가능도함수를 이용한 불연속점 수의 추정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2010 한국데이터정보과학회지 Vol.21 No.1

일반화선형모형에서 회귀함수가 하나의 불연속점을 가질 때, Huh (2009)는 하나의 모수를 가지는 지수족의 가능도함수를 한쪽방향커널을 이용하여 그 불연속점의 위치와 점프크기를 추정하였다. 이 논문에서는 미지의 불연속점 수 q개를 가지는 회귀함수인 경우에, Huh (2009)가 제안한 점프크기 추정량의 점근분포를 이용한 가설검정법을 소개하고, 그 가설검정법을 이용한 불연속점 수를 추정하는 알고리듬을 제안하고, 모의실험을 통하여 추정의 정도를 알아보고자 한다. In the case that the regression function has a discontinuity point in generalized linear model, Huh (2009) estimated the location and jump size using the log-likelihood weighted the one-sided kernel function. In this paper, we consider estimation of the unknown number of the discontinuity points in the regression function. The proposed algorithm is based on testing of the existence of a discontinuity point coming from the asymptotic distribution of the estimated jump size described in Huh (2009). The finite sample performance is illustrated by simulated example.

불연속 로그분산함수의 커널추정량들의 비교 연구

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2014 한국데이터정보과학회지 Vol.25 No.1

분산함수가 불연속인 경우 Kang과 Huh (2006)는 잔차제곱을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량으로 분산함수를 추정하였다. 음의 실수 값도 가질 수 있는 로그분산함수를 추정 대상으로 하여, 오차제곱의 분포를 ${\chi}^2$-분포로 가정하고 국소선형적합을 이용한 불연속 로그분산함수의 추정이 Huh(2013)에 의해 연구되었다. Chen 등 (2009)은 연속인 로그분산함수를 로그잔차제곱을 이용한 국소선형적합으로 추정하였다. 본 연구는 Chen 등의 추정법을 이용하여 불연속인 로그분산함수의 추정량을 제시하였다. 기존의 제안된 불연속인 로그분산함수의 추정량들과 제안된 추정량을 모의실험을 통하여 비교연구하고자 한다. 한편, 로그분산함수가 연속이지만 그 미분된 함수가 불연속일 경우, Huh (2013)의 방법과 제안된 방법으로 적합된 국소선형의 기울기를 이용하여 불연속인 미분된 로그 분산함수의 추정량을 제시하고자 한다. 이들 추정량의 비교 연구 또한 모의실험을 통하여 제시하고자 한다. In the regression model, Kang and Huh (2006) studied the estimation of the discontinuous variance function using the Nadaraya-Watson estimator with the squared residuals. The local linear estimator of the log-variance function, which may have the whole real number, was proposed by Huh (2013) based on the kernel weighted local-likelihood of the ${\chi}^2$-distribution. Chen et al. (2009) estimated the continuous variance function using the local linear fit with the log-squared residuals. In this paper, the estimator of the discontinuous log-variance function itself or its derivative using Chen et al. (2009)'s estimator. Numerical works investigate the performances of the estimators with simulated examples.

교차타당성을 이용한 확률밀도함수의 불연속점 추정의 띠폭 선택

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2012 한국데이터정보과학회지 Vol.23 No.4

교차타당성은 커널추정량의 평활모수인 띠폭의 선택 방법으로 흔히 활용되고 있다. 연속인 확률밀도함수의 커널추정량의 띠폭 선택으로 널리 쓰이는 교차타당성 방법으로는 최대가능도교차타당성과 더불어 최소제곱교차타당성과 편의교차타당성이 있다. 확률밀도함수가 하나의 불연속점을 가질 때, Huh (2012)는 불연속점 추정을 위한 커널추정량의 띠폭 선택으로 최대가능도교차타당성을 이용한 방법을 제시하였다. 본 연구에서는 Huh (2012)에 의해 최대가능도교차타당성으로 제안된 띠폭선택의 방법과 같이 한쪽방향커널함수를 이용한 최소제곱교차타당성과 편의교차타당성으로 띠폭 선택 방법을 제시하고, 이들 띠폭 선택 방법들과 Huh (2012)의 최대가능도교차타당성을 이용한 띠폭 선택 방법을 모의실험을 통하여 비교연구 하고자 한다. The cross-validation is a popular method to select bandwidth in all types of kernel estimation. The maximum likelihood cross-validation, the least squares cross-validation and biased cross-validation have been proposed for bandwidth selection in kernel density estimation. In the case that the probability density function has a discontinuity point, Huh (2012) proposed a method of bandwidth selection using the maximum likelihood cross-validation. In this paper, two forms of cross-validation with the one-sided kernel function are proposed for bandwidth selection to estimate the location and jump size of the discontinuity point of density. These methods are motivated by the least squares cross-validation and the biased cross-validation. By simulated examples, the finite sample performances of two proposed methods with the one of Huh (2012) are compared.

가능도함수를 이용한 로그분산함수의 불연속점 검정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2009 한국데이터정보과학회지 Vol.20 No.1

회귀모형의 분산함수가 알려져 있지 않은 한 점에서 불연속이라 가정하자. Yu와 Jones (2004)는 음이 아닌 값을 취하는 분산함수를 실수 값을 취하도록 하기 위하여 로그 변환하였고, 변환된 로그분산함수를 국소다항적합으로 추정하였다. 로그분산함수의 국소다항적합을 이용하여, Huh (2008)는 분산함수의 불연속점의 추정하는 대신 로그분산함수의 불연속점을 추정하였다. 본 연구는 Huh의 점프의 크기 추정량의 점근분포를 이용하여 로그분산함수의 불연속점의 존재여부에 대한 가설검정을 제안하고, 제안한 방법에 대한 모의실험 결과를 제시하고자 한다. Let us consider that the variance function in regression model has a discontinuity/change point at unknown location. Yu and Jones (2004) proposed the local polynomial fit to estimate the log-variance function which break the positivity of the variance. Using the local polynomial fit, Huh (2008) estimate the discontinuity point of the log-variance function. We propose a test for the existence of a discontinuity point in the log-variance function with the estimated jump size in Huh (2008). The proposed method is based on the asymptotic distribution of the estimated jump size. Numerical works demonstrate the performance of the method.

잔차 수정을 이용한 불연속 분산함수의 비모수적 추정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2016 한국데이터정보과학회지 Vol.27 No.1

대부분의 불연속 회귀함수의 커널추정량은 알고 있거나 추정된 불연속점을 기준으로 자료를 분리하여 각각을 독립적으로 회귀함수를 적합하고 있다. 회귀모형에서 분산함수가 불연속점을 가지고 있을 때에도 잔차제곱들을 이용하여 위와 같은 불연속 회귀함수의 커널추정법을 활용하고 있다. Kang 등 (2000)은 $M{\ddot{u}}ller$ (1992)의 불연속점과 점프크기 커널추정량을 이용하여 반응변수의 표본을 연속인 회귀함수로부터 표본인 것처럼 수정하여 불연속 회귀함수를 추정하였다. 본 연구에서는 불연속 분산함수를 추정하기 위하여 Kang 등 (2000)의 방법을 이용한다. Kang과 Huh (2006)의 분산함수의 불연속점과 점프크기 추정량으로 잔차제곱들을 수정하고, 수정된 잔차제곱들을 이용하여 불연속 분산함수 커널추정량을 제안할 것이다. 제안된 추정량의 적분제곱오차의 수렴속도를 보여주고 모의실험을 통하여 기존의 추정량과 제안된 추정량을 비교하고자 한다. In usual, the discontinuous variance function was estimated nonparametrically using a kernel type estimator with data sets split by an estimated location of the change point. Kang et al. (2000) proposed the Gasser-$M{\ddot{u}}ller$ type kernel estimator of the discontinuous regression function using the adjusted observations of response variable by the estimated jump size of the change point in $M{\ddot{u}}ller$ (1992). The adjusted observations might be a random sample coming from a continuous regression function. In this paper, we estimate the variance function using the Nadaraya-Watson kernel type estimator using the adjusted squared residuals by the estimated location of the change point in the discontinuous variance function like Kang et al. (2000) did. The rate of convergence of integrated squared error of the proposed variance estimator is derived and numerical work demonstrates the improved performance of the method over the exist one with simulated examples.

확률밀도함수의 불연속점 추정을 위한 띠폭 선택

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2012 한국데이터정보과학회지 Vol.23 No.1

Huh (2002)는 확률밀도함수가 하나의 불연속점을 가질 때, 한쪽방향커널함수를 이용하여 확률 밀도함수의 오른쪽과 왼쪽 커널추정량을 제시하여 그 차를 최대로 하는 점을 불연속점의 위치추정량으로 제안하였다. 커널추정량의 평활모수인 띠폭의 선택의 중요함은 익히 알려져 있다. 최대가능도 교차타당성은 확률밀도함수의 커널추정량에서 띠폭 선택의 기준으로 널리 쓰여지고 있다. 본 연구에서는 한쪽방향커널함수를 이용한 확률밀도함수의 오른쪽과 왼쪽 커널추정량들의 띠폭의 선택 방법을 Hart와 Yi (1998)의 한쪽방향교차타당성의 방법론을 최대가능도교차타당성에 적용하여 제안하고자 한다. 소표본 모의실험을 통하여 연구결과를 제시하고자 한다. In the case that the probability density function has a discontinuity point, Huh (2002) estimated the location and jump size of the discontinuity point based on the difference between the right and left kernel density estimators using the one-sided kernel function. In this paper, we consider the cross-validation, made by the right and left maximum likelihood cross-validations, for the bandwidth selection in order to estimate the location and jump size of the discontinuity point. This method is motivated by the one-sided cross-validation of Hart and Yi (1998). The finite sample performance is illustrated by simulated example.

불연속 확률밀도함수의 커널 추정

허집(Jib Huh) 한국데이터정보과학회 2022 한국데이터정보과학회지 Vol.33 No.1

본 연구에서는 불연속점을 가지는 확률밀도함수의 커널추정량을 제안한다. 불연속점의 위치 추정량과 불연속점에서의 점프크기 추정량은 한쪽방향커널함수를 이용하여 Huh (2002)에 의해 제안되었다. 한편, Huh (2012a, 2012b)는 확률밀도함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 커널추정량에서 사용되는 평활 모수인 띠폭의 선택 방법들을 교차타당성을 이용하여 제시하였다. 불연속점에서의 커널 추정량이 가지는 추정의 문제점은 경계점의 커널추정량이 가지는 추정의 문제점과 유사하다. 확률밀도함수의 경계점 문제를 극복하기 위하여 Schuster (1985)는 표본의 대칭화를 활용하였으며, Cline과 Hart (1991)는 Schuster (1985)의 방법으로 불연속점에서 일어나는 추정량의 편의에 대한 문제를 보완할 수 있는 커널추정량을 제안하였다. 본 연구에서는 불연속점에서 표본을 두 부분으로 분리하여 각 분리된 표본으로 경계점에서 사용되고 있는 커널함수를 이용하여 불연속점에서의 확률밀도함수를 추정하고자 한다. 제안한 확률밀도함수의 커널추정량들과 Cline과 Hart (1991)의 불연속 확률밀도 함수의 커널추정량를 모의 실험을 통하여 비교연구하고자 한다. In this paper, we propose a kernel type estimator of a probability density function with a discontinuity point. The kernel estimators of the location of the discontinuity point and its jump size were proposed by Huh (2002) using a one-sided kernel function. Based on the cross-validation, Huh (2012a, 2012b) proposed methods for bandwidth selection, which is a smoothing parameter used in the kernel estimators of the location of the discontinuity point and its jump size. The estimation problem of the kernel estimator at the discontinuity point is similar to that of the kernel estimator at the boundary point. In order to overcome the boundary problem, Schuster (1985) used the symmetrized sample. Cline and Hart (1991) used Schuster (1985)’s method to modify the bias of the kernel estimator of the density at discontinuity point. Using a boundary kernel function, the estimated density based on the data sets divided by the location of the discontinuity point is proposed. By simulation studies, the finite sample performance of the proposed kernel density estimator with the one of Cline and Hart (1991) are compared.

LIDAR 자료의 분산함수의 불연속점 수의 추정

허집(Jib Huh) 한국데이터정보과학회 2021 한국데이터정보과학회지 Vol.32 No.1

Ruppert 등 (1997)이 연구한 LIDAR 자료의 회귀함수의 비모수적 추정에 의한 잔차들은 분산함수가 불연속점을 한두 개 가지고 있음을 추측하게 한다. Kang과 Huh (2006)는 분산함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 비모수적 추론을 잔차들의 Nadar-aya-Watson 추정량으로 연구하였다. 한편, Huh (2016) 등은 국소다항추정량의 장점을 이용하기 위하여 분산함수의 로그변환이나 잔차의 로그변환을 통하여 분산함수 대신 로그분산함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 비모수적 추론을 제시하였다. 그들의 연구에서 점프크기추정량의 점근분포를 이용하여 불연속점이 있는지 없는지에 대한 검정법들이 제시되었다. 이러한 방법을 바탕으로 분산함수 혹은 로그분산함수의 불연속점의 수를 추정하는 알고리듬을 소개하고, 모의실험과 함께 LIDAR 자료에서 분산함수의 불연속점의 수를 추정해 보고자 한다. We can guess that there exist one or two discontinuity points in the variance function of LIDAR data in Ruppert et al. (1997). Kang and Huh (2006) proposed the Nadaraya-Watson estimators for the location and corresponding jump size of the variance function in regression model. To use some merits of the local polynomial estimator, Huh (2016) estimated the location and jump size of discontinuity point of log-variance function based on likelihood function. They suggested the testing for the existence of a discontinuity point with the asymptotic distribution of the estimator of the jump size. In this paper, algorithms of detection of the number of discontinuity points in the variance and log-variance function are introduced and illustrated by simulated example and LIDAR data.

점프크기추정량에 의한 수정된 로그잔차를 이용한 불연속 로그분산함수의 추정

홍혜선,허집,Hong, Hyeseon,Huh, Jib 한국통계학회 2017 응용통계연구 Vol.30 No.2

Due to the nonnegativity of variance, most of nonparametric estimations of discontinuous variance function have used the Nadaraya-Watson estimation with residuals. By the modification of Chen et al. (2009) and Yu and Jones (2004), Huh (2014, 2016a) proposed the estimators of the log-variance function instead of the variance function using the local linear estimator which has no boundary effect. Huh (2016b) estimated the variance function using the adjusted squared residuals by the estimated jump size in the discontinuous variance function. In this paper, we propose an estimator of the discontinuous log-variance function using the local linear estimator with the adjusted log-squared residuals by the estimated jump size of log-variance function like Huh (2016b). The numerical work demonstrates the performance of the proposed method with simulated and real examples. 분산함수가 불연속점을 가지는 경우, 대부분의 비모수적 함수 추정 연구에서 분산함수가 음수 값을 갖지 않기에 잔차제곱을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량인 국소상수항추정량을 이용하였다. 한편, Huh (2014, 2016a)는 Chen 등 (2009)과 Yu와 Jones (2004)의 연구를 바탕으로 불연속 분산함수를 로그 변환한 로그분산함수를 추정 대상으로 삼아 잔차제곱이나 로그잔차제곱으로 경계점 문제를 가지지 않는 국소선형추정량을 이용하여 비모수적으로 추정하였다. Huh (2016b)는 불연속점에서 점프크기추정량을 활용하여 잔차제곱을 분산함수가 연속인 회귀모형에서 얻어진 잔차제곱인 것처럼 수정한 후 이들을 이용하여 불연속 분산함수의 추정을 연구하였다. 본 연구에서는 불연속 로그분산함수의 점프크기추정량을 이용하여 로그잔차제곱을 수정하고 불연속 로그분산함수를 국소선형추정량을 이용하여 추정하고자 한다. 제안된 추정량의 우수성을 모의실험을 통하여 Chen 등 (2009)의 로그분산함수 추정량을 이용한 Huh (2014)의 불연속 로그분산함수 추정량과 비교하고 실제자료에 적용하고자 한다.

척도공간에서 모터사이클 자료의 비모수적 추론

허집(Jib Huh) 한국데이터정보과학회 2020 한국데이터정보과학회지 Vol.31 No.1

비모수 함수 추정에서 커널추정량들의 띠폭은 추정한 함수의 부드러움의 정도를 결정짓는 중요한 평활모수이다. Chaudhuri와 Marron (1999)는 띠폭을 선택하기 보다는 다양한 띠폭이 주어졌을 때 함수의 증가와 감소의 유의성을 검정하여 그 결과를 시각적으로 표현하는 방법인 SiZer (Significant ZERo crossings of derivatives)을 제안하였다. 본 연구에서는 회귀함수와 분산함수의 SiZer을 소개하고, R의 SiZer 패키지를 모터사이클 자료에 적용하여 회귀함수와 분산함수의 SiZer 결과를 시각적으로 제시한다. The bandwidth of kernel type estimators, which is the smoothing parameter, is an important factor in determining the smoothness of the estimated function. Chudhuri and Marron (1999) proposed SiZer (SIgnificant ZERo crossings of derivatives) tool based on visualizing the testing results as a color map to determine significance of increasing or decreasing trend of function using a wide range of bandwidths rather than selection of bandwidth. In this paper, SiZers for the regression and log-variance function are described and the performance of SiZer for the motorcycle data using the package SiZer in R are visually demonstrated.