Compact submanifolds of codimension 2 in an even-dimensional Euclidean space

Ki, U-Hang,Pak, Jin Suk 慶北大學校 師範大學 1975 敎育硏究誌 Vol.17 No.-

矢野에, 嚴, 奇는 槪Hermit 多樣體의 餘次元 2인 部分多樣體 또는 槪接觸 多樣體의 招曲面에 유도되는 소위 (f, g, u, v, λ) -structure를 사용하여, Euclid空間의 餘次元 2인 完備可附 部分空間을 硏究한 바 있다. 失野와 現著者 奇는 그들의 論文[8]에서 다음 定理를 證明하였다. 定理 A. M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 그 scalar曲率이 一定하고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도 (f, g, u, v, λ) -structure에 나타나는 (1,1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 다음 部分多樣體중의 어느 하나와 合同이다 : E^2n, S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ), S^l(γ)×E^(2n-l) (l = 1, 2, …, 2n-1), S^k(γ)×S^k(γ)×E^(2n-2k) (k = 1, 2, …, n-1). 단, 函數 λ(1-λ^2)는 M에서 almost everywhere로 0이 아니고, S^k(γ)는 E^(2n+2)에 자연스럽게 도입되는 반지름 γ>0인 k次元球面을 나타낸다. 本 論文의 硏究目的은 定理 A를 개혁하는데 있다. 즉 M의 scalar曲率이 一定하다는 강한 가정 대신에 M이 緊密이고, 또 γ가 半定値가 될 때, 위의 結論과 같은 결과를 증명하고자 한다. 단, γ는 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率을 나타낸다. M이 緊密이므로 위의 結論은 S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ)뿐인 것은 명백하다. 이제 M을 2n+2차원 Euclid空間 2n次元 可附部分多樣體라고 하면, 잘 알려져 있는 바와 같이 M은 (f, g, u, v, λ) structure를 허용한다. 즉 E^(2n+2)에 Kaehlerian structure를 자연스럽게 도입하면 다음의 관계식이 成立한다. (1) f_i^tf_t^h=δ_i^h+u_iu^h+v_iv^h, u_tf_i^t=λv_i, f_t^hu^t=-λv^h, v_tf_i^t=-λu_i, f_t^hv^t=-λu^h, u_tu^t=v_tv^t=1-λ^2, u_tv^t=0, g_tsf_j^tf_i^s=g_ji-u_ju_i-v_jv_i. ∇_i를 유도계량 tensor g_ji에 의해서 이루어진 Christoffel symbol ??에 관한 共變徵分의 演算이라하면, 다음의 構造方程式이 얻어진다. (2) ∇_jf_i^h=-h_jiu^h+h_j^hu_i-k_jiv^h+k_j^hv_i, (3) ∇_ju_i=-h_jtf_i^t-λk_ji+l_jv_i, (4) ∇_jv_i=-k_jtf_i^t+λh_ji-l_ju_i, (5) ∇_jλ=-h_jtv^t+k_jtu^t. 단, h_ji, k_ji는 第二基本 tensor의 成分이며 h_j^h, k_j^h는 각각 다음 식에 의하여 定義된다. h_j^h=h_jtg^th, k_j^h=k_jtg^th, 또, l_j는 第三基本 tensor의 成分이다. M의 曲率 tensor의 共變成分을 K_kjih이라고 하면, Gauss, Codazzi. Ricci 方程式은 다음과 같이 주어진다. (6) K_kjih=h_khh_ji-h_jhh_ki+k_khk+ji-k_jhk_ki, (7) ∇_kh_ji-∇_jk_ki-l_kk_ji+l_jk_ki=0, (8) ∇_kk_ji-∇_jk_ki+l_kh_ji-l_jh_ki=0, (9) ∇_jl_i-∇_il_j+h_jtk_i^t-h_itk_j^t=0. 이 論文에서는 항상 f와 H는 可換이고, f와 K는 反可換이라고 假定한다. 즉 (10) f_j^th_t^h-h_j^tf_t^h=0, (11) f_j^tk_t^h-k_j^tf_t^h=0 이 成立함을 가정한다. 또 函數 λ(1-λ^2)은 almost everywhere로 0이 아니라고 가정한다. 이들 假定下에서 다음 관계식이 成立함을 증명 할 수 있다. (12) k_t^t=0, (13) h_jtu^t=pu_j, h_jtv^t=pv_j, (14) k_jtu^t=aiv_j, k_jtv^t=βu_j-αv_j. 단, p, α 및 β는 각각 다음과 같이 定義된다. p=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s, α=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=-1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s, β=1/(1-λ^2) h_tsu^tv^s. 補助定理 두 單位 法 Vector C 및 D가 normal bundle에서 平行인 E^(2n+2) 餘次元 2의 部分空間 M이 (10) 및 (11)을 만족하고, 또 λ(1-λ^2)이 almost everywhere로 0이 아니면, 다음의 方程式이 成立한다. (15) h_jth_i^t=ph_ji, p=constant, (16) ∇_kh_ji=0, (17) α(m-2)p=0, (18) (1-λ^2)(k_jtk_i^t+βh_ji)={α^2+β(β+p)}(u_ju_i+v_jv_i) 단, m은 行列(h_j^h)의 固有値 p에 관한 重複度이다. 한편 (12)를 사용하면 (6)과 (15)로부터 다음 관계식이 얻어진다. (19) K_ji=(h_t^t-p)h_ji-k_jtk_i^t. 여기에 다시 식(18)을 이용하면 (20) (1-λ^2)K_ji=(1-λ^2)(h_t^t-p+β)h_ji-(α^2+β^2+βp)(u_ju_i+v_jv_i) 이 成立한다. 위의 식에 g^ji를 transvect하면, M의 scalar曲率인 다음 식이 얻어진다. (21) g^jiK_ji=(h_t^t-p+β)h_s^s-2(α^2+β^2+βp). Gauss의 方程式인 (6)과 (13) 및 (14)를 사용해서 다음 관계식을 준비해 둔다. (22) K_kjihu^kv^ju^iv^h=-(1-λ^2)^2(p^2-α^2-β^2). 이 식은 서로 수직인 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率 γ가 p^2-α^2-β^2으로 주어짐을 의미한다. 이제부터 추가 조건으로서 M이 緊密이라고 가정한다. 식(17)에 의하면 p=0, m=2, α=0 인 세가지 경우가 있음을 알 수 있다. 먼저 p=0인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에 의하면 h_ji=0이 된다. 한편 k_t^t=0이므로, 平均曲率 Vector H~=1/(2n) (h_t^tC+k_t^tD) 이 恒等的으로 0이 된다. 따라서, M은 極小曲面이다. 그러나 Euclid공간의 極小緊密部分空間은 存在하지 않는다는 사실에 의하여 p=0인 경우는 생각하지 않아도 좋다. 다음에 m=2인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에서 h_t^t=2p 를 유도 할 수 있고, 이 것과 (13)을 이용하면 (23) (1-λ^2)h_ji=p(u_ju_i+v_jv_i) 를 계산할 수 있다. (23)을 (18)에 代入하면 (1-λ^2)k_ji=α(u_ju_i+v_jv_i)+β(u_ju_i+v_jv_i) 이 成立한다. 그러나 이 때도 函數 λ(1-λ^2)에 관한 가정과 M이 緊密이라는 사실에 의하여 모순이 됨을 알 수 있다. 따라서, 우리는 α=0인 경우에 限하여 문제를 해결하면 된다. 이 경우 γ가 半定値라고 가정하면, p^2-β^2이 半定値가 된다. 이 硏究의 中心이되는 部分으로서 β가 恒等的으로 0이거나 -p가 되는 것을 여러 가지 微分幾何學的인 수단을 동원하여 증명할 수 있다. 따라서 (21)에 의하면 M의 scalar曲率이 一定하다. 이 사실과 定理 A를 結合하면 다음의 主定理가 증명된다. 定理 M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의하여 生成되는 斷面의 斷面曲率이 半定値이고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도(f, g, u, v, λ)-structure에 나타나는 (1, 1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 S^2n(γ), 또는 S^n(γ)×S^n(γ)와 合同이다. 단, 函數 λ(1-λ^2)은 M에서 almost everywhere로 0이 아니다.

Compact submanifolds of codimension 3 of an even-dimensional Euclidean space admitting a cosymplectic structure

Ki, U-Hang,Oh, Ge-hwan 慶北大學校 師範大學 1979 敎育硏究誌 Vol.21 No.-

Hermite多樣體의 餘 3次元 部分多樣體에는 자연스럽게, (f, g, u_(k), λ_(k)) 構造가 誘導된다. 특히 이 構造가 槪接觸計量構造가 될 必要充分條件은 λ^2+μ^2+ν^2=1이다([1], [4]參照). 더우기 論文[1], [4]에서는 Kaehler多樣體의 餘 3次元 部分多樣體가 위와 같은 槪接觸構造를 가질 때, 法 vector를 잘 選擇함으로써 그 部分空間의 大域的인 形態를 여러가지 條件아래서 考察하였다. 예컨데 이 部分空間은, (f, g, u_(k), λ_(k))構造가 正規일 때는 Brieskorn多樣體의 擴張空間이, 또 反正規일 때는 平面曲線에 垂直인 線織面이 되었다. 木 論文에서는 Euclid空間 E^(2n+4)의 cosymplectic 構造를 가지는 部分多樣體 M^(2n+1)이緊密할 때, 만일 平均曲率 vector가 法 bundle에서 平行이면 M^(2n+1)은, 2n次元平面 E^2n을 이에 垂直인 平面上의 閉定曲率曲線을 따라서 平行移動한 緊密線織面이 됨을 밝혔다(Ⅲ의 主定理 參照). It is well known that a submanifold of codimension 3 of an almost Hermitian manifold admits an (f, g, u_(k), λ_(k))-structure induced from the almost Hermitian structure of the ambient manifold. The theory of the (f, g, u_(k), λ_(k))-structure with λ^2+μ^2+ν^2=1 studied by Yano [4], Eum [1] and one of the present authors [2], [4] etc. They investigated submanifolds of codimension 3 of a Kaehlerian manifold admitting an almost contact metric structure. In the present paper, we study compact submanifolds of codimension 3 of an even-dimensional Euclidean space admitting a cosymplectic structure. Our main result appeared in section Ⅲ.

Infinitesimal variations preserving the Ricci tensor of hypersurfaces of a complex projective space

Ki, U-Hang,Oh, Ge Hwan 경북대학교 교육대학원 1977 논문집 Vol.9 No.-

K.Yano는 Kaehler 多樣體의 超曲面에 誘導되는 Sasaki 構造를 不變으로 하는 無限小變分에 關하여 硏究한 바 있다. (論文 [3] 참조) 한편 K.Yano, U-H.Ki 및 J.S.Pak은 定曲率空間의 部分多樣體에서 正規이고 平行인 變分이 Ricci tensor를 不變으로 하면 이 部分空間은 球面 또는 두 球面의 積空間으로 分離된다는 事實을 調査하였다. (論文 [4] 참조) 本 論文에서는 위의 定曲率空間 대신에 複素射影空間을 생각하였을 때, 이 空間의 超曲面의 正規이고 行行인 變分이 Ricci tensor를 保存할 必要充分條件은 그 超曲面은 極小이며 또 第二 基本 tensor의 길이의 제곱이 이 超曲面의 次元에다 3을 더한것과 같음을 밝혔다. (定理 2.3및 2.4참조)

高等學校 數學科 敎育課程 改善의 方向

林在圭,奇宇恒 경북대학교 교육대학원 1974 논문집 Vol.5 No.-

In this paper, we investigate the organizations, objects and contents of mathematics among the gists of learning guidance in Japanese high school revised in October 1970. We compare and analyse it with the following subjects about organizations and contents of guidance in subject: ⑴ The previous curriculum of mathematics in Japanese high school. ⑵ The contents of guidance in the text S.M.S.G. ⑶ The contents of guidance in the text U.I.C.S.M. ⑷ The curriculum of Mathematics in Korean high school. Comparing the differences between the present contents and methods of the revised curriculum of mathematics in Japan and those of the previous one, and analizing research results of U.S.A., we obtain reference materials for revision of curriculum of our country.

中學 科學敎育의 探究學習에 대한 評價問項 開發(Ⅰ)

奇宇恒,權炳奎,朴德圭,이병교,鄭遠佑,金裕漢 경북대학교 과학교육연구소 1984 科學敎育硏究誌 Vol.8 No.-

The purpose of this study is to achieve the individualized inquiring learning which is centered on students by improving the method of the evaluation of the inquiry learning in the science class in a multi-student class. Therefore the author made the table of specification for scientific achievements of the abilities of inquiring by analyzing the abilities of inquiring according to the content of science and five basic experiments of each unit inthe first grade of of middle school, ant then made the paper and pencil and performance test items for the evaluation of the abilities of inquiring. The paper and pencil test was taken after the experimental and observational class, and performance test was taken in the way of the students' self evaluation, peer evaluation and Tester evaluation. The results are as follows: 1) In operation of the inquiry learning by two experiments, performance test items and 13 the paper and pencil test items made for evaluation of the abilities of inquiring could be applied usefully. 2) Correlation coefficient between paper and pencil test and performance test is .362 and it is very low. Therefore it is desirable that performance test be used for the evaluation for the abilities of inquiring which cannot be evaluated by paper and pencil test. 3) In evaluation of the abilities of inquiring by performance test on five basic experiments, it is more desirable that 'the use of microscope' is presented in the way of peer evaluation or peer and Tester evaluation, 'the observation on epidermis of onion cell' in the way of peer evaluation, and self-evaluation. 4) Skill of the abilities of inquiring in experimental and observational class can be evaluated correctly through performance test.

高校 物理敎育에 對한 探究學習의 評價模型定立과 評價紙 開發

奇宇恒,崔宗洛,朴奉斗,李原鎭 경북대학교 과학교육연구소 1983 科學敎育硏究誌 Vol.7 No.-

Recently experimental scientific problem solving skills and scientific attitude have been emphasized on the science education. The method of evaluation of the skill and the attitude, however, has not been much introduces to the science teachers. In this paper the domains, the objectives and the methods of evaluation of physics in high school were discussed related with Piagetian formal operational pattern. The objectives of knowledge and comprehension were divided into six parts according to the Piagetian logical thinking pattern. The objectives of the problem solving skills however were divided into twenty parts. Related with the scientific attitues, the cognitive (analytical and empirical), the value (judgement, commending) and the attitude (emotional response, personal likes) were also discussed in this paper.

分割法에 依한 電力潮流計算에 관한 硏究

鄭亨煥,周秀元,禹靖仁 동아대학교 공과대학 부설 한국자원개발연구소 1979 硏究報告 Vol.4 No.1

The Newton-Raphson Method has now gained widespread popularity in Load-Flow calculation. In this paper programming is developed with aims to improve the covergence characteristic, speed and memory requirements in the above method.

현행 중학 수학 교과서의 비교 분석

기우항,김영호,이윤종,정원우,김민숙 경북대학교 과학교육연구소 1997 科學敎育硏究誌 Vol.21 No.-

The purpose of this study is to compare and analyze the eight current mathematics textbooks in order to them effectively in the course of instruction according to the result. Basically the study has been carried out to compare and analyze what is the difference between the current curriculum and the last one, and the development of the teaching procedure, the difference of the quality and contents in the eight kind of text books.

平行線 公理로부터 발전된 기하학

기우항 慶北大學校 科學敎育硏究所 2004 科學敎育硏究誌 Vol.28 No.-

Geometry has the oldest root in the history of mathematics. Geometry started from Euclidean geometry and the Euclidean geometry is based on the axiom of the parallel lines. In this article we overview the advent of other geometries such as parabolic geometry and hyperbolic geometry and see that there could be plenty of geometries in which two parallel lines may or may not meet.

高校 物理敎育에 對한 探究學習의 評價模型 定立과 評價紙 開發 (Ⅱ)

奇宇恒,崔宗洛,朴奉斗,李原鎭 경북대학교 과학교육연구소 1984 科學敎育硏究誌 Vol.8 No.-

The emphasis given to experimental problem-solving skills in the physics curriculum innovation has not been matched by the development of the evaluation istruments. The purpose of this study is to develope the instrument for high school physics teaching. The instrument consists of twenty-two pencil-paper test problems of the unit, "force and motion", in the textbook physics I. These problems are related to integrated process skills and logical thinking ability, and they are classified by means of Piagentian type of logic patterns. The instrument was applied to three high school senior classes. Two hundred ninety five students in total participated in this test. The results of the application showed a considerably good relationship between the score of the test and the intelligence quotient (r=0.7). The reasoning ability was, however, very poor.