고등학교 수학학습에서 컴퓨터대수체계(CAS)의 도구발생 = Instrumental genesis of computer algebra system(CAS) in high school students' mathematical learning

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study was designed to gain insights into instrumental genesis process of CAS in Korean high school students and to explore its practical potentials in secondary mathematics education. Three activities, such as Concept-Centered Mathematics Activity based on CAS, Mathematical Conjecture Building Activities related to factorization, and Problem Solving Activities, were constructed and executed to seven Grade 10 students for fifteen class hours. The lessons were given on the condition that classpad300(CAS) was available. Post-unit interviews with students were also conducted. The data which were analyzed consists of classroom observations(audio and video taped), personal files saved in the Classpad300 during the activities, student's answer booklets and interviews.
The process of instrumental genesis of CAS and the practical potential of the instrumented CAS found in this study are as follows:
First, instrumental genesis is a complex process, which is composed of two closely connected schemes : Instrumentation(Instrumented Action Scheme), directed toward the subject, and Instrumentalization(Usage Scheme), directed toward the tools(CAS).
It was not a natural process for CAS, which is merely an artifact, to be utilized as an useful appliance, and it required a considerable amount of time and efforts. Students experienced diverse Instrumentation processes of CAS in physical and psychological manner. Also they expanded their notion on “solving an equation” to “solving one letter with regard to other letters” while dealing with many restraints of CAS. In addition, students became to understand the substitution concept in depth, beyond a simple number changing. Furthermore, decimal representation format of real number contributed to clarifying the understanding of real number. Consequently, it is meaningful in mathematics education, especially in algebra education, in that the CAS based concept centered mathematics activity offers great opportunities to deal with high-qualified application problems.
Second, instrumentation process in the factorization activities of ) was not a burden to subjects. The instrumented CAS caused students to concentrate on the task to develop primary conjectures and theorems and to make them more sophisticated. Therefore, the activities to build mathematical conjectures and theorems through factorization with CAS made students improve their reflective thinking to induce the patterns from the samples, make theorems, and justify or modify them.
Third, with the help of CAS, the students in this study solved the irrational equations that they hadn't learned in their regular class, and could understand the meaning of the solutions as well. It was shown that the problems students were presented with in the instrumentation process helped students to deal with more advanced application problems. Therefore, the problem solving activities based on the instrumented CAS may have an influence on the sequence of mathematics curriculum, e.g. the optimization problems may precede the calculus problems such as derivatives in high school.
The results of this study to investigate the instrumental genesis of CAS in mathematical activities will give insights into the secondary mathematics curriculum to prepare the CAS in Korea.

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 CAS가 도입된 이후의 우리나라 수학교육에 대비하여 고등학교 수학 활동에서 CAS의 도구발생 과정을 통찰하고, 중등수학교육에서 도구화된 CAS의 활용 가능성을 탐색하기 위해 설계되었다. 이를 위하여 CAS에 기반 한 개념중심 수학과제 학습활동, 인수분해와 관련된 수학정리 발견활동, 문제해결활동을 제작하여 고등학교 1학년 7명을 대상으로 총 15차시의 수업을 실시하였다. 활동은 classpad300을 사용할 수 있는 상태에서 이루어졌으며 수업 시간은 A/V 녹화되었고, 과제 후 1대1 면담을 하였다. A/V 녹화, 학생의 계산기에 저장된 활동 파일, 수업 중에 작성한 활동지 답안을 근거로, CAS 도구발생 과정과 도구화된 CAS의 활용 가능성을 분석한 결과는 다음과 같다.
첫째, 도구발생은 인공물(CAS)과 주체(학생) 사이에 두 방향에서 도구장착(도구화된 행동스킴)과 도구활용(사용스킴)으로 구성된 복잡한 과정이며, 단지 인공물에 지나지 않는 ‘CAS’가 유용한 도구로 되는 것은 자연스런 과정이 아니며 상당한 시간과 노력이 요구되는 과정이었다. 학생들은 물리적, 심리적으로 CAS의 도구장착 과정을 다양하게 경험하였고, CAS가 가진 제약을 극복하는 과정에서 ”한 문자를 다른 문자에 대하여 푸는“개념으로 방정식풀이 개념의 확장과 단순한 수치 대입을 넘어서는 대입 개념의 확장을 하였다. 또한 실수의 소수(decimal) 표현은 실수에 대한 이해를 좀 더 명료화하는데 기여하였다. 따라서 수학교육에서 CAS에 기반 한 개념중심 수학과제 학습활동은 수학교육 특히 대수교육에서 매우 수준 높은 응용문제를 다룰 수 있는 기회를 제공하였다.
둘째, 자연수) 인수분해를 통한 수학정리 발견활동 과제에서 학생들은 CAS의 도구장착 과정이 크게 짐이 되지 않았다. 도구화된 CAS의 사용은 수학정리를 발견하는 활동에서 좀 더 정교한 추측을 발전시키는데 집중하게 하는 역할을 하였다. 따라서 도구화된 CAS를 활용한 인수분해 수학정리발견 활동은 비판적․반성적 사고 발전에 기여했다는 점에서 의미가 있다.
셋째, 활동 III의 무리방정식의 문제해결활동에서 학생들은 CAS의 도움으로 아직 학습하지 않은 무리방정식의 해를 구하고, 구한 해의 의미를 이해하였다. 이는 CAS의 도구장착 과정에서 겪게 되는 고충이 CAS의 가능성으로 발전하여 매우 수준 높은 응용문제를 다룰 수 있는 기회를 제공한 사례라 할 수 있다. 따라서 도구화된 CAS에 기반 한 무리방정식 문제해결활동은 교육과정의 제시 순서에 영향을 줄 수 있으며, 나아가 최적화 문제를 미적분 뒤로 미룰 필요가 없는 환경을 조성할 수 있다는 점에서 의미가 있다.
이 연구의 주요 의미는 고등학교 수학교육에서 CAS의 도구발생을 분석하여 사례를 제공함으로써 CAS가 도입된 이후의 우리나라 수학교육에 대비한 기초연구가 될 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구문제 = 6
• 3. 용어정의 = 6
• Ⅱ. 이론적 배경 = 8
• 1. 정보기술공학(IT)과 수학교육 = 8
• 가. IT의 역할 = 9
• 나. 변수개념 학습에서 IT 활용의 한계 = 18
• 2. 수학교육에서의 컴퓨터대수(CAS)에 대한 연구 = 21
• 가. 컴퓨터대수체계(CAS) = 22
• 나. 수학교육에서 CAS 활용과 관련된 주요 쟁점 = 26
• 다. CAS 활용 연구 동향 = 42
• 3. CAS의 도구발생 = 52
• 가. 도구발생의 이론적 배경 = 52
• 나. 연장(Tool)과 도구(Instrument) = 54
• 다. 도구발생(Instrumental Genesis)과 스킴(Scheme) = 56
• 라. 도구발생의 두 구성요소 = 61
• 마. 도구화된 행동스킴 = 66
• III. 연구 방법 = 73
• 1. 대상 = 73
• 2. 도구 = 74
• 가. 개념 중심 수학과제 학습 세트(활동지 I) = 75
• 나. 수학정리의 발견활동 세트(활동지 II) = 78
• 다. CAS 기반의 문제해결 활동 세트(활동지 III) = 82
• 3. 절차 = 84
• 가. 수업 = 86
• 나. 면담 = 91
• 다. 자료 = 92
• 4. 분석방법 = 93
• Ⅳ. 연구 결과 = 96
• 1. 도구발생 관련요소 = 96
• 가. 개념 중심 수학과제 학습(활동 I) = 97
• 나. 수학정리 발견활동(활동 II) = 103
• 다. CAS에 기반 한 문제해결활동(활동 III) = 105
• 2. 연구 문제 분석 = 107
• 연구문제 1. CAS는 개념중심 수학과제 학습에서 어떻게 도구로 발생되는가? = 107
• 연구문제 2. 도구화된 CAS는 수학정리 발견에 어떻게 기여하는가? = 134
• 연구문제 3. CAS에 기반 한 문제해결활동이 수학교육과정의 내용 제시 순서에 변화를 가져올 수 있는가? = 154
• V. 요약 및 논의 = 168
• 1. 요약 = 168
• 2. 논의 = 174
• 3. 후속 연구를 위한 제언 = 178
• Ⅵ. 참고문헌 = 179
• 부록 A 연구 참여 동의서 = 191
• 부록 B 활동지 I = 192
• 부록 C 활동지 II = 198
• 부록 D 활동지 III = 203
• 부록 E classpad300의 기본기능 = 205
• 부록 F 활동 I, II, III의 관련단원과 학생들의 학습 경험 = 213
• ABSTRACT = 214