초등학생의 수학적 정당화에 관한 연구 = (A) study on the mathematical justification of elementary school students

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Lately, Mathematical justification is of major interest to the academic community. It is essential for students to have mathematical justification and to assert the justification in order to communicate well in mathematic class. The result of recent researches say that the achievement of students is very low in mathematical justification. The reasons are reduced curriculum and poor teaching ways. Many researchers conclude that students can justify in their own way and on their own level. However, to simplify and summarize the procedure in the textbook still makes students and teachers fail to justify. Mathematical proof is not the fruit of the most advanced mathematics, but a process of making a constant development. For such reasons, we want to help students understand what mathematical justification is in the wide sense of interpreting mathematical proof.
First, this study established the definition of mathematical justification. Mathematical justification is a process of convicting ownself, and other people of the correct answer by using proper logic. This study examined mathematical justification from various perspectives; logic, personal, and social. Second, research on the types of mathematical justification and students skill level of mathematical justification was analyzed, and several implications were looked for. Results of the analysis were categorized into six steps of mathematical justification (Step 0: No justification, Step1 : Authority, Step 2: Empirical and inductive justification, Step 3: Deduction by generic examples, Step 4: Simple deduction, Step 5: Formal and theoretical justification). Third, students were assessed using worksheets, interviews, and field observations, based on mathematical justification, to know what the important facts are of the students' mathematical justification. Finally, a flame for this study's analysis was devised for student' mathematical justification i.e. PIRSO (Perceiving problems, operational Invariant, Representation, Steps of justifications, logical Organization).
Korean students are taught mathematical justification in the 8th grade. Recently, many researchers point out that justification should be taught from a younger age. An overwhelming amount of studies indicate that elementary school students can deduct and justify mathematically starting from lower grades in elementary school. Based on this statement, this study formed two research questions: first, where are 6th-grade students on Steps (PIRSO) of mathematical justification? Second, what are the distinctive features of mathematical justification of 6th graders?
Regarding the first research question, a survey was conducted. The result of the survey is following.
First, out of logic, personal and social perspectives, students answered that the personal aspects are most important. Second, geometry ranked higher than algebra on the Steps of students' mathematical justification. Third, the majority of students recorded obtaining high grades in school by using Simple deduction and Deduction by generic examples. On the other hand, students who have average or below average grades in school recorded using Empirical and inductive justification.
Regarding the second research question, the aforementioned worksheets, interviews, and field observations of students were qualified into PIRSO and data was analyzed based on mathematical justification's facts, students, and problems.
Results of the second research question is following.
First, Perceiving problems: when students felt that the problem of mathematical justification corresponded with their knowledge, the step of I, S, O were high. A noteworthy phenomenon was that I, S, O was higher on the difficult problems. Second, operational Invariant: there was a big gap according to the students mathematical ability. Based on mathematical ability, students justified by using either suitable properties, relations, definitions and so on. Third, Representation: 77.4% of students who participated in the research Represented their work by Language. And 7.1% of students Represented by Letter symbols (For example, ). 2.3% of students justified using Pictures. Forth, Steps of mathematical justification: no student justified using Authority even though they could not understand the problems or justify well using any other means. 51.2% of students justified using Simple deduction. 32.1% of students used Empirical and inductive justification. 16.7% of students deducted using generic examples. Fifth, Organization: 47.6% of students organized logically, and 42.9% of students had partial default logically on their mathematical justification.
This study yielded several implications.
First, student felt the necessity of justification in order to convince themselves of the correct answer. Therefore, teachers have to device adequate problems for students to justify, and offer various experience of mathematical justification. Second, 6th graders can justify on written problems well. Therefore, if teachers introduce mathematical justification with various methods before the 8th grade, they can reduce the fear that students have of mathematical justification. Third, students in the 6th grade justified not by using Authority but with Simple deduction and Deduction by generic examples. So, teachers need to improve students justification from Empirical and inductive justification to the higher level of logical deductive justification. Forth, As result of the survey and the PIRSO research qualified, the majority of students justified by using empirical and inductive ways in algebra, and by using Simple deduction and Deduction by generic examples in geometry. Namely, the Step of geometry is higher than algebra on mathematical justification. Fifth, when students made clear the operational Invariant, they justified on Step 3 and Step 4 of justification. this means that they think on a higher level of justification, and can organize logically. Sixth, Students in the 6th grade Represented with Language more than Letter symbols. Seventh, students' Step of justification correlated to their mathematical aptitude. Eighth, teachers can check the strong and weak point of students' mathematical justification by analyzing their workusing PIRSO. Therefore, based on these strong implications, we can conclude that PIRSO is a effective tool for revealing students distinctive features in mathematical justification and for improving their capacity to justify mathematically.

국문 초록 (Abstract)

최근 수학교육에서 수학적 정당화에 대한 인식이 높아지고 있다. 자신이 주장하는 것에 대한 근거를 찾고 이유를 논리적으로 설명하며, 수학적 지식을 의사소통하기 위해서는 수학적 정당화가 필수적이다. 우리나라뿐만 아니라 여러 나라의 학생들이 증명에서 성취도가 낮다는 연구가 보고되었다. 학생들의 증명에 대한 성취도가 낮은 이유는 증명에 대한 강조가 적은 탓도 있지만, 증명에 대한 잘못된 지도에도 기인한다고 할 수 있다. 많은 연구자들은 학생들 나름대로 자신의 수준에 맞는 방법으로 다양하게 수학적 정당화를 할 수 있으나, 수학 교과서에서는 과정을 단순화하여 논리적이며 경제적인 방법만을 제공함으로써 학생뿐만 아니라 교사들까지도 증명을 어려워하게 된다고 주장한다. 그러므로 증명을 완성된 결정체로서 이해하는 것이 아니라 끊임없이 발전해 가는 과정을 포함하는 것으로 이해해야 한다는 입장에서, 본 논문에서는 수학적 증명을 넓게 해석하여 학생들의 수학적 정당화에 대한 분석을 시도하고자 한다.
본 연구에서는 첫째, 수학적 정당화의 정의를 명확히 하였다. 수학적 정당화를 “적당한 논리에 의해 자신 또는 다른 사람에게 추측이 참임을 확인하는 과정” 으로 정의하고, 수학적 정당화를 논리적, 개인적, 사회적인 측면에서 살펴보았다. 둘째, 수학적 정당화의 유형과 수준에 관한 연구들을 분석하여 그들로부터 시사점을 찾고, 이를 단계라는 개념에 의해 재범주화 하였다. 셋째, 수학적 정당화에 관한 연구를 분석하여 학생들의 수학적 정당화를 알아보기 위한 요소를 찾았으며, 이를 바탕으로 수학적 정당화의 분석틀(PIRSO)을 고안하였다.
우리나라의 경우 수학적 증명에 대한 지도가 중학교 2학년 2학기에 이루어지고 있으나, 많은 연구들은 어려서부터 수학적 정당화를 지도하여야 한다고 강조하고 있다. 그렇다면 수학적 정당화에 대한 지도가 초등학교에서 가능한가? 선행연구에서는 초등학교 저학년에서부터 연역적 사고가 가능하며 수학적 정당화가 가능하다고 주장한다. 연구자도 이와 같은 입장에서, 초등학생들의 수학적 정당화 과정을 이해하기 위해서 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 초등학교 6학년 학생들의 수학적 정당화의 단계는 어떠한가? 둘째, 초등학교 6학년 학생들의 수학적 정당화는 어떤 특징을 가지고 있는가? 첫 번째 연구 문제를 해결하기 위해 설문조사‧분석을 실시하였고, 두 번째 연구 문제의 해결을 위하여, 수학적 정당화에 대한 사례연구를 하고 이를 수학적 정당화의 분석틀(PIRSO)에 의거하여 요소 별, 학생 별, 과제별 분석을 실시하였다.
설문 조사를 분석한 결과 다음과 같다.
첫째, 학생들은 수학적 정당화의 개인적 측면을 가장 중요하게 생각하고 있다. 둘째, 학생들은 대수 영역보다는 기하영역에서 높은 단계의 수학적 정당화를 하였다. 셋째, 수학 성취도가 상위 수준의 학생들은 3단계의 포괄적 예에 의한 연역적 정당화와 4단계의 단순 연역적 정당화를 선호하고 있으며, 중위 또는 하위의 학생들은 2단계의 경험적․귀납적 수학적 정당화를 선호하였다.
그리고, 사례 연구 결과에 의해 다음과 같은 결과를 얻었다. 첫째, 학생들이 정당화해야 할 문제가 자신에게 적절하다고 인식(P)할 때 I, S, O가 높게 나타났으며, 문제가 쉽다고 생각할 때보다는 어렵다고 생각할 때 I, S, O가 높게 나타났다. 둘째, 학생들의 수학 성취 능력에 따라 이전에 학습한 내용 중에서 조작적 불변 자(I)를 찾아 주어진 명제를 정당화를 하는 데에 많은 차이가 있었다. 또, 초등학교 6학년 학생들도 대상들의 속성과 관계, 성질 등을 이용하여 명제를 정당화할 수 있다는 것을 알 수 있었다. 셋째, 초등학교 6학년 연구 참여자 중 77.4%가 언어를 사용하여 표현(R)하였고, 7.1%가 문자를 포함한 기호 표현(R)을 사용하였다. 그리고 2.3%만이 그림을 사용하여 정당화하였다. 넷째, 수학적 정당화를 할 때 0 단계와 1 단계(S)의 수학적 정당화를 시도하는 초등학교 6학년 학생들을 찾아보기가 어려웠다. 명제가 이해하기 어렵거나 수학적 정당화가 어려워서 멈추어 있는 동안에도 1 단계의 권위적 정당화를 시도하는 학생은 없었다. 특정한 예를 사용하지 않는 단순 연역적 정당화를 하는 학생들이 51.2%로 가장 많았고, 경험적‧귀납적 정당화가 32.1%, 그리고 포괄적 예에 의한 연역적 정당화를 하는 학생들이 16.7%였다. 다섯째, 47.6%의 학생들이 자신의 정당화를 논리적으로 엄밀하게 조직(O)하였으며, 논리에 부분적 결함이 있는 학생은 42.9%였다.
본 설문 조사 연구와 질적 연구를 통해 얻어진 결론 및 시사점은 다음과 같다.
첫째, 학생들은 수학적 정당화에 대한 개인적 필요성을 강하게 느끼고 있으며, 초등학생도 정당화를 할 수 있기 때문에, 교사는 보다 적극적으로 활동 과제를 고안하여 학생들이 수학적 정당화를 할 수 있는 기회를 제공하여야 한다.
둘째, 중학교 2학년 보다 더 빠른 시기에 그리고 증명뿐만 아니라 다양한 방법으로 수학적 정당화의 경험이 제공된다면, 학생들이 수학적 정당화 또는 증명에 대면하게 될 때 두렵거나 어렵게 느끼는 감정을 완화시킬 수 있을 것이다.
셋째, 학생들은 외적 확신에 의한 정당화보다는 포괄적 예에 의한 연역적 정당화와 단순 연역적 수학적 정당화를 하였다. 따라서 다양한 예를 통한 경험적․귀납적 정당화를 발전시켜 보다 논리적으로 엄밀한 연역적 정당화가 가능하도록 하는 지도가 필요하다.
넷째, 설문조사와 질적 연구 결과, 대수영역에서는 경험적․귀납적으로 수학적 정당화를 하는 학생들이 많았고, 기하영역에서는 주로 단순 연역적 정당화 또는 포괄적 예에 의한 연역적 정당화를 하는 것으로 나타났다. 즉 기하 영역에서 수학적 정당화의 단계가 더 높은 것으로 나타났다.
다섯째, 조작적 불변 자를 명확하게 밝힐 수 있는 경우에는 포괄적 예에 의한 연역적 정당화 또는 단순 연역적 정당화를 하며 논리적으로도 엄밀하게 구성하는 경향이 있었다. 조작적 불변 자를 부분적으로 명확하게 한 학생들의 경우, 논리적 엄밀성이 부족하였다.
여섯째, 학생들은 수학적 기호보다는 언어로 정당화하였다.
일곱째, 본 연구 결과, 수학 성취도가 높은 학생들은 연역적 정당화를 선호하고, 중위 수준의 학생들은 경험적․귀납적 정당화를 선호하는 것으로 나타났다. 즉, 성취수준이 높은 학생일수록 높은 단계의 수학적 정당화를 하는 것으로 나타났다.
일곱째, PIRSO에 의해 학생들의 수학적 정당화를 분석함으로써 학생들의 수학적 정당화의 강점과 약점을 알 수 있었다. 그러므로 PIRSO는 학생들의 수학적 정당화의 특징을 보다 정확하게 파악하고 그들의 정당화 능력을 향상시키는 데 유용한 도구가 될 것이라고 생각한다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 5
• C. 용어의 정의 5
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• A. 수학적 정당화의 정의 7
• 1. 논리적 측면 8
• 2. 개인적 측면 12
• 3. 사회적 측면 12
• B. 수학적 정당화의 단계 15
• 1. 수학적 정당화의 유형에 관한 선행 연구 16
• 2. 수학적 정당화의 수준에 관한 선행 연구 22
• 3. 수학적 정당화의 수준 및 유형에 대한 선행 연구 분석의 시사점 25
• C. 수학적 정당화의 분석틀 30
• 1. 수학적 정당화의 요소 구성을 위한 선행연구 분석 30
• 가. 문제의 인식에 관한 선행연구 30
• 나. 조작적 불변자에 관한 선행연구 34
• 다. 표현에 관한 선행 연구 35
• 라. 수학적 정당화의 단계에 관한 선행연구 36
• 마. 논리적 조직(구성)에 관한 선행연구 38
• 바. 문제의 인식과 논리적 조직에 관한 선행연구 38
• 사. 표현과 조작적 불변자에 관한 선행연구 39
• 아. 수학적 정당화의 단계와 조작적 불변자에 관한 선행연구 40
• 자. 수학적 정당화의 단계와 표현에 관한 선행 연구 41
• 차. 문제의 인식과 수학적 정당화의 단계와 표현에 관한 선행연구 41
• 2. 수학적 정당화의 분석틀 42
• 3. 수학적 정당화의 분석틀의 요소 46
• 가. 문제의 인식 P(Perceiving problems) 46
• 나. 조작적 불변자 I(operational Invariant) 48
• 다. 표현 R(Representation) 49
• 라. 수학적 정당화의 단계 S(Steps of mathematical justification) 50
• 마. 논리의 구성(조직) O(Organization of Logic) 51
• 4. 수학적 정당화의 분석틀(PIRSO)에 대한 비판 53
• Ⅲ. 수학적 정당화의 단계에 대한 연구 56
• A. 연구 방법 56
• 1. 연구 절차 57
• 2. 자료 수집 58
• 3. 예비 검사 58
• 가. 예비 검사 방법 및 절차 58
• 나. 예비 검사 검토 및 본 검사에의 반영 59
• 4. 검사 도구의 개발 60
• 5. 자료 분석 64
• 6. 자료 분석 준거 64
• B. 학생들의 수학적 정당화의 단계에 관한 연구 결과 및 논의 70
• 1. 설문조사 연구 결과 70
• 2. 설문조사 연구 결과 해석 및 논의 78
• Ⅳ. 학생들의 수학적 정당화의 특징에 대한 연구 81
• A. 연구 방법 81
• 1. 연구 절차 82
• 2. 연구 참여자 83
• 3. 활동과제 85
• 4. 자료 수집 및 분석 89
• 가. 자료 수집 89
• 나. 자료의 분석 90
• 다. 자료들의 분석 준거 91
• 5. 연구의 타당도와 신뢰도 98
• B. 연구 결과 및 논의 99
• 1. 연구 결과 99
• 가. 학생별 수학적 정당화 분석 100
• 나. 수학적 정당화의 분석틀의 요소 분석 118
• 다. 활동과제에 따른 학생들의 정당화 비교 분석 141
• 2. 초등학생의 수학적 정당화의 특징에 대한 논의 147
• Ⅴ. 요약 및 결론 150
• 참고문헌 155
• 부록1 수학적 정당화에 관한 학생 설문 167
• 부록2 질적 연구의 분석 170
• 부록3 수학적 정당화 요소별 분석Ⅰ 256
• 부록4 수학적 정당화 요소별 분석Ⅱ 257
• ABSTRACT 258