일차부등식에 관한 오류 유형과 원인 분석 : 고등학교 1학년을 대상으로 한 사례연구

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The concept of inequality not only provides the ability to think mathematically to consider logically and solve reasonably many problems encountered in daily life, but also helps one to manage precisely and clearly various difficult situations which can be faced during natural phenomena and everyday life. Therefore the school mathematic course itself needs to recognize the value of problem solving using inequalities, expose and guide students with the experience through which they can be contacting with various problems related to actual life and solving those in various methods.
However, since the school mathematic courses only consider the inequalities as a secondary concept which is processed completely with algorithm-like method(Boero & Bazzini, 2004), focusing on the standardized education and the results of problem solving, students only find themselves facing various difficulties whenever solving inequality problems.
Thus, it is important to diagnose the errors and their causes occurred during cognitive process of students more systematically through the analysis of their thinking over inequalities.
Accordingly the purpose of this study is to review the types of errors occurred while solving various inequality problems through a case study with the subjects of high school freshmen students and try to identify the cause of the errors as well.
To this end, this study has set two types of research problems as follows:
1. What are the error types occurred while solving inequalities for freshmen students?
2. What are the causes of inequality errors?
To conduct this research, three freshmen students of academic high school which is located at Jeollabukdo were selected as the subjects of research, and the answers of those students were analyzed by using error test paper.
The error test paper was composed of 12 questions total, containing all of the overall contents regarding linear inequality.
In this study, the types of error were classified into 7 categories, which are misused data, misinterpreted terms, illogical reasoning, lacking of essential facts and concepts, technical errors, non-required answers and omitted solving process with reference to 6 error models of Movshovitz-Hadar, Zaslavsky & Inbar(1987), and the causes of errors committed while solving problems were analyzed per each student via interview and observation of behavior.
As the result of the research, while various types of errors such as misused data, misinterpreted terms, illogical reasoning, lacking of essential facts and concepts, technical errors, non-required answers and omitted solving process occurred, misused data and illogical reasoning were the most frequent errors committed among those.
This is due to the high school students, who are in higher level of mathematical knowledge and perception than middle schoolers, tend to misuse the given data or utilize illogical reasoning process in order to obtain answers.
The reasons why the students committed errors are as follows:
First of all, although the students frequently adopted the strategies of presumption and speculation to solve problems, in many cases they had gone through the incorrect speculations, thus committing errors.
Secondly, they committed errors by attempting to modify the inequalities without proper understanding of the problems just as they blindly apply some mathematical formulas when solving problems.
Thirdly, they made frequent mistakes in the process of deciding the direction of inequality signs, transposing and calculating.
Fourthly and lastly, the students committed errors due to their inability to express mathematical situations to a formula.
Especially they struggled to establish mathematical equations by using given conditions from the text of problems and were not really aware of which term they needed to put as the unknown.
The research on the errors committed during math learning process may be conducted through the processes to diagnose errors, to prescribe the diagnosed errors, and finally to identify whether the errors were corrected.
As this study is mainly focused on the process of error diagnosis, it is necessary to aid the educational guidance for students to better understand linear inequalities and to help them to minimize errors with the succeeding researches to prescribe and correct diagnosed errors in the future.

국문 초록 (Abstract)

부등식 개념은 일상생활에서 부딪히는 여러 가지 문제를 논리적으로 사고하고 합리적으로 해결할 수 있는 수학적 사고력을 제공해 주며, 자연 현상 및 실생활에서 주어진 다양한 문제 상황을 간결하고 명확하게 처리할 수 있도록 해준다. 따라서 학교수학은 부등식에 의한 문제 해결의 가치를 인식하도록 해야 하며, 학생들에게 실생활과 관련된 다양한 문제를 접해볼 수 있는 경험을 제공하고, 여러 가지 방법으로 해결해 볼 수 있도록 지도해야 한다. 하지만 학교수학에서는 부등식을 완전하게 알고리즘적인 방법으로 처리되어지는 부차적인 단원으로 여기고 있으며(Boero & Bazzini, 2004), 입시 위주의 학습으로 인해 획일화된 교육과 문제해결 결과에만 관심을 가져 학생들은 부등식 문제를 해결할 때 다양한 어려움에 부딪힌다. 따라서 부등식에 대한 학생들의 사고 분석을 통해 학생들의 인지과정에서 발생하는 오류와 그 원인에 대해 좀 더 체계적으로 알아볼 필요가 있다.
본 연구에서는 사례연구를 통하여 고등학교 1학년 학생을 대상으로 일차부등식에 관한 여러 가지 문제를 해결할 때 보이는 오류 유형을 알아보고 각 학생들이 범하는 오류에 대한 원인을 밝혀보고자 한다.
연구의 목적을 위해 다음과 같은 두 가지 연구 문제를 설정하였다.
1. 고등학교 1학년 학생에게서 나타난 일차부등식에 관한 오류 유형은 무엇인가?
2. 일차부등식에 관한 오류의 원인은 무엇인가?
본 연구를 수행하기 위해 전라북도에 소재한 인문계 고등학교 1학년 3명의 학생을 연구대상으로 선정하였고, 오류 검사지를 통해 학생들의 답안을 분석하였다. 오류 검사지는 총 12문제로 구성되어 있으며, 일차부등식의 전반적인 내용을 모두 포함하고 있다. 본 연구에서 오류의 유형은 Movshovitz-Hadar, Zaslavsky & Inbar(1987)의 6가지 오류 모델에 의하여 잘못 이용된 자료, 잘못 해석된 용어, 논리적으로 부적절한 추론, 필수적인 사실과 개념의 부족, 기술적 오류, 요구하지 않은 답, 풀이과정의 생략으로 총 7가지로 범주화하였고, 각 학생별로 유의미한 오류를 범한 문제에 대하여 면담과 행동 관찰을 통하여 원인을 분석하였다.
연구결과, 일차부등식 문제풀이과정에서 잘못 이용된 자료, 잘못 해석된 용어, 논리적으로 부적절한 추론, 필수적인 사실과 개념의 부족, 기술적 오류, 요구되지 않은 답, 풀이과정의 생략을 중심으로 다양한 오류가 나타났으며 그 중에서 잘못 이용된 자료와 논리적으로 부적절한 추론에 의한 오류가 많이 나타났다. 이것은 중학생보다 수학적 지식이 향상되고 인지 수준이 발달한 고등학생들이 문제에서 요구된 답을 구하기 위하여 주어진 자료를 잘못 이용하거나 논리적으로 옳지 못한 추측을 했기 때문이다.
학생들이 오류를 범하는 원인은 다음과 같다.
첫째, 학생들은 문제를 해결하기 위하여 추측과 예상하기 전략을 자주 사용하였는데 정당하지 못한 추측과 예상을 통해 오류가 발생하였다.
둘째, 문제를 해결할 때 무조건 공식을 적용하는 것처럼 문제의 이해 없이 부등식의 변형을 통해 답을 구하려고 했기 때문에 오류가 나타났다.
셋째, 부등호의 방향을 결정하거나 이항을 하는 과정, 계산을 하는 과정에서 실수를 많이 하였다.
넷째, 학생들은 수학적 상황을 식으로 잘 표현하지 못했기 때문에 오류를 범하였다. 특히 문제의 문맥에서 제시된 조건을 사용하여 식을 세우는 것을 어려워하였고, 무엇을 미지수로 놓아야 하는지 잘 알지 못하였다.
수학 학습 과정에서 범하는 오류에 관한 연구는 오류를 진단하는 과정, 진단된 오류를 처방하는 과정, 마지막으로 오류가 교정되었는지 확인하는 과정으로 진행될 수 있다. 본 연구는 오류를 진단하는 과정에 초점을 맞춘 것이므로 앞으로 진단된 오류를 처방하고 교정하는 후속연구를 통해 학생들의 일차부등식 학습 지도에 도움을 주고, 학생들이 오류를 최소화할 수 있도록 해야 한다.

목차 (Table of Contents)

• 논문개요 = x
• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 연구문제 = 3
• C. 용어의 정의 = 3
• 1. 유형 A: 잘못 이용된 자료 = 3
• 2. 유형 B: 잘못 해석된 용어 = 3
• 3. 유형 C: 논리적으로 부적절한 추론 = 3
• 4. 유형 D: 필수적인 사실과 개념의 부족 = 3
• 5. 유형 E: 기술적 오류 = 4
• 6. 유형 F: 요구되지 않은 답 = 4
• 7. 유형 G: 풀이과정의 생략 = 4
• 8. 사례연구 = 4
• D. 연구의 제한점 = 4
• E. 기대되는 효과 = 5
• Ⅱ. 이론적 배경 = 6
• A. 오류 = 6
• 1. 수학적 오류 = 6
• 2. 오류의 분석 및 선행연구 = 7
• B. 부등식 = 12
• 1. 부등식의 역사적 개관 = 12
• 2. 부등식의 교육과정 분석 = 12
• 3. 부등식에서의 오류 연구 = 14
• C. 질적 분석 방법 = 18
• 1. 사례연구에서의 자료 분석 방법 = 18
• Ⅲ. 연구방법 및 절차 = 23
• A. Pilot study = 23
• 1. 평가문제의 작성 = 23
• 2. pilot study의 결과 = 25
• B. 본 검사 = 32
• 1. 연구대상 = 32
• 2. 검사도구 = 33
• 3. 연구절차 = 34
• 4. 문제구성 = 35
• 5. 자료 분석 방법 = 38
• Ⅳ. 연구 결과 및 분석 = 39
• A. 문제별 오류 유형 분석 = 39
• 1. 문제 1의 오류 유형 = 39
• 2. 문제 2의 오류 유형 = 40
• 3. 문제 3의 오류 유형 = 41
• 4. 문제 4의 오류 유형 = 42
• 5. 문제 5의 오류 유형 = 43
• 6. 문제 6의 오류 유형 = 44
• 7. 문제 7의 오류 유형 = 46
• 8. 문제 8의 오류 유형 = 47
• 9. 문제 9의 오류 유형 = 48
• 10. 문제 10의 오류 유형 = 49
• 11. 문제 11의 오류 유형 = 51
• B. 학생별 오류 원인 분석 = 52
• 1. 학생 H의 오류 사례 = 52
• 2. 학생 S의 오류 사례 = 55
• 3. 학생 C의 오류 사례 = 59
• C. 논의 = 61
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 63
• A. 결론 = 63
• B. 제언 = 65
• 참고문헌 = 66
• 부록 = 69
• 부록-1 예비 검사지 = 69
• 부록-2 오류 검사지 = 73
• 부록-3 수학적 성향을 알아보기 위한 설문지 = 76
• 부록-4 면담자료 = 77
• ABSTRACT = 88