다는 점을 밝히고자 했다. 수학의 진리적 토대는 직관주의에 뿌리를 두고 있고 특히 응용수학의 경우에는 경험과의 연관성이 더욱 높아지지만, 형식주의와 연역적 구조주의는 현대의 순수추상수학의 방법론적 본질임을 부인할 수 없기 때문이다. 즉, 순수수학은 선험적이고 분석적인 지식이며, 논리적 방법론에 기반한 구조적 형식주의 관점으로 보아야 마땅하다는 것이다. 한편, 응용수학은 선험적 종합지식에 가깝긴 하지만, 그 결과물들에 대해 현실에서의 실증적 확인이 요구된다는 측면을 감안할 때, 경험적 지식으로 분류해도 무방하다는 주장도 가능해진다.
또한 본고에서는 수학의 무한집합에 관한 논리주의자나 형식주의자들의 철학적 관점들을 살펴보고, 신 직관주의의 아버지격인 브라우어가 이들의 무한 개념을 거부하면서 수학의 유한주의를 주장하는 논법들을 자세히 분석해볼 것이다. 그리고 최종적으로는 그가 이를 통해 제기한 배중률 위반의 문제를 분석하면서 이에 대한 나의 비판과 더불어, 이 문제와 관련이 깊은 덤밋과 프라위츠의 상반된 직관주의적 진리개념에 대한 상호 비교 분석도 제시할 것이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Philosophical exploration of what mathematical knowledge and mathematical truth is has long been an important topic in the philosophy of mathematics. There are three main points of view: logicism, formalism, and intuitionism. Intuitionism is grounded by Kant's theory of synthetic a priori judgment, and in modern times, as Brouwer developed into neo-intuition, it has caused lots of controversy on the finitism and the law of excluded middle. This paper first raises criticisms related to this intuitionism, along with an analysis of how the intuitionism played a role in the construction of the mathematic axioms and how it is identified epistemologically in the development of the theory.
In this paper, I distinguished between pure mathematics and applied mathematics. The foundation of pure mathematics is normally rooted in intuition, and the applied mathematics is more related to experience. But formalism and deductive structuralism cannot be denied because they are actual methodology of modern pure abstract mathematics. In other words, pure mathematics based on logical methodology is a priori and analytical knowledge, considering it from the viewpoint of structural formalism. On the other hand, although applied mathematics seems to be close to synthetic a priori knowledge, it can possibly be classified as empirical knowledge considering the fact that empirical confirmation is required for the results.
This paper also examines the philosophical views of logicists and formalists on the infinite set, and then I’ll analyze in detail the arguments on the Brouwer’s finitism. Finally, I will analyze the problem of the law of excluded middle raised by him, and in addition to my criticism of his argument, I will present a comparative analysis of Dummett's and Prawitz's opposing intuitionistic truth conceptions that are closely related to this issue.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• Ⅱ. 직관주의의 철학사적 배경 8
• A. 아리스토텔레스의 본질직관론 8
• B. 데카르트의 수학적 방법론 16
• Ⅲ. 칸트의 직관주의에 대한 분석과 비판 21
• A. 흄의 선험적 지식과 경험적 지식 구분 21
• B. 칸트의 직관주의 28
• (1) 칸트의 시공간 직관에 관한 인식론적 분석 28
• (2) 칸트의 분석적 판단과 종합적 판단 구분 34
• (3) 순수수학과 응용수학의 구분 관점에서의 분석 42
• Ⅳ. 브라우어의 신 직관주의 논점들에 대한 비판 51
• A. 브라우어의 신 직관주의 51
• (1) 신 직관주의의 주요 주장들 51
• (2) 브라우어의 시간 직관론 분석 56
• B. 무한과 배중률 문제에 관한 직관주의 논점들 63
• (1) 무한 개념에 대한 관점들 63
• (2) 브라우어의 유한주의와 배중률 문제 70
• (3) 덤밋과 프라위츠의 직관주의적 진리개념 비교 76
• Ⅴ. 결론 86
• 참고문헌 91
• Abstract 98