작도를 활용한 탐구학습이 증명활동에 미치는 효과 = Effects of inquiry learning using construction on proof activities

국문 초록 (Abstract)

이 연구의 목적은 증명교육의 중요함에도 불구하고 현재의 증명수업에 많은 수의 학생이 참여하지 못하는 어려움을 인식하여 이에 대한 대안을 찾고자 함이다. 이에 성적이 중하위인 중학교 2학년 학생을 대상으로 작도를 활용한 탐구활동이 증명학습에 미치는 효과를 알아보고자 한다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 작도를 활용한 탐구활동은 중하위 학생들이 명제를 이해하고 증명을 이끌어내는데 어떠한 영향을 미치는가?
2. 작도를 활용한 탐구활동의 경험은 연역적 증명 과정 중 어떻게 나타나는가?
3. 탐구활동의 도구로 작도를 이용함으로써 증명학습에 도움이 되는 점은 무엇인가?
이 연구 문제를 해결하고자 증명을 접한 경험이 없는 중학교 2학년 학생 중 수학 성적이 중하위인 4명을 대상으로 질적 사례연구를 실시하였다. 탐구활동을 통하여 증명을 접할 수 있도록 구성한 7차시의 증명수업을 실시하여 매 시간 수집된 비디오 동영상과 오디오 전사자료 및 학생들의 활동지, 면담자료 등을 이용하여 연구문제에 해당하는 특징을 추출하여 검토하였다.
연구 문제 1에 대한 결과는 다음과 같다.
첫째, 탐구활동을 통하여 증명할 명제를 스스로 발견할 뿐 아니라 이미 학습한 도형의 성질을 재인식하게 되는 등 도형의 성질을 파악하게 된다.
둘째, 탐구활동은 증명할 명제를 만들어가는 활동이다. 이를 통해 학습의 즐거움과 증명에 대한 동기를 발견하게 된다.
셋째, 탐구활동을 함으로써 증명할 명제를 구체화하게 되고 거듭되는 발견은 명제에 대한 확신과 심리적 정당화를 제공한다. 이를 통해 증명에 대한 자신감을 부여받아 자연스럽게 연역적 증명으로 이어지게 된다.
넷째, 작도 방법의 모색과 이를 설명하는 활동을 통해 반성적 사고와 증명을 경험할 수 있다.
다섯째, 탐구활동을 통하여 증명에 대한 아이디어와 증명의 방법을 발견할 수 있다.
연구 문제 2의 결과는 다음과 같다.
첫째, 주어진 조건인 가정만을 이용하여 증명을 만들어가는 활동이 가정과 결론을 나누는데 도움을 준다.
둘째, 탐구활동 중 토론이나 증명쓰기 활동에 기호가 필요함을 스스로 인식하고 자연스럽게 기호를 붙이게 된다.
연구 문제 3의 결과는 다음과 같다.
첫째, 작도를 기하학습의 도구로 사용하게 된다. 즉, 정당화의 도구, 관찰과 발견의 도구로 작도를 사용할 수 있다.
둘째, 문제해결의 도구로 작도를 사용할 수 있다. 작도문제를 활용하여 분석적 사고 활동을 유도할 수 있으며, 증명 문제를 해결하기 위한 도구로 사용하게 된다.
위와 같은 연구 결과에 의하여 작도를 활용한 탐구활동은 학생 스스로 명제를 발견하고 점차적으로 증명을 시도하도록 함으로써, 그동안 증명 수업에 참여할 수 없다고 인식되어지던 중하위 학생들의 증명 학습과 증명 능력을 신장시키는데 효과적이라고 할 수 있다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to examine the effects of inquiry activities using construction on proof learning. The research questions in this study are as following :
1. What is effects the inquiry activities using construction of students with middle-low academic performance on the understanding proposition and the deriving its mathematical proof?
2. How do the experiences of inquiry activities using construction appear during the process of deductive proof?
3. What are beneficial to the proof learning by using construction as a tool for inquiry activities?
In order to solve the said research questions, the study performed a qualitative case study for four 8^(th) grade students with middle-low academic performance in mathematics with none learning experience in mathematical proof. The 7 lessons regarding proof were performed for students to be exposed to the mathematical proof through inquiry activities. In addition, the study extracted and reviewed the characteristics corresponding to research questions using video moving images, audio materials for its complete history, students' work sheet, and interview materials collected.
The results of research question 1 were as follows:
First, not only could students figure out the proposition that was to be proved through inquiry activities on their own, but also they could get to know the properties of figures through such as the re-recognition of figures learned previously.
Second, inquiry activities were conducted for the purpose of creating a proposition that would be proven. Through these activities, students were able to a motivation for the pleasure of learning and proof.
Third, by doing inquiry activities, students could concretize the proposition that would be proved and their repetitive discovery provided them with a conviction for proposition and psychological justification. Through this, they were endowed with a sense of confidence for proof, thus leading naturally to the deductive proof.
Fourth, students could experience reflective thought and proof through the process of finding methods of construction and the activities of explaining them. Fifth, students were able to discover the methods of ideas and mathematical proof based on inquiry activities.
The results of research question 2 were as follows:
First, the activities of creating mathematical proof using the hypothesis as a given condition were helpful in dividing hypothesis and conclusion.
Second, students recognized on their own the necessity of signals in discussion or writing of proof during inquiry activities, thus naturally adding them.
The results of research question 3 were as follows:
First, students could use construction as a tool for geometry learning. Namely, they were able to use them as a tool for justification, observation and discovery.
Second, students could use the construction as a tool for problem solving. By using the questions regarding construction, students were led to conduct analytical thinking activities and the construction were used as a tool for solving the proof questions.
The inquiry activities using construction enabled students to discover proposition and attempt to conduct the proof gradually, thus contributing to the enhancement of proof learning and ability of students with middle-low academic performance who had been considered to be incompetent in proof class so far.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 6
• 3. 용어의 정리 = 6
• 4. 연구의 제한점 = 8
• 5. 기대되는 효과 = 9
• Ⅱ. 이론적 배경 = 11
• 1. 작도에 관한 이론적 고찰 = 11
• 가. 기하 학습에서 작도의 의미와 역할 = 13
• 나. 학교 수학에서 작도 = 15
• 2. 증명에 관한 이론적 고찰 = 21
• 가. 증명의 의미와 역할 = 21
• 나. 증명 교육의 관점과 방향 = 25
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 29
• 1. 연구 대상 = 31
• 2. 연구 설계 = 33
• 3. 자료 수집 = 37
• 4. 자료 분석 = 40
• Ⅳ. 결과 및 분석 = 43
• 1. [연구 문제 가]의 결과 = 43
• 가. 증명의 이해 측면 = 43
• 나. 증명의 도입 측면 = 62
• 2. [연구 문제 나]의 결과 = 75
• 가. 가정과 결론의 구분 측면 = 75
• 나. 기호화에 미치는 영향 측면 = 82
• 3. [연구 문제 다]의 결과 = 89
• 가. 기하 학습의 도구로써 작도의 활용 측면 = 89
• 나. 문제 해결의 도구로써 작도의 활용 측면 = 94
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 100
• 참고문헌 = 105
• ABSTRACT = 109