조건부족 개방형 문제 해결과정에서 나타나는 수학 영재의 수학적 사고특성 분석

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study was to analyze the characteristics of mathematically gifted and talented students when solving open-ended problems in deficient conditions. The subjects were fifth grade mathematically gifted students, the open-ended problems were derived from and does not exceed from the 5th grade curriculum. The students were provided with open-ended problems whereby, when students realized that there were deficiencies in the problem solving, other conditions were added.

The research problems are as follows:
A. What type of resolution strategies are evident when mathematically gifted students are solving open-ended problems under deficient conditions?
B. How does a student’s cognitive thinking change during the process of discussion?

For the study, the sample was 40 elementary school mathematically-gifted students and they were provided with 4 open-ended questions.
The study was conducted twice. For the 1st experiment, 20 minutes were given to the subjects. The subjects investigated the solving strategies. For the second experiment, the teacher explained the open-ended problems under deficient conditions and gave the students 60 minutes to solve the question. The mathematically gifted and talented students explored into what possible alternatives and conditions they could add, and analyzed the process of their problem solving.
After the 1st and 2nd experiment, 9 subjects who showed significant results were interviewed and analyzed for cognitive change.

The results were as follows:

First, within open-ended problem solving, problem strategies can largely be divided into 4 types.
Second, mathematically gifted and talented students can differentiate between open-ended problems under deficient conditions and problems under non-deficient conditions.
Third, mathematically gifted and talented students understand formal structures of open-ended problems under deficient conditions, have the cognitive ability to simplify mathematical reasoning.
Fourth, mathematically gifted and talented students believe that adding conditions of interrelation to their problem solving is more meaningful than using fragmentary conditions through discussion. Mathematically gifted and talented students also believe that they can change their cognitive understanding through the results of their discussion.

국문 초록 (Abstract)

제 7차 교육과정 개정의 방향을 인성교육과 창의성 교육에 초점을 맞춘 이래로 수학적 능력의 신장은 꾸준히 논의되고 있는 주제 중 하나이다. 교육과학기술부는 2009년 개정 교육과정에 따른 교과 교육과정에서 복잡하고 전문화되어가는 미래 사회에서 사회 구성원에게 필요한 수학과의 핵심 역량을 창의적 사고 능력, 문제 해결 능력, 정보 처리 능력, 의사소통 능력 등으로 보고 있으며 수학적 과정을 통해 길러진 핵심 역량은 타 교과의 성공적인 학습에 기반이 될 뿐 아니라 나아가 개인의 전문적 능력의 증진과 창의․인성 중심의 21세기 지식 기반 사회의 민주 시민에게 필요한 소양과 경쟁력을 갖추는 데에도 토대가 된다고 하였다. 이러한 수학적 능력의 신장을 위한 한 가지 방안으로서 제시된 것이 바로 개방형 문제이다.
이에 본 연구에서는 개방형 문제 중 조건부족 개방형 문제 해결과정에서 나타나는 초등 수학 영재의 수학적 사고특성을 분석하고자 한다. 이를 위해 연구 대상을 초등학교 5학년 수학 영재들로 선정하였고 초등학교 5학년 교육과정의 범위에서 벗어나지 않으며 주어진 문제의 구조를 파악하여 조건이 부족하다는 것을 인지하면 다양한 조건을 추가하여 문제를 해결할 수 있는 조건부족 개방형 문제를 과제로 제시하였다.

본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
첫째, 초등 수학 영재들의 조건부족 개방형 문제 해결 과정에서 해결전략 유형은 어떻게 나타나는가?

둘째, 초등 수학 영재들은 조건부족 개방형 문제 해결과정에서 토의를 통해 어떤 사고 변화의 양상을 보이는가?

연구를 위해 인천광역시 S 초등학교 단위학교 영재학급, 인천광역시 H 초등학교 단위학교 영재학급, 경기도 P시의 J초등학교 지역공동 영재학급에서 영재교육을 받고 있는 수학 영재 40명에게 조건이 부족한 개방형 문제 4 문제를 제시하였다.

본 연구의 평가지 투입은 2차에 걸쳐 실시하였다. 1차 평가지 투입은 특별한 설명 없이 20분의 해결 시간을 주고 초등 수학 영재의 조건부족 개방형 문제 해결과정에서 나타나는 해결전략 유형을 살펴보았고, 2차 평가지 투입에서는 교사가 조건부족 문제에 대해서 설명을 한 후 문제를 다시 투입하여 60분의 해결 시간을 주고 초등 수학 영재들이 조건부족 개방형 문제에서 어떠한 다양한 조건을 추가할 수 있는지를 살펴보고 그 해결과정을 분석하였다. 1, 2차 평가지 분석 후, 유의미한 결과를 보여준 9명의 초등 수학 영재 학생을 선정하여 토의 및 면담을 실시한 후 사고 변화의 양상을 분석하였다.

초등학교 5학년 수학 영재들을 대상으로 조건부족 개방형 문제를 제시하고 해결과정에서 나타난 수학적 사고특성을 분석한 결과로 얻은 결론은 다음과 같다.

첫째, 초등 수학 영재의 조건부족 개방형 문제 해결과정에서 나타나는 해결전략 유형은 크게 네 가지로 구분할 수 있다. 주어진 조건을 연관 없는 자료로만 지각하면서 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하지 못하기 때문에 누락된 조건이 있다는 것을 알지 못하고 해결하는 관계 미인식 유형, 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하여 누락된 조건을 찾지만 그저 문제를 풀 수 없다고 단정하며 조건을 추가하여 문제를 해결하려는 시도를 하지 않는 조건 인식 유형, 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하여 누락된 조건을 추가하나 수학적으로 의미 있는 구조를 지각하지 못하고 단지 단편적인 조건을 추가하여 문제를 해결하는 단편적 조건 추가 유형 그리고 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하여 누락된 조건을 추가하며 수학적으로 의미 있는 구조를 지각하고 서로 관련성이 있는 조건을 추가하여 문제를 해결하는 관계적 조건 추가 유형이다.

둘째, 초등 수학 영재들은 조건부족 개방형 문제를 조건이 부족하지 않은 문제와 구분지어 생각한다. 조건이 부족한 개방형 문제를 접한 대부분의 수학 영재들은 문제에서 이상한 점이 있다는 것을 직관적으로 알았으며 문제를 해결하는 데 필요한 조건이 더 있다는 것도 인지한다. 또한 초등 수학 영재들은 조건 부족 문제에서 조건이 부족하다는 것을 인식하면 부족한 조건을 추가하여 문제를 해결하려는 성향을 보인다.

셋째, 초등 수학 영재들은 조건부족 개방형 문제의 형식적인 구조를 이해하고 있으며 수학적 추론의 간략화와 단축된 구조를 이용한 사고 능력을 가지고 있다. 초등 수학 영재들은 해를 명확하게 구하려고 하며 수학적 기호를 이용하려는 성향이 있으며 암산 과정에서 신속함과 유연성을 보인다.

넷째, 초등 수학 영재들은 토의를 통하여 조건부족 개방형 문제에서 단편적인 조건을 추가하는 것보다는 서로 관련성이 있는 조건을 추가하여 문제를 해결하는 것을 더욱 의미 있는 해결 방법이라고 생각하며 토의 결과에 따라 자신의 사고를 변화시킬 수 있다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 3
• 3. 용어의 정의 4
• 4. 연구의 제한점 5
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• 1. 개방형 문제 7
• 2. 조건 부족 문제 17
• 3. 수학적 사고 특성 21
• Ⅲ. 연구의 방법 25
• 1. 예비 실험 25
• 2. 연구 대상자 30
• 3. 본 실험 과제 32
• 4. 자료 수집 및 투입 방법 37
• 5. 해결전략 유형 분류 기준 41
• Ⅳ. 연구의 결과 45
• 1. 조건부족 개방형 문제 해결전략 유형 분류 45
• 2. 조건부족 개방형 문제 해결전략 유형 변화 분석 60
• 3. 조건부족 개방형 문제 해결과정에서 나타나는 수학적 사고 특성 분석 69
• Ⅴ. 결론 및 제언 81
• 1. 결론 81
• 2. 제언 83
• 참고문헌 84
• 부록 : 조건부족 개방형 문제해결 평가지 86
• ABSTRACT 87