중등수학영재아들이 공간기하과제 해결과정에서 보여주는 정당화 유형과 수학적 표현에 관한 연구 = Mathematically gifted middle school students' justification patterns and mathematical representations on a task of spacial geometry|RISS 상세보기

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The aims of this study is figure out the characteristics of justification patterns and mathematical representations which are derived from 14 mathematically gifted middle school students (MGMSS) in the process of solving the spatial tasks on Archimedean solids.
In order to achieve the goals of the study, emphasis was put on the following two questions.
1. What are the justification patterns of MGMSS in the process of solving the spatial tasks on Archimedean solids?
2. What are the mathematical representations of MGMSS in the process of solving the spatial tasks on Archimedean solids?
In order to solve these questions, the subjects of the research were 14 MGMSSs who attended spacial geometry lessons in an institute for the gifted students attached to a university located in a local city, which is supported by the government. The each lesson was held for three hours. In-depth interviews were held when supplementary explanation was necessary for certain parts of the thinking process involved in the problem solving which the researchers couldn’t understand, and when the justification process was requested. In order to guarantee the reliability of data collection and analysis, the problem solving process and in-depth interviews were videotaped. Concerning the data analysis, the joint researchers worked together in analyzing the thinking process and continued discussion until an agreement was reached on its characteristics, to avoid the problem of biased opinions from different individuals.
For the Question 1, we established a 2-dimensional framework for justification patterns based on the characteristics of the tasks assigned to students and a number of literatures, so that it may be suitable for concerned tasks in spacial geometry. The framework is as follows:
◁표 삽입▷(원문을 참조하세요)
< Table 1> Framework for justification patterns
Differentiation between partial justification and whole justification is made according to whether all component factors that need to be considered are considered or not. In other words, in the case certain factors are grasped and partial structure of the problem is understood, but the entire structure is not figured out, it is categorized as partial justification, and in the case the essence of the problem is understood and solution is found by bringing together the entire process, it is categorized as whole justification. Distinction between empirical justification and deductive justification is made based on whether one goes further than actual experiences to consider more general and formal methods.
For the Question 2, We investigated the representational systems with an emphasis on verbal representation, visual representation, symbolic representation. We discussed merits and demerits within a representational system but not among each different representational systems. In addition, we analyzed whether MGMSS could create a little more elaborated and transparent representation within a representational system.
A summary of results obtained from this research is as follows:
This study shows that mathematically gifted students apply different types of justification such as empirical, or deductive justification and partial or whole justification. It would be necessary to pay attention to the value of informal justification, by comparing the response of student who understood the entire transformation process and provided a reasonable explanation considering all component factors although presenting informal justification and that of student who showed formalization process based on partial analysis.
Visual representation plays an valuable role in finding out the idea of solving the problem and grasping the entire structure of the problem.
We found that gifted students tried to create elaborated symbols by consolidating mathematical concepts into symbolic representations and modifying them while gradually developing symbolic representations.
In conclusion, This study on justification patterns and mathematical representation of mathematically gifted students dealing with spacial geometry tasks provided an meaningful opportunity for understanding their the characteristics of spacial geometrical thinking and expending their thinking. Assigning spacial geometry tasks to students who are familiar with solving plane geometry tasks is considered to be appropriate for enhancing the students’thinking. Follow-up studies on other spacial geometry tasks in which various thinking elements such as analogy, specialization, generalization, etc. (Polya, 1981) are required. In addition, there needs to be continued studies on the principles of education and learning in spacial geometry that offers rich justifying experiences.

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국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 중등수학영재아들이 아르키메데스 다면체를 소재로 한 공간기하과제를 해결하면서 보여주는 정당화 유형과 수학적 표현 방식에 대해서 살펴보는데 있다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.
1. 아르키메데스 다면체 탐구과제 해결 과정에서 나타나는 수학영재아들의 정당화 방식은 어떠한가?
2. 아르키메데스 다면체의 제작과정에서 나타나는 수학영재아들의 수학적 표현 방식은 어떠한가?
이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 3시간 단위의 공간기하수업에 참여한 중학교 2학년 수학영재아 14명을 대상으로 연구하였다. 이들은 중소도시에 거주하면서 또래 연령의 상위 1%이내에 속하며, 영재교육진흥법에 따라 운영되는 대학부설 과학영재교육원에 선발되어 6개월 이상의 교육을 받아왔다. 이들은 모두 정다면체와 오일러 정리에 대해 이해하고 있으며, 아르키메데스 다면체를 공부한 적은 없다. 사전조사를 통해 아르키메데스 다면체 관련 내용을 알고 있는 3명의 학생은 제외했기 때문에 총 17명 학생 중 14명만 본 연구에 참여시켰다.
연구문제1을 해결하기 위해서 정당화 유형을 추론방법에 따라 구체적인 경험과 예에 주목하는 비형식적 방법인 ‘경험적(empirical) 정당화’와 구체적인 경험에 한정하는 것이 아니라 보다 일반적이고 형식적인 방법까지 생각하는 ‘연역적(deductive) 정당화’로 구분하였다. 또한 주어진 과제에서 구성요소들을 고려하는 방식에 따라 특정요소를 포착하고 문제의 부분적 구조까지는 파악하지만 전체적인 구조를 찾지 못하는 경우에는 ‘부분적(partial) 정당화’로, 문제의 본질을 파악하고 전체적인 과정을 총괄하여 해결하는 경우에는 ‘전체적(whole) 정당화'로 각각 구분하여 분석하였다.
연구문제2를 위해서는 수학적 표현체계 중 언어적 표현, 시각적 표현, 기호적 표현을 중심으로 살펴보았다. 서로 다른 표현체계 간에는 서로 대등한 입장에서 우열의 문제가 아닌 선호의 문제라는 입장(장혜원, 1997)을 취하지만, 한 표현체계 내에서는 대등한 입장보다는 좀 더 정교한 표현이 가능하다는 입장(Harel & Kaput, 1994)에서, 표현에서의 정교성과 투명성 여부를 살펴보았다.
연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다.
1. ‘연구문제 1’ 에서는 구체적인 예에 한정하여 정당화를 시도하는 경험적(empirical) 정당화 반응과 구체적인 예를 확장하여 보다 일반적이고 형식적인 방법까지 고려해서 정당화를 시도하는 연역적(deductive) 정당화 반응(Marrades & Gutierrez, 2000; Gutierrez, et al., 2004)이 전체적으로 고르게 나타났다. 또한 문제의 부분적인 구조와 특정요소를 통해서 부분적으로 접근하는 부분적(partial) 정당화 반응과 문제의 본질과 전체적인 구조를 총괄하여 정당화를 시도하는 전체적(whole) 정당화 반응 역시 고르게 분포하고 있었다. 이는 동일한 영재교육과정에 따라 수업에 참여하는 아동들 사이에도 정당화의 수준에는 차이가 있음을 보여준다. 특히, 비록 비형식적인 경험적 정당화의 반응을 보이긴 했지만, 전체적인 변화과정을 통찰하고, 모든 구성요소들을 고려하여 합리적으로 설명하고 있는 학생들의 반응과 부분적인 분석에 의한 형식화과정을 거친 학생들의 반응을 서로 비교해 봄으로써, 비형식적 증명의 유용성에 분명한 주의를 기울일 필요가 있다. 정당화 과정에서 너무 빨리 형식화를 요구하기 보다는 좀 더 다양하고 충분한 비형식적 경험을 통해 점진적으로 형식화로 안내되어야 할 것이다. 영재들을 위한 교수학적 상황 역시 비형식적 추론의 발전을 이끌어 다양한 종류의 추론에 의해 형식적인 증명에 접근하도록 해야 한다(이경화, 2005).
2. ‘연구문제 2’ 에서 주어진 문제의 해결을 위해 실험에 참여한 수학영재아들은 시각적 표현을 통해서 규칙성과 패턴과 같은 수학적인 아이디어를 발견해 내면서 그것을 점진적으로 기호적 표현으로 발전시키는 모습을 보여주었다. 수학영재아들이 만들어낸 기호적 표현을 서로 비교해 보았을 때, 그들의 표현이 표면적으로는 매우 유사하였으나 표현 속에 함축된 수학적 의미에 있어서는 수학적 능력의 정도가 다르게 나타났다. 뿐만 아니라, 기호적 표현을 점진적으로 발전시키는 과정에서 수학적 개념을 표현 속에 함축시키고 정제시켜서 보다 정교한 기호(Harel & Kaput, 1994)를 창출하려는 수학영재아들의 욕구를 발견할 수 있었다.
결론적으로 본 실험을 통해 수학영재아들의 정당화 능력에 대한 정보와 비형식적 정당화의 유용성에 대해서 재확인하였을 뿐 아니라, 그들의 표현능력에 대한 정보를 얻을 수 있었다. 전통적인 수업방식에서 표현을 제시받는 데에만 익숙했던 상황에서 탈피하여 스스로 직접 표현을 산출해 볼 수 있는 기회를 제공함으로서 수학적 개념과 사고를 개발해 나아가는 과정으로서의 표현체계에 대한 새로운 인식이 가능하리라고 여겨진다.

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본 연구의 목적은 중등수학영재아들이 아르키메데스 다면체를 소재로 한 공간기하과제를 해결하면서 보여주는 정당화 유형과 수학적 표현 방식에 대해서 살펴보는데 있다. 이러한 목적을 ...

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