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Generalized Spectral Mapping Theorem
Rho, Jae-chul 東國大學校 1967 論文集 Vol.3-4 No.-
複素 Banach空間上에서 定議된 有界線型作用素 T_k(k=1,2…N)에 對한 函數를 f(T_1, T_2,… T_N)=1/(2πi)_N∫_C_1∫_C_2…∫_C_N f(ξ_1, ξ_2, …ξ_N)…Rξ_1(T_1)…Rξ_N(T_n^n_N)dξ_1…dξ_N 로써 定議하면, 이것은 Dunford積分의 擴張이다. 이것에 關해서 Dunford의 Spector 寫像定理 (Spectral Mapping Theorem) σ〔f(T)〕=f〔σ(T)〕의 擴張인 σ〔f(T_1, T_2, , T_N)〕=f????σ(T_k)?? 가 計算되었다. 複素 Banch 空間 X를 Hilbert 空間 H로 制限하면 有界線型作用素 T는 Spector 積分 T=∫λdE(λ)로 積分表示가 可能하다는 것은 周知의 事實이지만 Dunford積分에서 直接 이것을 誘導하는 方法은 明示하지 않았다. 本論文에서는 이것이 可能하다는 것을 밝혔고, 더욱 一般 Dunford 積分에서 直接 Spector 積分表示를 誘導할 수 있다는 것도 證明하였다. 卽 f(T_1, T_2, …, T_N)=∫_α_1^β_1…∫_α_N^β_Nf(λ_1, λ_2, …, λ_N)dE_1(λ)…dE_N(λ). 또 作用素의 攝動理論을 利用해서 f(T_1, T_2, …, T_N)의 n 階導函數를 計算했는데 이것을 써서 多變函數의 n 階導函數를 通해서, 擴張된 Dunford 積分의 導函數의 Spectrum를 規定할 수 있다는 것도 밝혔다. 卽, σ〔D_T^(n) f(T_1, T_2, …, T_N)〕=D_λ^(n) σ〔f(T_1, T_2, …, T_N)〕.