On a generalized class of Noetherian rings : 일반화된 노이더환

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this thesis, we study (1) nonnil-Noetherian rings and (2) S-Noetherian
rings, and (3) the combination of these two concepts.

In Chapter 2, we define the class of Sw-Noetherian rings which includes
the class of S-Noetherian rings. We see that the class of rings is
naturally induced by S-equivalence and the Sw-ascending chain condition.
We also characterise the rings that are S-Artinian and Sw-Artinian
in terms of the S-Noetherian property and the Krull dimension of the
rings.

In Chapter 3, we integrate the concepts S-Noetherian rings and
nonnil-Noetherian rings into nonnil-S-Noetherian rings.We study some
properties on nonnil-S-Noetherian rings and give many examples. The
Hilbert basis theorem and Cohen type theorem are studied in this chapter.

In Chapter 4, we define (ϕ, S)-Noetherian rings which correspond to
ϕ-Noetherian rings. We study the relationship between (ϕ, S)-Noetherian
rings and nonnil-S-Noetherian rings. We conssider the flat extension
of (ϕ, S)-Noetherian rings. Moreover, we find characterizations of
(ϕ, S)-Noetherian rings in terms of nonnil-S-Noetherian rings and ϕ-rings.

In Chapter 5, we study the Nagata’s idealization on nonnil-S-Noetherian
rings and (ϕ, S)-Noetherian rings. We prove equivalent conditions
for the Nagata’s idealization of nonnil-S-Noetherian rings to be nonnil-
S-Noetherian rings. Moreover, we find the condition under which the
nilradical of the idealizaion is S-finite. We also consider the Nagata’s
idealization of ϕ-rings.

In Chapter 6, we study amalgamations of nonnil-S-Noetherian rings
and (ϕ, S)-Noetherian rings with some ideals.We prove characterization
results for the amalgamations of nonnil-S-Noetherian rings and (ϕ, S)-
Noetherian rings. Moreover, we define S-finite homomorphism, and see
some relations with the S-finite homomorphism and the amalgamations
of nonnil-S-Noetherian rings with some ideals.

In Chapter 7, we study power series ring extensions of nonnil-SNoetherian
rings. We, especially, look at the Hilbert basis theorem.
Some results on S-Noetherian rings are obtained through studying
nonnil-S-Noetherian rings. In addition to that, we observe some behaviours
of prime ideals based on the height of the primes.

In Appendix A, we list a various examples showing that the various
classes of rings studied in this thesis are distinct.

국문 초록 (Abstract)

정수론과 대수기하학에서 주로 연구되는 정수환, 데데킨드 정역, 체 위에서의 다항식환
등은 모두 노이더환이다. 노이더 성질은 자연스럽게 나타나는 성질이며 상당히 좋은
성질이기에 많은 대수학자가 이러한 성질을 잘 이용하고 있다. 이처럼 노이더 환의
중요성에 의해 이것의 일반화된 환 들에 관한 연구도 이루어져 왔다. 본 학위논문에
서는 멱영 아닌 노이더환, S 노이더환을 연구하고 이 두 가지 개념을 통합하는 연구를
진행한다.

2장에서는 S 노이더환을 포함하는 개념인 Sw 노이더환을 정의한다. 이러한 개념은
S-동치 조건과 Sw 오름 사슬 조건에 의해서 자연스럽게 정의된다. 또한 S 아틴 환 들과
Sw 아틴 환 들에 관한 몇 가지 동치 조건들을 증명한다.

3장에서는 S 노이더환과 멱영 아닌 노이더환을 통합하여 멱영 아닌 S 노이더환
개념을 정립한다. 많은 예제와 함께 멱영 아닌 S 노이더환의 성질들을 살펴보고 S 노
이더환과 멱영 아닌 노이더환과의 관계를 살펴본다. 힐베르트 기저 정리와 코헨 정리
등을 연구한다.

4장에서는 ϕ 노이더환의 일반화된 개념인 (ϕ, S) 노이더환을 정의한다. (ϕ, S) 노이
더환과 멱영 아닌 S 노이더환과의 관계를 살펴본다. (ϕ, S) 노이더환의 평탄 확장에
관해서 연구한다. 또한 (ϕ, S) 노이더환의 동치 조건들을 살펴본다.

5장에서는 멱영 아닌 S 노이더환과 (ϕ, S) 노이더환의 나가타의 환 확장에 관해서
연구한다. 멱영 아닌 S 노이더환의 나가타의 환 확장이 멱영 아닌 S 노이더환이 될 동치
조건들을 살펴본다. 또한 나가타의 환 확장에서 영근기가 S 유한이 되기 위한 조건을
살펴본다. ϕ 환의 나가타의 환 확장에 대한 몇 가지 특성화 정리들도 연구한다.

6장에서는 멱영 아닌 S 노이더환과 (ϕ, S) 노이더환의 아이디얼과의 아말감에 관
해서 살펴본다. 아말감의 영근기에 대해서 살펴본다. 멱영 아닌 S 노이더환과 (ϕ, S)
노이더환의 아이디얼과의 아말감의 특성화 정리를 연구한다. 또한 S 유한 준동형사상
을 정의하고 이것과 멱영 아닌 S 노이더환의 연관관계를 살펴본다.

7장에서는 멱영 아닌 S 노이더환의 멱급수 확장에 관해서 연구한다. 특별히 힐베르
트기저정리를증명한다.기존에알려진S 노이더환에관한몇가지정리를멱영아닌S
노이더환의 연구로부터 유도할 것이다. 또한 소아이디얼의 차원에 따른 소아이디얼의
S 유한 성질에 관한 연구도 한다.

부록에서는 본 학위논문에서 다루어진 다양한 예제들을 망라한다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 1.1 Motivations 1
• 1.2 Preliminaries 6
• 2 On S-Noetherian Rings 13
• 2.1 Asecnding Chain Condition on S-Noetherian Rings 13
• 2.2 Descending Chain Condition on S-Noetherian Rings 19
• 2.3 S-Equivalence 22
• 3 On Nonnil-S-Noetherian Rings 29
• 3.1 Cohen Type Theorem 30
• 3.2 In Relation to S-Noetherian Rings 32
• 3.3 In Relation to Nonnil-Noetherian Rings 38
• 3.4 Polynomial Ring Extension 45
• 4 On (ϕ, S)-Noetherian Rings 53
• 4.1 (ϕ, S)-Noetherian Ring Definitions and Examples 53
• 4.2 The Flat Extension 55
• 4.3 Characterization Results for (ϕ, S)-Noetherian Rings 57
• 5 The Nagata's Idealization 67
• 5.1 Embedding to Matrix Spaces 67
• 5.2 When R(+)M is a Nonnil-(S(+)M)-Noetherian Ring 69
• 5.3 When the Nilradical is S-finite 72
• 5.4 The Nagata's Idealization of ϕ-rings 76
• 6 The Amalgamated Algebra along an Ideal 81
• 6.1 The Nilradical of the Amalgamated Algebra 81
• 6.2 Amalgamated Algebra over (ϕ, S)-Noetherian Rings 85
• 6.3 S-finite Homomorphism 89
• 7 Power Series Ring Extension 95
• 7.1 The Hilbert Basis Theorem 95
• 7.2 The Height of Prime Ideals and S-finite Property 102
• A Examples 105
• A.1 An S-Noetherian ring which is not Noetherian 105
• A.2 A nonnil-Noetherian ring which is not Noetherian 106
• A.3 A ϕ-Noetherian ring which is not Noetherian 106
• A.4 (ϕ, S)-Noetherian ring which is not ϕ-Noetherian 106
• A.5 A nonnil-S-Noetherian ring which is not S-Noetherian, not nonnil-Noetherian and not (ϕ, S)-Noetherian 107
• Bibliography 109

참고문헌 (Reference)

1 M.J. Kwon and J.W . Lim, "On nonnil-S-Noetherian rings1-14", 8 , 1428 (, 2020

2 J. Baeck , G. Lee , and J.W . Lim ,, "S-Noetherian rings and their extensions", 20 (, 2016

3 S. Hizem and A. Benhssi ,, "Nonnil-Noetherian rings and the SFT property", 41 (, 2011

4 B.G . Kang and M.H . Park, "A localization of a power series ring over a valuation domain", 140 (107 ? 124, 1999

5 J.W . Lim and D.Y . Oh ,, "S-Noetherian properties of composite ring extensions2820 ? 2829", 43 (, 2015

6 J.W . Lim and D.Y . Oh ,, "S-Noetherian properties on amalgamated algebras along an ideal1075-1080", 218 (, 2014

7 M. D ’ Anna , C.A . Finocchiaro , and M. Fontana ,, "Properties of chains of prime ideals in an amalgamated algebra along an ideal", 214 (, 2010

8 D.K . Kim and J.W . Lim ,, "The Cohen type theorem and the Eakin-Nagata type theorem for S-Noetherian rings revisited", 50 (, 2020