초등학교 4학년 학생의 수학 문제해결에서 나타나는 유추적 사고 과정 분석 = Analysis of the Analogical Thinking Process of Fourth-Grade School Children in Mathematics Problem Solving

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Learners learn mathematics to foster their mathematical inquiry process skills and apply the skills to daily routine life. Mathematical inquiry process skills refers to inquiring, predicting and logical reasoning based on mathematical knowledge. And analogy refers to solving a given problem by recalling a previous activity of solving another similar problem and finding similarities between the two. Analogical thinking offers a clue about lots of problems including simple daily and complicated problems.
The purpose of this study was to examine the analogy cases of mathematics textbooks and the analogical thinking process of students in problem solving in an attempt to shed light on the utilization of analogy in mathematical problem solving. The following efforts were made to serve the purpose:
1. Analyze the analogy cases of an elementary fourth-grade mathematics textbook according to a selected standard.
2. Analyze the analogical thinking process of school children in their fourth grade during task performance.
3. Analyze the analogical thinking process of fourth graders in mathematics class.
The subjects in this study were 30 students in a fourth-grade class in M elementary school in the city of Incheon, where this researcher worked. Since it's not an easy task to look into every student's analogical thinking process, four students were selected to make a close analysis. Out of the four, two were upper-tiered students, and the other two were in the middle tiers.
After theories and earlier studies were reviewed, the analogy examples in the fourth-grade mathematics textbook were categorized into three. One was analogy for a conceptual enlargement, and another was methodological analogy using basic problems. The third was to analogize out of a model unrelated to mathematics. What level the students should reach in each analogy stage was determined, and then an analogy analysis framework was prepared to see if they reach the level.
As a result of analyzing the analogy segments of the mathematics textbook and the analogical thinking process of the students during problem solving, the following findings were given:
First, the third example to analogize out of a model unrelated to mathematics was most common in the fourth-grade mathematics textbook. Analogy was used mostly to explain the principles and concepts of mathematics. The analogy for a conceptual enlargement was used a lot in the area of number and operation.
Second, the majority of the students had a tendency to look for easily noticeable ostensible similarities between the given problems rather than hidden structural similarities in the stage of similarity awareness.
Third, the model unrelated to mathematics played a crucial role in inferring a new concept or problem-solving method.
Fourth, analogical thinking took place mostly step by step in the order of similarity awareness, application and diagram development. The success or failure of the previous stage affected performance in the next stage, but the success of the previous stage didn't necessarily lead to the success of the next one.
Fifth, it's easier to analogize when the structure of the given problem was accurately grasped. The students in the middle tiers just used the given conditions, whereas the upper-tiered students solved the given problem by analogical inference.
Given the findings of the study, there are some suggestions:
First, this study focused on the analogical thinking process of the fourth graders during problem solving. But analogical thinking faculty may hinge on developmental stage, and the analogical thinking of students in the other grades should be investigated.
Second, the scope of this study was confined to the analysis of analogical thinking process. In the future, research efforts should be channeled into determining how to develop analogical thinking.

국문 초록 (Abstract)

수학을 공부하는 것은 수학적 지식의 이해를 바탕으로 탐구하고 추측하며, 논리적으로 추론하는 수학적 탐구력을 길러 일상생활에서 활용할 수 있는 능력을 기르는 것이다. 유추는 주어진 문제를 해결하기 위해 이전의 유사한 문제를 해결하였던 것을 상기하여 유사성을 바탕으로 문제를 해결하는 것이다. 또한 유추적 사고는 일상생활의 간단한 문제에서 복잡한 문제에 이르기까지 많은 문제 해결의 실마리를 제공하고 있다.
본 연구는 수학 문제해결에서 유추가 어떻게 활용되고 있는지 알기 위하여 수학 교과서에 나타나는 유추 사례를 살펴보고 학생들이 수학 문제를 해결하면서 나타내는 유추적 사고 과정이 어떻게 이루어지는지 분석하는데 목적이 있으며 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 내용을 설정하였다.
첫째, 초등학교 4학년 수학 교과서에 나타나는 유추의 여러 가지 사례를 일정한 기준으로 분석한다.
둘째, 과제 해결에서 나타나는 초등학교 4학년 학생들의 유추적 사고 과정을 분석한다.
셋째, 수학 수업에서 나타나는 초등학교 4학년 학생들의 유추적 사고 과정을 분석한다.
이 연구 내용을 실천하기 위하여 연구자가 근무하는 인천광역시 M초등학교 4학년 1개 학급 30명을 대상으로 하였으며 전 학생의 유추적 사고 과정을 자세히 분석하기가 어려워 학생 4명(상2명, 중2명)을 선정하여 집중 분석하였다.
이론적 고찰과 선행 연구를 바탕으로 4학년 수학 교과서에 나오는 유추의 여러 가지 예를 분석개념 확장시의 유추, 기본 문제를 활용한 방법 유추, 수학 외적인 모델로부터의 유추로 나누어 분석하였다. 학생들의 문제 해결에서 나타나는 유추적인 사고 과정을 분석하기 위해 유추 단계별 도달에 대한 기준을 정해 유추 도달 여부를 판별하는 유추 분석 틀을 마련하여 3가지 과제와 2차에 걸친 수학 수업을 분석하였다.
4학년 수학 교과서에 제시된 유추 관련 내용을 분석하고, 수학 문제 해결에서 나타나는 학생들의 유추적 사고 과정을 분석한 결과 얻은 결론 및 시사점은 다음과 같다.
첫째 4학년 수학 교과서에 제시된 내용 중 유추와 관련된 내용을 분석한 결과 수학 외적인 모델로부터의 유추가 가장 많고 주로 수학의 원리나 개념을 설명하는데 사용되며 개념 확장시의 유추는 ‘수와 연산 영역에서 많이 활용된다.
둘째, 대부분의 학생들은 유사성 인식 단계에서 문제에 숨겨진 구조적인 유사성보다는 눈에 쉽게 띄는 표면적 유사성을 보고 문제의 유사성을 찾는 경향이 있다.
셋째, 문제 해결에서 수학 외적인 모델은 새로운 개념을 유추하거나 풀이방법을 유추하는데 중요한 역할을 한다.
넷째, 과제 해결에서 나타나는 유추적 사고는 대부분 유사성 인식 단계, 사상·적용단계, 도식형성 단계로 단계별 순차성에 의해 이루어지며, 전 단계의 성공 여부가 다음 단계에 영향을 주나 앞 단계가 이루어졌다고 해서 다음 단계가 꼭 이루어지는 것은 아니다.
다섯째, 문제 해결에서 문제의 구조를 잘 파악하면 유추가 쉽게 일어나며 중위권 학생들은 단순히 주어진 조건만을 이용하는 반면에 상위권 학생들은 유추를 이용하여 문제를 해결한다.
끝으로 본 연구와 관련하여 다음과 같은 제언을 하고자 한다.
첫째, 본 연구는 4학년 학생들의 문제해결에서 나타나는 유추적 사고 과정을 분석했으나, 유추적 사고 능력은 발달 단계에 따라 다를 수 있으므로 다른 학년 학생들의 유추적 사고 과정을 분석하는 연구가 필요하다.
둘째, 본 연구는 학생들의 유추적 사고 과정을 분석하는데 연구를 국한시켰으므로 이 연구를 바탕으로 학생들의 유추적 사고를 발달시킬 수 있는 지도 방법에 대한 연구가 요구된다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성과 목적 = 1
• 2. 연구 내용 = 3
• 3. 용어의 정의 = 3
• 4. 연구의 제한점 = 3
• Ⅱ. 이론적 고찰 = 5
• 1. 유추 = 5
• 가 유추의 의미 = 5
• 나. 유추의 유형 = 7
• 2. 유사성과 유추 전이 = 9
• 가. 구조 유사성과 표면 유사성 = 9
• 나. 유추의 전이 과정 = 11
• 3. 문제해결과 수학 학습에서의 유추 = 16
• 가. 개념 유추와 방법 유추 = 16
• 나. 수학 내의 유추와 수학 외적인 모델의 유추 = 21
• 4. 선행 연구 고찰 = 26
• Ⅲ. 연구의 방법 및 실제 = 30
• 1. 연구대상 = 30
• 2. 연구 방법 및 절차 = 31
• 3. 과제 선정 = 33
• 4. 수학 문제해결 과정의 수업 = 38
• 5. 유추 과정 분석틀 = 45
• Ⅳ. 연구 결과 및 해석 = 49
• 1. 수학 교과서의 유추 활용 분석 = 49
• 가. 개념 확장시의 유추 = 49
• 나. 기본문제를 활용한 방법 유추 = 51
• 다. 수학 외적인 모델로부터의 유추 = 55
• 라. 교과서의 유추 분석 종합 = 59
• 2. 과제 해결에서 나타나는 유추적 사고 과정 분석 = 64
• 가. 「과제1」에 대한 유추 분석 = 65
• 나. 「과제2」에 대한 유추 분석 = 82
• 다. 「과제3」에 대한 유추 분석 = 94
• 라. 「과제」에 대한 유추 분석 종합 = 102
• 3. 수업에서 나타나는 유추적 사고 과정 분석 = 104
• 가. 1차시 수업 분석 = 105
• 나. 2차시 수업 분석 = 108
• 다. 수업에 나타난 유추 분석 종합 = 114
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 116
• 참고문헌 = 119
• 부록1 수학 학습지 1-1 = 122
• 부록2 학생들의 학습지 반응 = 126
• ABSTRACT = 130