수학적 모델링을 활용한 수업이 초등학교 4학년 수와 연산 학습에 미치는 효과

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The 21st century called the information age is a society in which many issues in actual life are solved in a mathematical way based on mathematical thinking power, judgment and the ability to solve problems. To achieve this, the nation’s 7th mathematics curriculum lays stress upon the ability to solve many problems coming up in actual life, supported by basic mathematical knowledge and function. As a way to cultivate this ability, a mathematical modeling can be figured out. Meantime, the realm of numbers and operations which constitute an important part of the nation’s elementary school’s education is being handled with focus on mechanical and repetitive calculation function without being linked to actual life on the school field. As part of an improvement in this, the researcher thought a mathematical modeling could be applied to the realm of numbers and operations. Accordingly, this study is aimed to identify the effect of the instruction using mathematical modeling had on the elementary school’s 4th graders’ learning of numbers and operations and to analyze the process of learning on applying mathematics appearing at the instruction using mathematical modeling and on situational and practical abstracting.
As for the research problems, this study was intended to find out if the instruction using mathematical modeling appeared to be different from the existing ordinary class in the ability of understanding the concept and theory of numbers and operations, or in the ability of solving the problem linked to actual life with focus on setting up a formula and posing problems, and how the learning on mathematical modeling (the process of learning on applying mathematics and situational and practical abstracting) appeared in the experimental group given an instruction using mathematical modeling.
To solve the research problem, 2 classes of the 4th grade of D Elementary School in Seoul were chosen as the study subject and the experiment was conducted with one of them set as the experimental group and the other as the comparative group. This study was carried out during 18 classes spanning 6 weeks, during which the experimental group was given the instruction using mathematical modeling and the comparative group the ordinary mathematical class according to the 7th mathematics curriculum textbook and teacher’s guidebook. To identify the effect of the instruction using mathematical modeling, the homogeneity of the experimental group and the comparative group was checked after the statistical processing of homogeneity test results and a pre-test on the mathematical ability of the two groups was conducted prior to the experiment. After the class using mathematical modeling and the ordinary one were given to the experiment group and the comparative group for 6 weeks after the pre-test on the mathematical ability, the post-test on mathematical ability of these two groups was conducted. And then by comparing the scores on the two groups’ ability of understanding the concept and theory and solving problems (with focus on setting up a formula and posing problems), two independent sample t test were conducted and thus the analysis was made to see if there was any significant difference in the two groups’ mathematical ability. In addition, while the instruction was being given to the experimental group using mathematical modeling, the analysis was made on the process of learning on applying mathematics and on situational and practical abstraction through learners’ learning activity diaries and teachers’ observation logs.
As a result, the experimental group which was given the instruction using mathematical modeling appeared to be significantly different from the comparative group in mathematical ability and showed a positive effect in learning numbers and operations about the instruction using mathematical modeling. To find out what effect the instruction which used mathematical modeling had on the detailed elements of mathematical ability, two independent sample t tests was conducted according to scores on the ability of understanding the concept and theory, setting up a formula, posing problems. As a result, the instruction using mathematical modeling was shown to be significantly different in the element of posing problems only in the category of the ability of solving problems. In addition, as a result of analyzing learning activity diaries of the experimental group given the instruction using mathematical modeling and teachers’ observation logs, it was able to be found out that the learners in the experimental group were shown to vary according to big figures, multiplication, division, unit of combined calculations, content of classes, mathematical concept and theory which individual learners had and the extent of applying to the context of actual world and abstracting these.
In conclusion, the instruction using mathematical modeling is effective in the elementary school’s 4th graders’ learning of numbers and operations among the activities of posing problems constituting the ability of solving problems and it can be said students were shown to be different according to content of learning, mathematical knowledge learners had and the extent of applying to the context of actual world and abstracting these.
However, the study was conducted on only two classes of the elementary school’s 4th grade and for a short period of time, so the effect, identified herein, has a limit in generalization, necessitating extensive follow-on ones based on grades, regions and realms. In addition, studies on mathematical modeling which was used at middle schools and high schools should be invigorated so that it can settle as en effective teaching-learning methodology at elementary schools. And it is necessary to not only develop evaluation tools that enable an appropriate rating of the ability of solving problems in actual lives of learners, but also foster the condition for developing and sharing diverse teaching-learning methods, programs and data which enable guidance linking the realm of figures and operations to actual life.

국문 초록 (Abstract)

정보화 시대라 일컬어지는 21세기 사회는 수학적 사고력과 판단력 및 문제 해결 능력을 바탕으로 실생활의 여러 문제들을 수학적으로 해결하는 능력이 강조되는 사회로, 이를 위하여 우리나라 제7차 수학과 교육과정은 기본적인 수학적 지식과 기능을 바탕으로 여러 가지 실생활의 문제들을 수학적으로 해결하는 능력을 강조하고 있다. 이러한 능력을 기르는 방법의 하나로 수학적 모델링을 생각해볼 수 있다. 한 편 우리나라 초등수학교육에서 중요한 부분을 차지하고 있는 수와 연산 영역은 학교 현장에서 실생활과 연계되지 못한 채, 기계적이고 반복적인 계산 기능을 위주로 다루어지고 있다. 이에 대한 개선의 일환으로 연구자는 수와 연산 영역에 수학적 모델링을 적용할 것을 생각하였으며, 이에 따라 본 연구는 수학적 모델링을 활용한 수업이 초등학교 4학년 수와 연산 학습에 미치는 효과를 검증하고 수학적 모델링을 활용한 수업에서 나타나는 수학의 응용 학습과 상황적ㆍ실제적 추상화 학습의 과정을 분석하는 것을 목적으로 하였다.
본 연구에서 설정된 연구 문제에서는 수학적 모델링을 활용한 수업은 기존의 일반적인 수업과 비교하여 수와 연산에 관한 개념 및 원리 이해 능력에 있어서 차이가 나타나는지와 식 세우기와 문제 만들기를 중심으로 한 실생활과 연계된 문제 해결 능력에 있어서 차이가 나타나는지, 그리고 수학적 모델링을 활용한 수업을 실시한 실험 집단에서 수학적 모델링의 학습(수학의 응용 학습 및 상황적ㆍ실제적 추상화 학습 과정을 중심으로)은 어떻게 나타나는지를 알아보고자 하였다.
이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 연구 대상으로 서울시 D초등학교 4학년 2개 학급을 정하고, 한 학급은 실험 집단으로, 다른 한 학급은 비교 집단으로 선정하여 실험을 실시하였다. 본 연구는 6주간 18차시에 걸쳐 이루어졌는데, 이 기간 동안 실험 집단은 수학적 모델링을 활용한 수업이 이루어지고, 비교 집단은 제7차 수학과 교육과정과 교과서 및 교사용 지도서에 의한 일반적인 수학 수업으로 이루어졌다. 수학적 모델링을 활용한 수업의 효과를 검증하기 위하여 우선 동질성 검사 결과에 대한 통계 처리를 거쳐 실험 집단과 비교 집단의 동질성을 확인하고, 실험에 들어가기에 앞서 두 집단에 사전 수학적 능력 검사를 실시하였다. 사전 수학적 능력 검사 이후 6주 동안 실험 집단과 비교 집단에 수학적 모델링을 활용한 수업과 일반적인 수업을 실시 한 후, 이들 두 집단에 사후 수학적 능력 검사를 실시하여 두 집단의 개념 이해 능력과 원리 이해 능력, 그리고 문제 해결능력(식 세우기, 문제 만들기를 중심으로) 점수를 비교하여 두 독립표본 t 검정을 실시함으로써 두 집단이 수학적 능력에서 유의미한 차이를 나타나는지 분석하였다. 또한 실험 집단에서 수학적 모델링을 활용한 수업이 이루어지는 동안 수집된 학습자들의 학습 활동지 및 교사 관찰 일지 등을 통해 수학적 모델링 수업에서 나타나는 수학의 응용 학습과 상황적ㆍ실제적 추상화 학습 과정을 분석하였다.
그 결과 수학적 모델링을 활용한 수업이 이루어진 실험 집단은 비교 집단에 비하여 수학적 능력에 있어서 의미있는 차이를 보이며, 수학적 모델링 활용 수업에 대한 수와 연산 학습에서의 긍정적인 효과를 나타내었다. 수학적 모델링을 활용한 수업은 수학적 능력의 세부 요소에 있어서는 어떤 효과를 나타내는지를 알아보기 위하여 개념 이해 능력과 원리 이해 능력, 그리고 식 세우기, 문제 만들기의 점수별로 두 독립표본 t 검정을 실시한 결과 수학적 모델링을 활용한 수업은 문제 해결 능력 중 문제 만들기 요소에서만 의미있는 차이를 나타내었다. 또한 수학적 모델링을 활용한 수업을 실시한 실험 집단의 학습 활동지와 교사의 관찰 일지를 분석한 결과 실험 집단의 학습자들은 큰 수, 곱셈과 나눗셈, 혼합 계산의 단원별, 차시별 내용에 따라서, 그리고 학습자 개개인이 가진 수학적 개념 및 원리와 이를 실세계 맥락에 적용하고 추상화하는 정도에 따라 각기 다르게 나타남을 알 수 있었다.
결론적으로 수학적 모델링을 활용한 수업은 문제 해결 능력 중 문제 만들기 부분에 있어서 초등학교 4학년 수와 연산 학습에 효과가 있으며, 학생들은 학습 내용 및 학습자 자신이 가진 수학적 지식과 이를 실세계 맥락에 적용하고 추상화하는 정도에 따라 다르게 나타난다고 할 수 있다.
그러나 이와 같은 연구 결과는 초등학교 4학년의 두 학급에 국한되어 실시되었고, 또한 단기간에 실시되어 그 효과가 검증된 것이므로 일반화시키는 데에 제한점을 가지므로 학년별, 지역별 영역별로 확대하여 검증하는 후속 연구가 요구된다. 또한 이제까지 중학교와 고등학교에서만 활용되어 왔던 수학적 모델링은 초등학교에서도 효과적인 교수-학습 방법으로 정착될 수 있도록 초등과 관련된 수학적 모델링 활용 연구가 활성화되어야 할 것이다. 그리고 학습자의 실생활 문제 해결 능력을 타당하게 평가할 수 있는 평가 도구의 개발과 함께, 아울러 수와 연산 영역을 실생활과 연계하여 지도할 수 있는 다양한 교수-학습 방법이나 프로그램 및 자료 등을 개발하고 공유할 수 있는 여건의 조성이 필요하다고 하겠다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 연구문제 = 3
• C. 용어의 정의 = 4
• Ⅱ. 이론적 배경 = 5
• A. 수학적 모델링 = 5
• 1. 수학적 모델과 수학적 모델링의 개념 = 5
• 2. 수학적 모델링의 과정 = 7
• 3. 수학적 모델링의 역할 = 11
• 4. 수학적 모델링의 도입 = 16
• B. 수학적 능력 = 21
• 1. 수학적 능력의 정의 = 21
• 2. 수학적 능력의 범주 = 21
• C. 제7차 수학과 교육과정 수와 연산 영역 분석 = 26
• 1. 초등 수학에서의 수와 연산 = 26
• 2. 초등학교 수와 연산 학습의 문제점과 개선방향 = 29
• D. 선행 연구 고찰 = 31
• Ⅲ. 연구 방법 = 35
• A. 연구 대상 = 35
• 1. 연구 대상의 선정 = 35
• 2. 실험 집단과 비교 집단의 동질성 = 36
• B. 연구 설계 = 37
• 1. 실험 설계 = 37
• 2. 학습 과정 분석을 위한 설계 = 38
• 3. 수학적 모델링을 활용한 수업 설계 = 39
• C. 연구 절차 = 40
• 1. 예비 연구 = 41
• 2. 본 연구 = 42
• D. 연구 도구 = 48
• 1. 사전 수학적 능력 검사 = 49
• 2. 사후 수학적 능력 검사 = 58
• 3. 수학의 응용 학습과 상황적ㆍ실제적 추상화 학습 사례 분석 기준 및 내용 = 67
• E. 자료 처리 = 69
• Ⅳ. 연구 결과 및 해석 = 71
• A. 수학적 모델링 활용 수업에서 나타난 수와 연산 단원의 수학적 모델링 학습 과정 = 71
• 1. 수학의 응용 학습 = 72
• 2. 상황적ㆍ실제적 추상화 학습 = 84
• B. 실험 집단과 비교 집단의 수와 연산 학습에서의 차이 = 100
• 1. 수와 연산 영역에 대한 사전ㆍ사후 수학적 능력 검사 결과 = 100
• 2. 개념 이해에서의 차이 = 101
• 3. 원리 이해에서의 차이 = 103
• 4. 식 세우기에서의 차이 = 104
• 5. 문제 만들기에서의 차이 = 105
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 113
• A. 결론 = 113
• B. 제언 = 116
• 참고문헌 = 118
• 부록목차 = 122
• ABSTRACT = 150