수학적 확률과 통계적 확률에 관한 초·중·고 교과서 분석 및 개선 가능성 고찰 = A Study on Analysis of Elementary, Middle, and High School Textbooks regarding the contents of Mathematical Probability and Statistical probability, and on the Possibility of Improvement

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to diagnose the adequacy of curriculum contents, and to contrive the measure of curriculum improvement by analyzing the structure and the composition of units on mathematical probability and statistical probability in the elementary, middle, and high school textbooks. The study is based on the hypothesis of developmental process of child’s concept of probability, which presumes that the child’s concept of probability starts to develop right after birth, by the experiences the child encounters, gradually forms a pattern based on the frequency distribution, goes through the stage of statistical probability, then develop into the concept of mathematical probability. The issues focused in this study are as follows.
1. Does the concept of probability, covered in the 7thcurriculums of elementary, middle, andhighschools, organized systematically reflecting the characteristics of mathematical probability and statistical probability in the balanced manner, not being inclined toward either side? How about the order of introducing the concept of mathematical probability and statistical probability?
2. In terms of learner’s developmental process of concept of probability, is it possible to improve curriculum in order to secure the linkage to the new developmental process (frequency distribution => statistical probability => mathematical probability)?
As the result of textbook analysis, it has been found that the concept of mathematical probability is covered in 6-Na and 8-Na. The concept of statistical probability is mainly introduced in Math I, and mathematical probability and statistical probability are both covered in Math I. And it was also found that elementary, middle, and high schools are all cover the units of the number of cases, or the permutations and combinations prior to the introduction of combinational probability. The problems related to mathematical probability and statistical probability are approached in different mechanisms. Statistical probability problems were given in the real settings of practical statistics, while mathematical probability problems were given in artificial settings manipulating typical subjects such as dice, coins, and beads. Regarding the portion of statistical probability problems and mathematical probability problems, mathematical probability problems were overwhelmingly outnumbered in 6-Na, 8-Na, and Math I.
Based on the hypothesis of developmental process of concept of probability, which presumes that the concept of probability starts from the concept of distribution, goes through the concept of statistical probability, and reaches to the concept of mathematical probability, a measure of curriculums composition, which efficiently links the resource oriented prospect to the combinational approach, is contrived.
According to the measure, mathematical probability can briefly be introduced in 6-Na, and statistical probability can be introduced utilizing frequency distribution chart, in 8-Na, where the concept of probability is mainly covered. And Math I can cover both of mathematical probability and statistical probability together.
This study was to contrive the possibility of curriculum improvement, under the hypothesis of developmental process of concept of probability, which presumes that the concept of probability starts from the concept of distribution, goes through the concept of statistical probability, and reaches to the concept of mathematical probability. It would be necessary that this study to be followed by the case study, in which these mechanisms are applied to students in school setting, and its effects are analyzed.

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 초·중·고 교육과정과 교과서에서 수학적 확률과 통계적 확률을 어떤 방법과 순서로 조직하여 구성하였는지 분석하여 그 타당성을 알아보고 교육과정 개선 가능성을 모색하고자 하였다. 이때, 아동의 확률 개념의 발달 과정이 태어나자 마자 경험으로부터 서서히 형성되는 경험적 빈도의 도수적 분포개념에서 점진적으로 형식화되어 통계적 확률을 거쳐 수학적 확률로 발전한다는 가정을 토대로 하였다. 이에 대한 연구문제는 다음과 같다.
첫째, 제7차 초등학교, 중학교, 고등학교 수학과 교육과정에서 확률의 개념은 수학적 확률과 통계적 확률의 특성을 반영하여 치우침 없이 조화롭게 조직되었는 가? 수학적 확률과 통계적 확률의 도입 순서는 어떠한가?
둘째, 학습자의 확률 개념 발달에 있어서 새로운 발달 순서(도수적 분포개념=>통계적 확률=>수학적 확률)에 따른 연계성 확보를 위한 교육과정의 개선은 가능한가?
교과서 분석 결과 6-나와 8-나에서 주로 수학적 확률의 의미를 다루며, 수학Ⅰ에서 본격적으로 통계적 확률의 의미가 나오고 수학적 확률과 통계적 확률을 함께 다루었다. 이러한 순서에 의해서 학생들은 확률의 의미를 전체 경우의 수에 대한 특정 사건의 경우의 수인 수학적 확률 위주로 학습하게 되며, 결국 경우의 수 자체를 헤아리는데 집중하게 된다. 8-나에서 통계적 확률이 처음에 잠시 등장하긴 하지만 동등 가능성에 대한 적절한 설명 없이 바로 수학적 확률로 확률의 뜻을 정의하여 학생에게 혼란을 초래할 가능성이 있었다. 그리고 초·중·고 모두 확률 단원 전에 경우의 수나 순열 조합을 먼저 다루면서 조합론적으로 확률을 도입되는 것이 확인되었다.
교과서에서 수학적 확률에 관한 문제와 통계적 확률에 관한 문제는 성격이 달랐는데, 통계적 확률에 관한 문제는 실제적인 통계자료를 통해 그 확률을 구하는 반면, 수학적 확률의 문제는 대칭성을 갖는 소재로 제시해야 하는 특성 때문에 주사위, 동전, 구슬 같은 전형적인 소재를 통한 인위적인 문제가 대부분이었다. 그리고 6-나, 8-나, 수학Ⅰ 모두 통계적 확률에 관한 문제와 수학적 확률에 관한 문제 중 압도적으로 수학적 확률에 관한 문제가 많았다. 현재의 교육과정이 수학적 확률을 강조하면서, 자연히 전형적인 소재에 의한 문제가 대부분이었고, 실제적인 자료를 이용한 자료 분석 능력이 요구되는 문제는 적었다.
확률 개념의 발달 과정이 분포개념에서 출발하여 통계적 확률을 거쳐 수학적 확률에 이른다는 필자의 가정 아래 자료 중심적 관점과 조합론적 접근을 효과적으로 연결 짓는 교육과정 구성 방안을 생각해 보았다.
6-나에서 간단히 수학적 확률을 다루고 확률 개념 형성이 본격적으로 이루어지는 8-나에서 도수적 분포개념을 이용하여 통계적 확률을 다루고 수학Ⅰ에서 수학적 확률과 통계적 확률을 함께 지도하는 것을 생각할 수 있었다. 이러한 순서는 이론적 배경에서 살펴본 것과 같이 확률의 역사 발생적으로도 타당하고, 자료중심적인 접근 방식에도 바람직한 순서라고 볼 수 있다.
본격적으로 확률의 의미를 다루는 중학교에서 도수적 분포 개념을 이용하여 통계적 확률을 도입할 때 7-나에서 배우는 도수분포와 관련시켜 지도하면 이후에 고등학교에서의 확률분포로 연결 될 수 있다. 이 과정을 통해 자연히 학생들은 상대도수의 개념을 떠올리게 되고, 자신의 경험 속에서 잠재적으로 형성한 사건의 빈도에 대한 개념이 확률이라는 수학적 도구에 의해 형식화되는 과정으로서의 교수학적 중재의 기능을 담당할 수 있다.
고등학교에서는 조합론적 접근이 시도되면서 이항 분포와 같은 연역적인 확률 계산이 시도되고, 가설 검정의 토대가 되는 표집분포를 유도하거나, 또는 결과만 소개할 수 있다. 통계적 확률은 경험적인 것이기 때문에 어느 단계에서나 확인 가능한 것이 많다. 따라서 이항분포 역시 조합론적으로 얻을 수 있지만, 도수분포를 통해 통계적 확률로 살펴볼 수도 있다. 즉 이론과 실제를 비교해 볼 수 있는 것이다. 이것은 이어지는 통계적 추정 검정에서 자료(도수분포)를 이론적 분포(확률분포)와 비교하여 검정하고 추정하는 통계적 방법의 기본 틀을 이해하는 과정으로 이어지게 된다. 이것은 현재 고등학교 모평균에 관한 신뢰구간을 단순 암기 대신 이해의 과정으로 바꿀 수 있으며 나아가 통계적 방법을 이해하고 통계적으로 사고하는 방법을 익히는 과정이 될 수 있으리라 생각된다.
본 연구는 확률 개념의 발달 과정이 분포개념에서 출발하여 통계적 확률을 거쳐 수학적 확률에 이른다는 가정 아래 교육과정 개선 가능성을 알아보았는데, 후속 연구에서 이러한 방법을 실제로 학생들에게 적용시켜 보고 그 효과를 분석할 필요가 있으리라 생각된다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 연구문제 = 3
• C. 연구의 제한점 = 4
• Ⅱ. 이론적 배경 = 6
• A. 확률 개념의 분석 = 6
• 1. 확률 개념의 역사-발생 = 6
• 2. 확률 의미의 분석 = 11
• 3. 학교수학에서 다루는 확률의 의미 = 16
• 4. 철학적 분석을 통해 나타난 확률의 두 가지 인식론 = 17
• B. 확률의 심리학적 분석 = 19
• 1. Piaget의 연구 = 19
• 2. Fischbein의 연구 = 22
• 3. 확률 개념의 발달 단계 = 23
• Ⅲ. 수학적 확률과 통계적 확률에 관한 교과서 분석 = 26
• A. 분석대상 및 연구방법 = 26
• B. 분석 결과 = 27
• 1. 거시적 분석 = 27
• 2. 미시적 분석 = 35
• Ⅳ. 수학적 확률과 통계적 확률에 관한 교육과정 개선 가능성 = 61
• A. 교과서 분석 결과를 통해 발견된 문제점과 개선 가능성 = 61
• B. 수학적 확률과 통계적 확률의 도입 시기와 순서 = 64
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 72
• 참고문헌 = 76
• 부록 = 79
• ABSTRACT = 83